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浙江绍兴市诸暨市2025-2026学年九年级上学期数学期末测试试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列选项中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形的定义“一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”逐项判断解答即可．
2．某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷5次，都是反面朝上，则抛掷第6次出现正面朝上的概率是（　　）
A．1 B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：∵质地均匀的硬币每次抛掷时，正面朝上与反面朝上的可能性相等，概率均为，且每次抛掷的结果互不影响，之前的抛掷结果不会改变第6次抛掷的概率．
∴抛掷第6次出现正面朝上的概率是．
故答案为：C．
【分析】根据概率的定义解答即可.
3．已知y=2x，则等于（　　）
A． B． C．1 D．-1
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴把代入中，得；
故答案为：D．
【分析】把代入化简即可求解．
4．已知在同一平面内，⊙O的半径为6，点P到圆心O的距离OP=4，则点P在（　　）
A．⊙O外 B．⊙O上 C．⊙O内 D．无法确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：的半径，点到圆心的距离，
，
点在内，
故答案为：C．
【分析】根据点在圆内时d5．关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（　　）
A．当x=2时，y有最大值4 B．当x=2时，y有最小值4
C．当x=-2时，y有最大值4 D．当x=-2时，y有最小值4
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数表达式为，是顶点式的形式．
又∵．
∴抛物线开口向上，函数有最小值．
∵该函数的顶点坐标为．
∴当时，有最小值4．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的最值解答即可.
6．如图，圆O的直径是AB，点P和点Q均是半圆上一点，连接BP和OQ交于点C，若AB=10，BC=PC=4，则CQ=（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵圆的直径是，，
∴，，
在中，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理的推论可得，然后根据勾股定理求得，再根据线段的和差解答即可．
7．如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A（6，-3），以O为位似中心，作△OAB的位似图形△OA1B1，使△OAB与△OA1B1的面积比为9，则点A的对应点A1的坐标是（　　）
A．（18，-9） B．（2，-1） C．（18，9） D．（-2，1）
【答案】D
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵与的面积比为9，
∴与的位似比为，且点的对应点在第二象限，
∴的对应点的坐标是，即
故答案为：D．
【分析】根据位似比为k的两个图形对应点的横、纵坐标同时乘以k或-k解答即可．
8．如图，所在圆的半径r=AB=3，则和弦AB围成的图形面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，设圆心为，连接，过点作于点，
∵，即，
∴是等边三角形，
∴，，
在中，，
∴和弦围成的图形面积是，
故答案为：C．
【分析】设圆心为，连接，过点作于点，即可得到是等边三角形，然后根据弓形的面积等于扇形面积减去等边三角形的面积解答即可．
9．已知y关于x的二次函数解析式当-1A．-3【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：二次函数解析式为
∵二次项系数
∴抛物线开口向上，顶点坐标为．
∵，
∴当时，取得最小值．
当时，；当时，．
又∵取不到，
∴；顶点在的取值范围内，
∴．
∴．
故答案为：D．
【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线开口向上，顶点坐标为，即可得到最大值；然后根据离对称轴远的函数值小求出最小值，即可得到y的取值范围．
10．如图，同一平面内，△ABC∽△ADE，设∠DAC=α（0°<α<10°），△ABC固定不动，△ADE随α的增大，以点A为圆心向逆时针方向旋转，连接对应点BD，CE并延长成直线交于点F.已知则随α的增大，∠BFC度数变化情况是（　　）
A．减小 B．不变
C．增大 D．先增大再减小
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；四点共圆模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
当在上时，此时，，如图，
过点作于点，
∴，则点，重合，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴是直径，
∴，
当增大，如图，
∵，，
∴随的增大，，变小，则，变大 ，
∵，
∴随的增大，变小，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的对应边成比例求出AE长，当在上时，四点共圆，即可得到的增大，与变大，根据三角形内角和定理可得度数变化情况解答即可．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．已知点（1，y1），（-2，y2）都在函数的图象上，则y1，y2的大小关系是y1　 　y2.（填“>”，“<”或“=”）
【答案】<
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】根据二次函数的增减性解答即可．
12．某会议桌宽和长之比为黄金比例，已知它的长为4，则宽的长度是　 　.（结果保留根号）
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：长方形的宽的长为，
故答案为：．
【分析】根据黄金比解答即可．
13．为了提升全民防灾意识，某消防队进行了消防演练.如图，消防车的云梯OB可以绕点O转动，且可伸缩，O离地面的距离OA=2米，当云梯顶部B在大楼所在直线CD上时，O离大楼的距离OE=5米，.，此时顶端B离地面的距离BD=　 　米.（结果保留根号）
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【解答】解：依题意，四边形是矩形，
∴，
在中，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由已知可得四边形是矩形，即可得到，然后根据正切的定义求出BE长，根据线段的和差解答即可．
14．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=2，将△ABC沿BC所在直线l向右翻动（不滑动）至如图△A1B2C1位置，则点B从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是　 　.（结果保留π）
【答案】3π
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵等腰中，，，
∴，
依题意，
∴点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是
故答案为：．
【分析】得到点所经过的路径为半径为，圆心角为的2个弧长，根据弧长公式计算即可．
15．如图，点O是△ABC的内心，以O为圆心作半径为3的圆，分别交的边于D，E，F，G，H，I点，连接EG和DG，若∠DGE=30°，则FG=　 　.
【答案】3
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理；三角形的内切圆与内心；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵点是的内心，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】连接，过点分别作的垂线，垂足分别为，即可得到是等边三角形，进而得到，然后根据HL得到，即可得到EN=FM，再根据垂径定理求出DE=FG，根据SSS得到，根据对应边相等解答即可．
16．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，设∠ABE=α，∠CBF=β，延长BA，BC分别与直线EF交于点M，N，面积为面积为，则=　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵面积为面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴①，
在中，
，
∴②，
联立①②得或（负值舍去）
∴，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质，利用三角形的面积得到，然后根据平行线得到证明，即可得到，进而设，，再根据AAS推理得到，进而得到①，根据正切的定义得出②，然后联立求得的值，即可根据解答即可．
三、解答题（本大题有8小题，共72分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．已知线段a=3cm，b=12cm.
（1）若线段a，b，c，d满足求线段d的长度；
（2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长度.
【答案】（1）解：∵，，
∴，
解得：；
（2）解：依题意，，
∴.
【知识点】比例线段；比例中项
【解析】【分析】（1）根据比例式列式计算即可；
（2）根据比例中项的定义解答即可．
18．马拉松运动已从专业竞技发展成为覆盖全球，拉动经济，深入日常的社会经济活动.某公司的甲、乙两名员工各自选择报名参加西施马拉松，绍兴马拉松，杭州马拉松其中一个赛事。
（1）求甲员工选择报名西施马拉松的概率；
（2）若甲，乙两人选择赛事互不影响，用画树状图或列表的方法求甲，乙两人选择同一个赛事的概率.
【答案】（1）解：有3种马拉松，甲选择西施马拉松的概率是，
故答案为：；

（2）解：记西施马拉松，绍兴马拉松，杭州马拉松分别为，，，画树状图如图：
共有9个等可能的结果，甲、乙两人选择同一个赛事A或B或C的结果有3种情况，
∴甲、乙两人选择同一个赛事的概率为．

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）记西施马拉松，绍兴马拉松，杭州马拉松分别为，，，画树状图列出所有的等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
19．如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图.
（1）图1中，在边AB上找一点D，连接CD，使得△ACD面积为△ABC面积的；
（2）图2中，在边BC上找一点E，连接AE，使得AE⊥BC.
【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求.

【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）以为对角线，作平行四边形，对角线交于点，则点D即为所作；
（2）如图作的格点的对角线交于点，则点E即为所作．
20．如图，正方形ABCD的边长为9，E是边AD上一点，满足AE=2DE，连接BE，过点E作BE的垂线EG交CD于点F，交BC的延长线于点G.
（1）求DF的长；
（2）求CG的长.
【答案】（1）解：∵正方形的边长为9，，
∴，，，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用两角对应相等得到，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可；
（2）根据勾股定理求得，然后根据两角对应相等得到，然后根据相似三角形的对应边成比例求得，再根据线段的和差解答即可．
21．如图1，玻璃杯的杯壁轮廓线AC，BD可以近似地看成某抛物线的一部分，杯口直径AB=8cm，杯底直径（CD=4cm，且以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系xOy（如图2），此时点D与x轴的距离为2cm，杯底杯壁厚度忽略不计.
（1）求抛物线解析式；
（2）当倒满水时，求水的深度（AB与CD之间的距离）.
【答案】（1）解：依题意，，设抛物线的解析式为，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：依题意，的横坐标为
当时，
又∵点与轴的距离为，
∴之间的距离为．
∴当倒满水时，水的深度为．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式．
（2）将代入解析式求出点的纵坐标，进而根据两点的纵坐标差解答即可．
22．如图，⊙O是的外接圆，，延长AB至点D，使CB=DB，连接CD.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径r=5，求CD的长.
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵是的外接圆，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径，
∴，
在中，，
∴，
∴.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，得到是等边三角形，即可得到，然后根据等边对等角得到，即可得到证明结论；
（2）在中，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
23．已知y关于x的二次函数.图象与x轴交于A，B两点，点A在点B左边，图象与y轴负半轴交于点C.
（1）求点A，B坐标；
（2）若面积为8，求m的值；
（3）若中有一个内角为求m的值.
【答案】（1）解：当时，，
∵，
∴，
解得：，
∴，；
（2）解：∵图象与轴负半轴交于点，
当时，，
∴，则，
∵，，
∴，
∵面积为8，
∴，
解得：；

（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为轴，
当时，则，
∴，
解得：，
当时，如图，过点，作于点，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去）
综上所述，或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）令，解方程求出x的值，即可得到与x轴交点的坐标即可；
（2）令，求出y的值，得出，根据三角形的面积公求出m的值解答即可；
（3）分两种情况讨论，或，根据等腰三角形的性质、三角形的面积公式解答即可．
24．已知⊙O半径长度为24，两条直径AB，CD互相垂直，点E为直径AB上一动点，设AE=t.点F为点A关于点E的对称点，作FG⊥AB于点F，FG=9.
（1）如图1，当点F在半径OB上时，连接OG，若OG=15，求t的值；
（2）如图2，在AB上取一点M，BM=16，在CD上取一点N，DN=6，连接GA，GE，GM，NA，NE，NM.
①当t为多少时，的值最小（无需求最小值）；
②当t为多少时，GA+GE+GM+NA+NE+NM的值最小 最小值是多少
【答案】（1）解：在中，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①依题意，，，，
∴，，，
∵两条直径，互相垂直，，
∴
，
∵，
∴时，的值最小；
②解：如图，作点关于的对称点，则，则，过点作，
∵，
∴点在上运动，
作关于的对称点，则到的距离为，
∴，且，
∴
，
∴当为的交点时取得最小值，
当四边形是平行四边形时，为的中点，
此时如图
∴，
即时，取得最小值，
∴的最小值为
.
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得到长，根据线段的和差求出的长，进而求出的值解答即可；
（2）①根据勾股定理求出函数关系式，然后根据二次函数的对称轴公式计算即可；
②作点关于的对称点，过点作，得出点在上运动，作关于的对称点，即可得出，根据四边形是平行四边形时，当为的中点时，取得最小值，即可得到时最小，然后根据勾股定理解答即可．
1 / 1浙江绍兴市诸暨市2025-2026学年九年级上学期数学期末测试试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列选项中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷5次，都是反面朝上，则抛掷第6次出现正面朝上的概率是（　　）
A．1 B． C． D．无法确定
3．已知y=2x，则等于（　　）
A． B． C．1 D．-1
4．已知在同一平面内，⊙O的半径为6，点P到圆心O的距离OP=4，则点P在（　　）
A．⊙O外 B．⊙O上 C．⊙O内 D．无法确定
5．关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（　　）
A．当x=2时，y有最大值4 B．当x=2时，y有最小值4
C．当x=-2时，y有最大值4 D．当x=-2时，y有最小值4
6．如图，圆O的直径是AB，点P和点Q均是半圆上一点，连接BP和OQ交于点C，若AB=10，BC=PC=4，则CQ=（　　）
A．2 B．3 C． D．
7．如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A（6，-3），以O为位似中心，作△OAB的位似图形△OA1B1，使△OAB与△OA1B1的面积比为9，则点A的对应点A1的坐标是（　　）
A．（18，-9） B．（2，-1） C．（18，9） D．（-2，1）
8．如图，所在圆的半径r=AB=3，则和弦AB围成的图形面积是（　　）
A． B． C． D．
9．已知y关于x的二次函数解析式当-1A．-310．如图，同一平面内，△ABC∽△ADE，设∠DAC=α（0°<α<10°），△ABC固定不动，△ADE随α的增大，以点A为圆心向逆时针方向旋转，连接对应点BD，CE并延长成直线交于点F.已知则随α的增大，∠BFC度数变化情况是（　　）
A．减小 B．不变
C．增大 D．先增大再减小
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．已知点（1，y1），（-2，y2）都在函数的图象上，则y1，y2的大小关系是y1　 　y2.（填“>”，“<”或“=”）
12．某会议桌宽和长之比为黄金比例，已知它的长为4，则宽的长度是　 　.（结果保留根号）
13．为了提升全民防灾意识，某消防队进行了消防演练.如图，消防车的云梯OB可以绕点O转动，且可伸缩，O离地面的距离OA=2米，当云梯顶部B在大楼所在直线CD上时，O离大楼的距离OE=5米，.，此时顶端B离地面的距离BD=　 　米.（结果保留根号）
14．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=2，将△ABC沿BC所在直线l向右翻动（不滑动）至如图△A1B2C1位置，则点B从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是　 　.（结果保留π）
15．如图，点O是△ABC的内心，以O为圆心作半径为3的圆，分别交的边于D，E，F，G，H，I点，连接EG和DG，若∠DGE=30°，则FG=　 　.
16．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，设∠ABE=α，∠CBF=β，延长BA，BC分别与直线EF交于点M，N，面积为面积为，则=　 　.
三、解答题（本大题有8小题，共72分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．已知线段a=3cm，b=12cm.
（1）若线段a，b，c，d满足求线段d的长度；
（2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长度.
18．马拉松运动已从专业竞技发展成为覆盖全球，拉动经济，深入日常的社会经济活动.某公司的甲、乙两名员工各自选择报名参加西施马拉松，绍兴马拉松，杭州马拉松其中一个赛事。
（1）求甲员工选择报名西施马拉松的概率；
（2）若甲，乙两人选择赛事互不影响，用画树状图或列表的方法求甲，乙两人选择同一个赛事的概率.
19．如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图.
（1）图1中，在边AB上找一点D，连接CD，使得△ACD面积为△ABC面积的；
（2）图2中，在边BC上找一点E，连接AE，使得AE⊥BC.
20．如图，正方形ABCD的边长为9，E是边AD上一点，满足AE=2DE，连接BE，过点E作BE的垂线EG交CD于点F，交BC的延长线于点G.
（1）求DF的长；
（2）求CG的长.
21．如图1，玻璃杯的杯壁轮廓线AC，BD可以近似地看成某抛物线的一部分，杯口直径AB=8cm，杯底直径（CD=4cm，且以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系xOy（如图2），此时点D与x轴的距离为2cm，杯底杯壁厚度忽略不计.
（1）求抛物线解析式；
（2）当倒满水时，求水的深度（AB与CD之间的距离）.
22．如图，⊙O是的外接圆，，延长AB至点D，使CB=DB，连接CD.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径r=5，求CD的长.
23．已知y关于x的二次函数.图象与x轴交于A，B两点，点A在点B左边，图象与y轴负半轴交于点C.
（1）求点A，B坐标；
（2）若面积为8，求m的值；
（3）若中有一个内角为求m的值.
24．已知⊙O半径长度为24，两条直径AB，CD互相垂直，点E为直径AB上一动点，设AE=t.点F为点A关于点E的对称点，作FG⊥AB于点F，FG=9.
（1）如图1，当点F在半径OB上时，连接OG，若OG=15，求t的值；
（2）如图2，在AB上取一点M，BM=16，在CD上取一点N，DN=6，连接GA，GE，GM，NA，NE，NM.
①当t为多少时，的值最小（无需求最小值）；
②当t为多少时，GA+GE+GM+NA+NE+NM的值最小 最小值是多少
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形的定义“一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”逐项判断解答即可．
2．【答案】C
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：∵质地均匀的硬币每次抛掷时，正面朝上与反面朝上的可能性相等，概率均为，且每次抛掷的结果互不影响，之前的抛掷结果不会改变第6次抛掷的概率．
∴抛掷第6次出现正面朝上的概率是．
故答案为：C．
【分析】根据概率的定义解答即可.
3．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴把代入中，得；
故答案为：D．
【分析】把代入化简即可求解．
4．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：的半径，点到圆心的距离，
，
点在内，
故答案为：C．
【分析】根据点在圆内时d5．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数表达式为，是顶点式的形式．
又∵．
∴抛物线开口向上，函数有最小值．
∵该函数的顶点坐标为．
∴当时，有最小值4．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的最值解答即可.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵圆的直径是，，
∴，，
在中，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据垂径定理的推论可得，然后根据勾股定理求得，再根据线段的和差解答即可．
7．【答案】D
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵与的面积比为9，
∴与的位似比为，且点的对应点在第二象限，
∴的对应点的坐标是，即
故答案为：D．
【分析】根据位似比为k的两个图形对应点的横、纵坐标同时乘以k或-k解答即可．
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，设圆心为，连接，过点作于点，
∵，即，
∴是等边三角形，
∴，，
在中，，
∴和弦围成的图形面积是，
故答案为：C．
【分析】设圆心为，连接，过点作于点，即可得到是等边三角形，然后根据弓形的面积等于扇形面积减去等边三角形的面积解答即可．
9．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：二次函数解析式为
∵二次项系数
∴抛物线开口向上，顶点坐标为．
∵，
∴当时，取得最小值．
当时，；当时，．
又∵取不到，
∴；顶点在的取值范围内，
∴．
∴．
故答案为：D．
【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线开口向上，顶点坐标为，即可得到最大值；然后根据离对称轴远的函数值小求出最小值，即可得到y的取值范围．
10．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；四点共圆模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
当在上时，此时，，如图，
过点作于点，
∴，则点，重合，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴是直径，
∴，
当增大，如图，
∵，，
∴随的增大，，变小，则，变大 ，
∵，
∴随的增大，变小，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的对应边成比例求出AE长，当在上时，四点共圆，即可得到的增大，与变大，根据三角形内角和定理可得度数变化情况解答即可．
11．【答案】<
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】根据二次函数的增减性解答即可．
12．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：长方形的宽的长为，
故答案为：．
【分析】根据黄金比解答即可．
13．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【解答】解：依题意，四边形是矩形，
∴，
在中，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由已知可得四边形是矩形，即可得到，然后根据正切的定义求出BE长，根据线段的和差解答即可．
14．【答案】3π
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵等腰中，，，
∴，
依题意，
∴点从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是
故答案为：．
【分析】得到点所经过的路径为半径为，圆心角为的2个弧长，根据弧长公式计算即可．
15．【答案】3
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理；三角形的内切圆与内心；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵点是的内心，
∴，
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】连接，过点分别作的垂线，垂足分别为，即可得到是等边三角形，进而得到，然后根据HL得到，即可得到EN=FM，再根据垂径定理求出DE=FG，根据SSS得到，根据对应边相等解答即可．
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵面积为面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴①，
在中，
，
∴②，
联立①②得或（负值舍去）
∴，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质，利用三角形的面积得到，然后根据平行线得到证明，即可得到，进而设，，再根据AAS推理得到，进而得到①，根据正切的定义得出②，然后联立求得的值，即可根据解答即可．
17．【答案】（1）解：∵，，
∴，
解得：；
（2）解：依题意，，
∴.
【知识点】比例线段；比例中项
【解析】【分析】（1）根据比例式列式计算即可；
（2）根据比例中项的定义解答即可．
18．【答案】（1）解：有3种马拉松，甲选择西施马拉松的概率是，
故答案为：；

（2）解：记西施马拉松，绍兴马拉松，杭州马拉松分别为，，，画树状图如图：
共有9个等可能的结果，甲、乙两人选择同一个赛事A或B或C的结果有3种情况，
∴甲、乙两人选择同一个赛事的概率为．

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）记西施马拉松，绍兴马拉松，杭州马拉松分别为，，，画树状图列出所有的等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
19．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求.

【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）以为对角线，作平行四边形，对角线交于点，则点D即为所作；
（2）如图作的格点的对角线交于点，则点E即为所作．
20．【答案】（1）解：∵正方形的边长为9，，
∴，，，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用两角对应相等得到，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可；
（2）根据勾股定理求得，然后根据两角对应相等得到，然后根据相似三角形的对应边成比例求得，再根据线段的和差解答即可．
21．【答案】（1）解：依题意，，设抛物线的解析式为，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：依题意，的横坐标为
当时，
又∵点与轴的距离为，
∴之间的距离为．
∴当倒满水时，水的深度为．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式．
（2）将代入解析式求出点的纵坐标，进而根据两点的纵坐标差解答即可．
22．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵是的外接圆，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径，
∴，
在中，，
∴，
∴.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，得到是等边三角形，即可得到，然后根据等边对等角得到，即可得到证明结论；
（2）在中，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
23．【答案】（1）解：当时，，
∵，
∴，
解得：，
∴，；
（2）解：∵图象与轴负半轴交于点，
当时，，
∴，则，
∵，，
∴，
∵面积为8，
∴，
解得：；

（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为轴，
当时，则，
∴，
解得：，
当时，如图，过点，作于点，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
又∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：（负值舍去）
综上所述，或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）令，解方程求出x的值，即可得到与x轴交点的坐标即可；
（2）令，求出y的值，得出，根据三角形的面积公求出m的值解答即可；
（3）分两种情况讨论，或，根据等腰三角形的性质、三角形的面积公式解答即可．
24．【答案】（1）解：在中，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①依题意，，，，
∴，，，
∵两条直径，互相垂直，，
∴
，
∵，
∴时，的值最小；
②解：如图，作点关于的对称点，则，则，过点作，
∵，
∴点在上运动，
作关于的对称点，则到的距离为，
∴，且，
∴
，
∴当为的交点时取得最小值，
当四边形是平行四边形时，为的中点，
此时如图
∴，
即时，取得最小值，
∴的最小值为
.
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据勾股定理得到长，根据线段的和差求出的长，进而求出的值解答即可；
（2）①根据勾股定理求出函数关系式，然后根据二次函数的对称轴公式计算即可；
②作点关于的对称点，过点作，得出点在上运动，作关于的对称点，即可得出，根据四边形是平行四边形时，当为的中点时，取得最小值，即可得到时最小，然后根据勾股定理解答即可．
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