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湖南省邵阳市2025-2026学年上学期九年级二模联考数学试卷
1．党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．（a3）2＝a5
C．（a b）2＝a2 b2 D．
3．《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
4．下列各选项中因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（　　）
A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
6．如图，已知，交于点，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝x2﹣8x＋22 B．y＝x2﹣8x＋14
C．y＝x2＋4x＋10 D．y＝x2＋4x＋2
9．已知反比例函数．下列选项正确的是（　　）
A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
10．如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
11．若，则的最大值是　 　．
12．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为　 　．
13．如图，四边形中，，，．下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧；两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为　 　．
14．已知方程的两根分别为，，则的值为　 　．
15．如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是　 　．
16．如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则　 　．
17．计算：．
18．先化简，再求值：．其中x、y满足
19．如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，试判断四边形的形状，并证明．
20．2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自数防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表．
班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5
（1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：，求该班获奖选手成绩的众数与中位数．
（2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数．
21．随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，）
22．2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．
（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
23．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，如图．
（1）求直线与抛物线的函数表达式；
（2）点是第一象限内直线上的一个动点，过点作轴，与抛物线交于点，试求出线段的长度的最大值；
（3）在第一象限内，抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．
纸片和满足，．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取的中点，将两张纸片放置在同一平面内，使点与点重合．当旋转纸片交边于点、交边于点时，设，，请你探究出与的函数关系式，并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接，发现的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，当点在边上运动（不包括端点、），且始终保持．请你直接写出纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值______（结果保留根号）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：8160亿；
故选：A．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
2．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝a6，不符合题意；
C、原式＝a2b2，符合题意；
D、原式不能合并，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】A、由a2，a3不是同类项，所以不能合并，据此判断即可；
B、幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断即可；
C、积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此判断即得；
D、与不是同类二次根式，所以不能合并，据此判断即可；
3．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设人数为x，物价为y，
由每人出八钱，会多三钱；总钱数，
每人出七钱，又差四钱；总钱数，
∴联立方程组为．
故选：B．
【分析】设人数为x，物价为y，根据“每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱”列方程组解答即可．
4．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A.x2-1=(x+1)(x-1)，故此选项错误；
B.a3-2a2+a=a(a-1)2，故此选项错误；
C.-2y2+4y=-2y(y-2)，故此选项错误；
D.m2n-2mn+n=n(m-1)2，正确；
故答案为：D.
【分析】直接利用公式法及提公因式法分解因式进而判断即可.
5．【答案】D
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：总销售量为：（册），
∴科技类图书销售了（册），
∴文艺类图书销售了（册），
∴文艺类图书销售占比为：，
∴其他类图书销售占比：；
综上：只有选项D错误，符合题意；
故选D．
【分析】本题围绕条形统计图和扇形统计图的综合应用展开. 解题核心是以教育类图书的销量和占比为突破口，先求出总销售量，再依次计算各类图书的销量与占比，逐一验证选项的正确性.
6．【答案】B
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选B．
【分析】利用垂线的定义和直角三角形的两锐角互余求出∠FED=50°，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】一元二次方程 中，
a=2，b=3，c=-5，
△ =49 ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可。
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝（x﹣1＋3）2＋2，即y＝（x＋2）2＋2；
再向下平移4个单位为：y＝（x＋2）2＋2﹣4，即y＝（x＋2）2﹣2＝x2＋4x＋2.
故答案为：D.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误．
当时，在第二象限（）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误．
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的性质得到 当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，进而即可求解。
10．【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查位似图形的性质与相似三角形的判定和性质。位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比，解题时先根据点和的坐标求出位似比，再利用位似图形的性质得到对应线段的比例关系，结合对顶角相等判定，最后根据相似三角形的对应边成比例计算的长度。
11．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：由条件可得
∴当 时，2x+y有最大值为
故答案为：
【分析】根据 得到 -1，整体代入代数式，将代数式转化为关于x的二次函数，求最值即可.
12．【答案】9
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，∴，两点关于原点对称，
即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，
∴，，
∴，，
∴，
把代入，
得，
解得，
故答案为：9．
【分析】本题综合考查反比例函数的解析式求解、一次函数与反比例函数的交点性质、关于原点对称的点的坐标特征. 解题核心是利用“过原点的直线与反比例函数的交点关于原点对称”这一性质，建立关于m、n的方程，求出点A的坐标，再代入反比例函数解析式计算k的值.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由作图可知，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题综合考查尺规作图-角平分线，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定. 解题时需先根据作图步骤，明确AG是的角平分线，再结合的平行性质，推出内错角相等，进而判定为等腰三角形，得到，最后结合BC的长度求出CG的数值.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴
；
故答案为：．
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系可得，再将其代入计算即可.
15．【答案】5
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∵点G为的中点，点H为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当点重合时，取得最大值为5，
故答案为：5．
【分析】连接，根据矩形的性质，根据勾股定理求得，即可得到，再根据三角形中位线定理可得得到，解答即可．
16．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：过点作于点，
∴，
设，则，
∴，
得，
则，，
由翻折得，
设，
则，，
在中，，
即，
解得：，
即，
故答案为：．
【分析】本题综合考查翻折的性质、勾股定理、锐角三角函数（正切）、直角三角形的性质. 解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，利用的比例关系设未知数，结合勾股定理求出线段长度，再利用翻折的性质设，在中列勾股方程求解.
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，计算零指数幂、立方根、负整数指数幂，然后运算乘法，再加减解答即可．
18．【答案】解：
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴原式
【知识点】绝对值的非负性；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题核心考查分式的化简求值，非负数的性质（平方与绝对值的非负性）. 解题核心分两步：先对括号内的分式通分，将除法转化为乘法，完成约分化简；再利用非负数的性质求出x、y的值，代入化简后的式子计算结果.
19．【答案】（1）证明：∵点为的中点∴，
∵
∴，，
在和中
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形
（2）证明：当时，四边形是矩形，理由如下：
∵，点是边上的中点，
∴即，
∵ 由（1）得四边形是平行四边形，
∴ 四边形是矩形
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题综合考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质.
（1）先证明，得到，结合，判定四边形AEBD为平行四边形；
（2）利用等腰三角形三线合一的性质，得到，即，结合（1）的平行四边形结论，判定其为矩形.
（1）证明：∵点为的中点
∴，
∵
∴，，
在和中
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：当时，四边形是矩形，
理由如下：
∵，点是边上的中点，
∴即，
∵ 由（1）得四边形是平行四边形，
∴ 四边形是矩形.
20．【答案】（1）解：将①班获奖选手的成绩从小到大排列为：，∵出现了次，且次数最多，
∴众数为，
共7个数，第个数据为，
∴中位数为.
（2）解：10个班级获奖人数平均数为：，∴估计全县九年级参赛选手获奖的总人数为：（人），
答：全县九年级参赛选手获奖的总人数为人
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】本题综合考查众数、中位数的定义与计算、用样本估计总体的统计思想.
（1）先将①班的成绩从小到大排序，根据众数的定义找出出现次数最多的数，再根据中位数的定义找到排序后中间位置的数，完成计算；
（2）先计算抽取的10个班级的平均获奖人数，再用样本的平均水平估计总体，结合全县的班级总数，计算出全县九年级参赛选手的总获奖人数.
（1）解：将①班获奖选手的成绩从小到大排列为：，
∵出现了次，且次数最多，
∴众数为，
共7个数，第个数据为，
∴中位数为；
（2）解：10个班级获奖人数平均数为：，
∴估计全县九年级参赛选手获奖的总人数为：（人），
答：全县九年级参赛选手获奖的总人数为人．
21．【答案】解：由题意得：，，，．
在中，，，
，，
在中，，
，
答：无人机从A点到B点的上升高度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先在Rt△AOC中，利用30 角的性质和勾股定理求出AO与OC的长度；再在Rt△BOC中，利用正切函数求出BO的长度；最后用BO AO得到上升高度AB，并代入近似值计算结果。
22．【答案】（1）解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元．
（2）解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，
由题意得，，
解得，，
答：至少应购买B款纪念品30个．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，根据“ 购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元 ”列二元一次方程组解答即可；
（2）设购买B款纪念品a个，根据“ 总费用不超过5000元 ”列一元一次不等式求得a的最小整数解即可．
（1）解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元．
（2）解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，
由题意得，，
解得，，
答：至少应购买B款纪念品30个．
23．【答案】（1）解：，
，
，
点坐标为，
又抛物线 与轴交于，两点，
设抛物线解析式为，
点在抛物线上，
，解得，
抛物线解析式为，
即，
点坐标为，
可设直线解析式为，
把点坐标代入可得，解得，
直线解析式为
（2）解：设，则，
，
，函数图象开口向下，
当时，有最大值为
（3）解：如图，过作轴交于点，交轴于点，作于，
设，则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当中边上的高为时，即，
，
点在第一象限，
，
解得或，
或，
综上可知，存在满足条件的点，其坐标为或
【知识点】解直角三角形；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；已知正切值求边长；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题综合考查待定系数法求函数解析式、二次函数的最值问题、点到直线的距离、等腰直角三角形的性质，涵盖一次函数、二次函数、几何性质的多知识点融合.
（1）利用推出，得到，确定C点坐标，再用待定系数法求直线BC和抛物线的解析式；
（2）设点的坐标，表示出Q点坐标，构建PQ长度的二次函数，利用二次函数的性质求最大值；
（3）过作轴交于点，构造等腰直角三角形，将点N到直线BC的距离转化为，设N点坐标表示出NG的长度，结合N在第一象限的条件列方程，求解出N点的坐标.
（1）解：，
，
，
点坐标为，
又抛物线 与轴交于，两点，
设抛物线解析式为，
点在抛物线上，
，解得，
抛物线解析式为，
即，
点坐标为，
可设直线解析式为，
把点坐标代入可得，解得，
直线解析式为；
（2）解：设，则，
，
，函数图象开口向下，
当时，有最大值为；
（3）解：如图，过作轴交于点，交轴于点，作于，
设，则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当中边上的高为时，即，
，
点在第一象限，
，
解得或，
或，
综上可知，存在满足条件的点，其坐标为或．
24．【答案】解：（1）∵，且．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∵是的中点，点与点重合，
∴，
∴，
∴．
问题解决
（2）解：的周长定值为2．
理由如下：∵，，，
∴，，
在中，∴
．
将（1）中代入得：
∴．
∵，又∵，
∴，
∴．
∵的周长，
∴的周长．
（3）或
【知识点】函数解析式；列反比例函数关系式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（3）①解：∵，，
∴，
过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，设，
∴，由勾股定理得，
，
∴，
∴在中，．
②解：∵，，
∴，
过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接．
∵，
∴，
∴，
在中，设，
∴，由勾股定理得，，
∴，
∴在中，．
∴或．
故答案为： 或 .
【分析】（1）根据两角对应相等得到，即可得到，然后根据勾股定理求出AB长，代入比例式解答即可；
（2）勾股定理求得，将（1）中代入得，根据三角形的周长公式解答即可；
（3）根据三角形的内角和定理得到∠AHF=75°，分两种情况讨论，于的夹角；①过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，在中，设，根据勾股定理可得FN的长，利用正切的定义解答即可；②过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，在中，设，同①即可求解．
1 / 1湖南省邵阳市2025-2026学年上学期九年级二模联考数学试卷
1．党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：8160亿；
故选：A．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．（a3）2＝a5
C．（a b）2＝a2 b2 D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝a6，不符合题意；
C、原式＝a2b2，符合题意；
D、原式不能合并，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】A、由a2，a3不是同类项，所以不能合并，据此判断即可；
B、幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断即可；
C、积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此判断即得；
D、与不是同类二次根式，所以不能合并，据此判断即可；
3．《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设人数为x，物价为y，
由每人出八钱，会多三钱；总钱数，
每人出七钱，又差四钱；总钱数，
∴联立方程组为．
故选：B．
【分析】设人数为x，物价为y，根据“每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱”列方程组解答即可．
4．下列各选项中因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A.x2-1=(x+1)(x-1)，故此选项错误；
B.a3-2a2+a=a(a-1)2，故此选项错误；
C.-2y2+4y=-2y(y-2)，故此选项错误；
D.m2n-2mn+n=n(m-1)2，正确；
故答案为：D.
【分析】直接利用公式法及提公因式法分解因式进而判断即可.
5．某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（　　）
A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
【答案】D
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：总销售量为：（册），
∴科技类图书销售了（册），
∴文艺类图书销售了（册），
∴文艺类图书销售占比为：，
∴其他类图书销售占比：；
综上：只有选项D错误，符合题意；
故选D．
【分析】本题围绕条形统计图和扇形统计图的综合应用展开. 解题核心是以教育类图书的销量和占比为突破口，先求出总销售量，再依次计算各类图书的销量与占比，逐一验证选项的正确性.
6．如图，已知，交于点，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选B．
【分析】利用垂线的定义和直角三角形的两锐角互余求出∠FED=50°，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
7．一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】一元二次方程 中，
a=2，b=3，c=-5，
△ =49 ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可。
8．将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝x2﹣8x＋22 B．y＝x2﹣8x＋14
C．y＝x2＋4x＋10 D．y＝x2＋4x＋2
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝（x﹣1＋3）2＋2，即y＝（x＋2）2＋2；
再向下平移4个单位为：y＝（x＋2）2＋2﹣4，即y＝（x＋2）2﹣2＝x2＋4x＋2.
故答案为：D.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
9．已知反比例函数．下列选项正确的是（　　）
A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误．
当时，在第二象限（）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误．
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的性质得到 当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，进而即可求解。
10．如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查位似图形的性质与相似三角形的判定和性质。位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比，解题时先根据点和的坐标求出位似比，再利用位似图形的性质得到对应线段的比例关系，结合对顶角相等判定，最后根据相似三角形的对应边成比例计算的长度。
11．若，则的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：由条件可得
∴当 时，2x+y有最大值为
故答案为：
【分析】根据 得到 -1，整体代入代数式，将代数式转化为关于x的二次函数，求最值即可.
12．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为　 　．
【答案】9
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，∴，两点关于原点对称，
即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，
∴，，
∴，，
∴，
把代入，
得，
解得，
故答案为：9．
【分析】本题综合考查反比例函数的解析式求解、一次函数与反比例函数的交点性质、关于原点对称的点的坐标特征. 解题核心是利用“过原点的直线与反比例函数的交点关于原点对称”这一性质，建立关于m、n的方程，求出点A的坐标，再代入反比例函数解析式计算k的值.
13．如图，四边形中，，，．下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧；两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由作图可知，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题综合考查尺规作图-角平分线，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定. 解题时需先根据作图步骤，明确AG是的角平分线，再结合的平行性质，推出内错角相等，进而判定为等腰三角形，得到，最后结合BC的长度求出CG的数值.
14．已知方程的两根分别为，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴
；
故答案为：．
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系可得，再将其代入计算即可.
15．如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是　 　．
【答案】5
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∵点G为的中点，点H为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴当点重合时，取得最大值为5，
故答案为：5．
【分析】连接，根据矩形的性质，根据勾股定理求得，即可得到，再根据三角形中位线定理可得得到，解答即可．
16．如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：过点作于点，
∴，
设，则，
∴，
得，
则，，
由翻折得，
设，
则，，
在中，，
即，
解得：，
即，
故答案为：．
【分析】本题综合考查翻折的性质、勾股定理、锐角三角函数（正切）、直角三角形的性质. 解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，利用的比例关系设未知数，结合勾股定理求出线段长度，再利用翻折的性质设，在中列勾股方程求解.
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，计算零指数幂、立方根、负整数指数幂，然后运算乘法，再加减解答即可．
18．先化简，再求值：．其中x、y满足
【答案】解：
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴原式
【知识点】绝对值的非负性；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题核心考查分式的化简求值，非负数的性质（平方与绝对值的非负性）. 解题核心分两步：先对括号内的分式通分，将除法转化为乘法，完成约分化简；再利用非负数的性质求出x、y的值，代入化简后的式子计算结果.
19．如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，试判断四边形的形状，并证明．
【答案】（1）证明：∵点为的中点∴，
∵
∴，，
在和中
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形
（2）证明：当时，四边形是矩形，理由如下：
∵，点是边上的中点，
∴即，
∵ 由（1）得四边形是平行四边形，
∴ 四边形是矩形
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题综合考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质.
（1）先证明，得到，结合，判定四边形AEBD为平行四边形；
（2）利用等腰三角形三线合一的性质，得到，即，结合（1）的平行四边形结论，判定其为矩形.
（1）证明：∵点为的中点
∴，
∵
∴，，
在和中
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：当时，四边形是矩形，
理由如下：
∵，点是边上的中点，
∴即，
∵ 由（1）得四边形是平行四边形，
∴ 四边形是矩形.
20．2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自数防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛．全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加．随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表．
班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5
（1）若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）：，求该班获奖选手成绩的众数与中位数．
（2）根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数．
【答案】（1）解：将①班获奖选手的成绩从小到大排列为：，∵出现了次，且次数最多，
∴众数为，
共7个数，第个数据为，
∴中位数为.
（2）解：10个班级获奖人数平均数为：，∴估计全县九年级参赛选手获奖的总人数为：（人），
答：全县九年级参赛选手获奖的总人数为人
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】本题综合考查众数、中位数的定义与计算、用样本估计总体的统计思想.
（1）先将①班的成绩从小到大排序，根据众数的定义找出出现次数最多的数，再根据中位数的定义找到排序后中间位置的数，完成计算；
（2）先计算抽取的10个班级的平均获奖人数，再用样本的平均水平估计总体，结合全县的班级总数，计算出全县九年级参赛选手的总获奖人数.
（1）解：将①班获奖选手的成绩从小到大排列为：，
∵出现了次，且次数最多，
∴众数为，
共7个数，第个数据为，
∴中位数为；
（2）解：10个班级获奖人数平均数为：，
∴估计全县九年级参赛选手获奖的总人数为：（人），
答：全县九年级参赛选手获奖的总人数为人．
21．随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O，C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，）
【答案】解：由题意得：，，，．
在中，，，
，，
在中，，
，
答：无人机从A点到B点的上升高度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先在Rt△AOC中，利用30 角的性质和勾股定理求出AO与OC的长度；再在Rt△BOC中，利用正切函数求出BO的长度；最后用BO AO得到上升高度AB，并代入近似值计算结果。
22．2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．
（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
【答案】（1）解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元．
（2）解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，
由题意得，，
解得，，
答：至少应购买B款纪念品30个．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，根据“ 购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元 ”列二元一次方程组解答即可；
（2）设购买B款纪念品a个，根据“ 总费用不超过5000元 ”列一元一次不等式求得a的最小整数解即可．
（1）解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元．
（2）解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，
由题意得，，
解得，，
答：至少应购买B款纪念品30个．
23．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，如图．
（1）求直线与抛物线的函数表达式；
（2）点是第一象限内直线上的一个动点，过点作轴，与抛物线交于点，试求出线段的长度的最大值；
（3）在第一象限内，抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，
，
，
点坐标为，
又抛物线 与轴交于，两点，
设抛物线解析式为，
点在抛物线上，
，解得，
抛物线解析式为，
即，
点坐标为，
可设直线解析式为，
把点坐标代入可得，解得，
直线解析式为
（2）解：设，则，
，
，函数图象开口向下，
当时，有最大值为
（3）解：如图，过作轴交于点，交轴于点，作于，
设，则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当中边上的高为时，即，
，
点在第一象限，
，
解得或，
或，
综上可知，存在满足条件的点，其坐标为或
【知识点】解直角三角形；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；已知正切值求边长；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题综合考查待定系数法求函数解析式、二次函数的最值问题、点到直线的距离、等腰直角三角形的性质，涵盖一次函数、二次函数、几何性质的多知识点融合.
（1）利用推出，得到，确定C点坐标，再用待定系数法求直线BC和抛物线的解析式；
（2）设点的坐标，表示出Q点坐标，构建PQ长度的二次函数，利用二次函数的性质求最大值；
（3）过作轴交于点，构造等腰直角三角形，将点N到直线BC的距离转化为，设N点坐标表示出NG的长度，结合N在第一象限的条件列方程，求解出N点的坐标.
（1）解：，
，
，
点坐标为，
又抛物线 与轴交于，两点，
设抛物线解析式为，
点在抛物线上，
，解得，
抛物线解析式为，
即，
点坐标为，
可设直线解析式为，
把点坐标代入可得，解得，
直线解析式为；
（2）解：设，则，
，
，函数图象开口向下，
当时，有最大值为；
（3）解：如图，过作轴交于点，交轴于点，作于，
设，则，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当中边上的高为时，即，
，
点在第一象限，
，
解得或，
或，
综上可知，存在满足条件的点，其坐标为或．
24．综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．
纸片和满足，．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取的中点，将两张纸片放置在同一平面内，使点与点重合．当旋转纸片交边于点、交边于点时，设，，请你探究出与的函数关系式，并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接，发现的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，当点在边上运动（不包括端点、），且始终保持．请你直接写出纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值______（结果保留根号）．
【答案】解：（1）∵，且．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∵是的中点，点与点重合，
∴，
∴，
∴．
问题解决
（2）解：的周长定值为2．
理由如下：∵，，，
∴，，
在中，∴
．
将（1）中代入得：
∴．
∵，又∵，
∴，
∴．
∵的周长，
∴的周长．
（3）或
【知识点】函数解析式；列反比例函数关系式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（3）①解：∵，，
∴，
过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，设，
∴，由勾股定理得，
，
∴，
∴在中，．
②解：∵，，
∴，
过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接．
∵，
∴，
∴，
在中，设，
∴，由勾股定理得，，
∴，
∴在中，．
∴或．
故答案为： 或 .
【分析】（1）根据两角对应相等得到，即可得到，然后根据勾股定理求出AB长，代入比例式解答即可；
（2）勾股定理求得，将（1）中代入得，根据三角形的周长公式解答即可；
（3）根据三角形的内角和定理得到∠AHF=75°，分两种情况讨论，于的夹角；①过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，在中，设，根据勾股定理可得FN的长，利用正切的定义解答即可；②过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，在中，设，同①即可求解．
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