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昌平区 2026年初三年级第一次统一练习
数学试卷参考答案及评分标准 2026. 4
一、选择题（本题共 8道小题，每小题 2分，共 16分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B C C C D D
二、填空题（本题共 8道小题，每小题 2分，共 16分）
题号 9 10 11 12
-1，1
答案 x≥3 a(a + 4)(a - 4） x=1
答案不唯一
题号 13 14 15 16
答案 12 （-1，-6） 4 2 - 2 70；4
三、解答题（本题共 12道小题，第 17-19，21-23题每小题 5分，第 20，24-26题每小题 6分，第
27，28题每小题 7分，共 68分）
17．解： (3 - p )0 + 2sin 45o - -2 + 8
=1 2 2+ - 2 + 2 2 ............................................................................................................. 4分
2
= 3 2 -1 .................................................................................................................................. 5分
18．解：解不等式①得 x＞-6， ........................................................................................................... 2分
解不等式②得 x＜1， ............................................................................................................. 4分
所以不等式组的解集是-6＜x＜1. ......................................................................................... 5分
2b + 2a - 4a
19．解：原式＝ (a b)2 ............................................................................................................... 1分 -
2b - 2a
＝ (a - b)2
2(b - a)
＝ (a - b)2
2(b - a)
＝ (b a)2 ....................................................................................................................... 2分 -
2
＝ (b - a) ......................................................................................................................... 3分
初三数学答案 第 1 页 （共 7页）
由 b－a＋2＝0得 b－a＝-2， ....................................................................................................... 4分
原式＝-1. ............................................................................................................................. 5分
20.（1）证明：∵D，E分别为 AB，AC中点，
∴DE∥BC. .............................................................................................................................. 1分
∵AB = BC，E为 AC中点，
∴ BE ^ AC .
∵ FB ^ BE，
∴FB∥AC.
∴四边形 FECB是平行四边形.
∴FB = EC.
∵E为 AC中点，
∴AE = EC.
∴FB = AE.
∴四边形 AEBF是平行四边形. ............................................................................................. 2分
∵ FB ^ BE，
∴四边形 AEBF是矩形. ........................................................................................................ 3分
（2）解：过点 A作 AG ^ FE于点 G.
∵在 Rt△ ADG中， tan∠ADG AG 3= = ， A
DG 4
设 AG = 3x，则 DG = 4x.
F D G E
∴AD = 5x.
∵AD = 5. B C
∴x = 1.
∴AG = 3，DG = 4. ............................................................................................................... 4分
∵四边形 AEBF是矩形，
∴FD = AD=5........................................................................................................................... 5分
∴FG = 9.
在 Rt△ AFG中， AF = AG2 + DG2 = 3 10 ........................................................................ 6分
初三数学答案 第 2 页 （共 7页）
21．解：设短伞骨长度为 2xcm，长伞骨长度为 5x cm. ..................................................................... 1分
5
×5x 5x= + 2x + 31 . ............................................................................................................... 3分
4 3
x =12 ....................................................................................................................................... 4分
5
5 12 = 75cm
4
答：这个油纸伞的伞柄长 75cm. ........................................................................................... 5分
22．解：（1）∵函数 y = kx + b(k 0)的图象经过点（1，3）和（3，5），
ì3 = k + b
∴ í ........................................................................................................................... 1分
5 = 3k + b
ìk = 1
解得 í 2 . ............................................................................................................................. 3分 b =
（2）1≤m≤2. ....................................................................................................................... 5分
23．解：（1）28.5 ................................................................................................................................... 1分
（2）＜ ...................................................................................................................................... 2分
（3）乙、甲、丁、丙 .............................................................................................................. 5分
24.（1）证明：连接 OC.
∵PB，PC与⊙O相切，切点分别为 B，C，
∴PC = PD. .............................................................................................................................. 1分
∵OC = OB，
∴OP ^ BC . ......................................................................................................................... ..2分
P
∴∠OEB = 90°. C D
∵AB为⊙O直径，
E
∴∠ACB = 90°.
A O B
∴∠OEB =∠ACB.
∴AC∥OP. ........................................................................... 3分
（2）解：连接 BD.
∵PB，PC与⊙O相切，切点分别为 B，C，
∴OC ^ PC，OB ^ PB .
∴∠GBD +∠ABD = 90°.
初三数学答案 第 3 页 （共 7页）
∵AB为⊙O直径， P
C
∴∠ADB = 90°. D G
F
∴∠DAB +∠ABD = 90°. E
∴∠GBD =∠DAB. A O B
∵OP ^ BC，
∴C D = B D .
∴∠CBD =∠DAB.
∴∠CBD =∠GBD.
∵∠BDF =∠BDG，BD=BD，
∴△BDF≌△BDG.
∴DF = DG = 5 . ................................................................................................................... 4分
1
∵DF = AD，
4
∴AD = 4 5，AG = 5 5
∵∠DAB =∠BAG，∠ADB =∠ABG
∴△ABD∽△AGB. ................................................................................................................. 5分
AB AD
∴ = ，可得 AB = 10.
AG AB
∴求⊙O的半径的长为 5. ...................................................................................................... 6分
25．（1）5； ............................................................................................................................................ 1分
（2）m = 32，n = 51，如图所示；
y
60
55 C2
C3
50
C145
40
35
30
25
......................................................................... 4分
20
15
10
5
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T
（3）①7；②b < c < a. ........................................................................................................................... 6分
初三数学答案 第 4 页 （共 7页）
26．解:（1）∵抛物线 y1 = ax2 + bx + 1( a 0 )，经过点（2，1），
∴1 = 4a + 2b + 1.
∴b = -2a. ......................................................................................................................... 2分
（2）① 1； ............................................................................................................................... 3分
1
②∵过点P（t，0）作 x轴的垂线，交抛物线 y1 = ax + bx + 1于点M，交抛物线 y2 = ax + 1于点N，
4
∴M（t，at2 - 2at + 1），N（t 1， at2 + 1）.
4
分两种情况：
情况 1：当 a > 0时，
8 1
（i）当0 < t 时，at2 - 2at + 1 < at2 + 1
3 4
∴MN = ( 1 at2 + 1)-（at2 - 2at + 1 =
3
） - at2 + 2at.
4 4
函数 y = 3- at2 + 2at
4
4 的图象开口向下，对称轴为
t = ，
3
当 t
4 4
≤ 时，y随 t的增大而增大，当 t ＞ 时，y随 t的增大而减小.
3 3
∵AP = t -a，
4 4 8
∴当 0＜a＜2a≤ 时符合题意， ＜2a≤ 时不符合题意.
3 3 3
2
∴0 < a≤ .
3
（ii
8 1
）当 t＞ 时，at2 - 2at + 1 > at2 + 1,
3 4
= 2 2 + 1 ( 1 3∴MN （at - at ）- at + 1)= at2 - 2at.
4 4
函数 y =
3 4
at -2at的图象开口向上，对称轴为 t = ，
4 3
4 4
当 t≤ 时，y随 t的增大而减小，当 t > 时，y随 t的增大而增大.
3 3
∵AP = t - a，
8
∴a≥ 时符合题意.
3
8
∴a≥ .
3
初三数学答案 第 5 页 （共 7页）
情况 2：当 a < 0时，
∵2a≤ t ≤ a < 0，
∴at2 1- 2at + 1＜ at2 + 1.
4
∴MN = (
1
at + 1)-（at2 - 2at + 1）=
3
- at2 + 2at,
4 4
函数 y = 3- at2 + 2at的图象开口向上，对称轴为 t =
4
，
4 3
4 4当 t ≤ 时，y随 t的增大而减小，当 t＞ 时，y随 t的增大而增大.
3 3
∵AP = a- t，
4 4
∴当 t≤ 时，y随 a - t的增大而增大，当 t＞ 时，y随 a - t的增大而减小.
3 3
当 t＜0时，即 MN的长随 AP的长的增大而增大.
∴当 a＜0时符合题意.
综上所述，a的取值范围是 a＜0或 0
2 8
＜a≤ 或 a≥ . ............................................................ 6分
3 3
27．证明：（1）由题意得，∠PCF = 180° - α，
∴∠DCF = α =∠B.
∵点 B关于直线 CE的对称点为点 F，
∴△CBE≌△CFE.
∴∠FCE =∠BCE.
设∠FCE =∠BCE=β
∴∠DCE =∠DCF +∠FCE = α+β.
而∠DEC =∠B +∠BCE = α+β，
∴∠DCE =∠DEC........................................................................................................................... 2分
（2）AD =CP + DF. .......................................................................................................................... 3分
在线段 AB上取一点 Q使得 CQ = CB，
∴∠CQB =∠B = α. GP
则∠AQC =180° - α， C
∴∠AQC =∠PCF.
E
∵点 B关于直线 CE的对称点为点 F， A Q BD
∴CF = CB. F
∴CQ = CB.
初三数学答案 第 6 页 （共 7页）
又∵∠CPF =∠CAB，
∴△CQA≌△FCP（AAS）.
∴CP = AQ. ...................................................................................................................................... 4分
由（1）知△CBE≌△CFE，∠DCE =∠DEC，
∴∠CFE =∠B = α，DC = DE.
∵∠DFE = 2∠B = 2α，
∴∠DFC =∠B = α =∠DCF，
∴DC = DF.
∴DE = DF. ...................................................................................................................................... 5分
∴∠DEF =∠DFE = 2α
在△CFE中，设∠FCE = β，
∠CEF =∠CED +∠DEF = α+β+2α = β+3α，∠CFE = α，
∴β + β + 3α + α =180°，
即 2α + β = 90°. ............................................................................................................................ 6分
∴在△QCB中，∠QCE =180°-∠CQB -∠B -∠BCE = 90°.
∴∠QCD = 90°-∠DCF -∠FCE = 90°- α - β = α.
∴∠QCD =∠CQD，
则 QD = DC = DF. ........................................................................................................................... 7分
∴AD = AQ + QD = CP + DF.
28．解：（1）①B1C1，B3C3 ......................................................................................................................................................................... 2分
3 x 3② - ≤ B≤- ................................................................................................................................. 4分
2
（2） 4 - 7 2≤b≤4 + 3 2 .............................................................................................................. 7分
初三数学答案 第 7 页 （共 7页）

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