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机密★开考前
湖南省普通高中学业水平合格性考试模拟卷(二)
数 学
注意事项
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 100分，考试时间 90分钟。
2.答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚。考生作答时，请将答案答在答题卡上。必须在
题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
一、选择题：本题共 18小题，每小题 3分，共 54分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.集合 0.1.2.3 的真子集的个数是
A.16 B.15 C.8 D.7
2. 1 x函数 f (x) 的定义域为
ln x
A. (0, ) B. (0,1] C.(0,1) D. (0,1) (1, )
3.若 (x2 1) (2x 2)i是纯虚数，则实数 x的值是
A.1 B.-1 C.±1 D.-2
4.tan 210°的值为
A. 3 B.-1 C 3 D 3
3 3
5.已知 1 a 3,2 b 4 ,则 2a b的取值范围是
A. 6 2a b 4 B.0 2a b 10
C. 4 2a b 2 D. 5 2a b 1

6. 如图，在四边形 ABCD中，设 AB a, AD b,BC c ,则DC

A.a b c B. a b c C.b a c D.b (a c)
7.甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了 2000次，其中正面朝上的有 1034次，则
下列说法正确的是
A.甲同学的实验中，反面朝上的频率为 0.483
B.抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为 0.517
C.抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于 0.5
D.甲同学的实验中，正面朝上的频率接近 0.517
8.如图，一个水平放置的平面图形 OABC 的斜二测直观图是平行四边形 O′A'B'C′,且
OC′=2,OA′=1,∠A’O′C′=45°,则平面图形 OABC的面积为
A.2 B.4 C.8 D.10
9.已知 a,b∈R,则“a=0且 b=0”的充要条件是
A.a +b =0 B a 0 C.ab=0 D.a+b=0
b
3
10.函数 f (x) 2x x 的图象大致是e

11.已知a (1,2),b ( 1,2) ,则a在b上的投影向量为
A ( 3 , 6) B (3 , 6 ) C ( 3 , 6 ) D. (3 , 6)
5 5 5 5 5 5 5 5
12.若三角形的三边长分别是 5,6,8,则这个三角形的形状是
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
13.正四棱台的上、下底面边长分别为 1 cm,3 cm,侧棱长为 2 cm,则棱台的侧面积为
A.4cm B.8cm C.4 3 cm D.8 3 cm
14.已知a 0.52 ,b 20.5 ,c log 20.5 ,则 a,b,c的大小关系为
A.c15. a 设 1,1,
1 ,3 ,则使函数 f (x) x 的定义域为 R且为奇函数的所有α值为
2
A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3
16.已知函数 f (x) sin 2x ,则下列是函数 f (x)图象的对称中心的坐标的是
A. ( ,0) B ( , 0) C ( ,0) D. ( ,0)
3 4 4
17.函数 y 2x2 3x 7的两个零点分别为 a,b,则 a +b =
A 3 B 9 C 7 D. 37
2 2 4 4
18.函数 y f (x)在 R上是增函数，若 a+b≤0,则有
A. f (a) f (b) f (a) f (b) B. f (a) f (b) f (a) f (b)
C. f (a) f (b) f ( a) f ( b) D. f (a) f (b) f ( a) f ( b)
二、填空题：本题共 4小题，每小题 4分，共 16分。
x 1, x 0
19.设 f (x) 1, x 0 ,则 f ( f (0))等于_______.

1, x 0
20.2cos2152 1 _______.
21.已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：14,30,37,a,41,52,53,55,58,80;乙组：
17,22,32,b,45,47,51,59.若甲组数据的第 30百分位数和乙组数据的中位数相等，则 a-b=______.
22.棱长为 a的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的半径为______。
三、解答题：本题共 3小题，共 30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
23.(本小题满分 10分)已知 a>1,若函数 f (x) log xa 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 1.
(1)求 a的值；
(2)解不等式 log (x 1)1 log
(a x)
1 ,
3 3
24.(本小题满分 10分)
汽车厂生产 A,B,C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单
位：辆):
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50辆，其中有 A类轿车 10辆.
(1)求 z的值；
(2)用分层抽样的方法在 C类轿车中抽取一个容量为 5的样本.将该样本看成一个总体，从中任
取 2辆，求至少有 1辆舒适型轿车的概率.
25.(本小题满分 10分)如图 1,△ABC为等边三角形，D,E分别为 AB,AC的中点，O为 DE的中
点，BC=4,将△ADE 沿 DE 折起到△A DE 的位置，使得平面 A DE⊥平面 BCED,F 为 A C的
中点，如图 2.
(1)求证：EF//平面 A BD;(2)求点 F到平面 A OB的距离.

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