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山西汾阳中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．复数（其中i是虚数单位）的实部是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则m等于（ ）
A． B．4 C． D．
3．对于两个不共线向量，，已知，，若与共线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知a，b是两条异面直线，，那么c与b的位置关系（ ）
A．一定是异面 B．一定是相交 C．不可能平行 D．不可能相交
6．在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．不含的直角三角形
7．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCD-EFGH的边长为2，P是正八边形ABCD-EFGH八条边上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
8．在正四棱锥中，，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角的余弦值为 D．向量在上的投影向量为
10．已知复数满足，复数（，i为虚数单位），则下列选项正确的是（ ）．
A．若，则在复平面内对应的点位于第一象限
B．复数在复平面内对应点的轨迹是圆心为，半径为1的圆
C．的最大值为3
D．若的实部与虚部互为相反数，则
11．在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，则（ ）
A．
B．过点的平面截该长方体，所得截面周长为
C．以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为
D．三棱锥外接球的体积是
三、填空题
12．在中，，，，则________.
13．若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径，满足，且圆台的侧面积为，则__________.
14．抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑（简称“解放碑”）位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，也是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑，同时象征着中国人民反法西斯战争的胜利、重庆解放的历史意义.小西为测量解放碑的高度，选取了由西到东相距米的两个观测点A和B.在点A处测得解放碑的基座中心点C位于北偏东75°方向（A、B、C在同一水平面上），且楼顶D的仰角为30°；在点B处测得解放碑基座中心点C位于北偏西45°方向，则解放碑的高度为________米.
四、解答题
15．已知平面内三个向量，，.
(1)若，求实数，的值；
(2)若，求实数的值；
16．在中，角，，的对边分别为，，，若，，.
(1)求边；
(2)求的面积.
17．如图所示，在中，，，与相交于点I，的延长线与边交于点P．
(1)用和分别表示和；
(2)如果，求实数和的值；
(3)在（2）的条件下，确定点P在边上的位置．
18．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，．
(1)求角A和边a；
(2)求的取值范围．
19．复向量是指元素为复数的向量，即把有序复数对看作一个向量，记作．我们把两复向量，的数量积记作．对于，，，，，，满足如下运算法则：
① ②，
③ ④复向量的模
已知为虚数单位，，，，，．
(1)求复向量，的模；
(2)证明：若，，则；
(3)对两个复向量与，若，则称与平行．是否存在，使与平行，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【详解】复数，所以的实部为.
故选：C
2．C
【详解】由向量，可得，
因为，可得，解得.
故选：C.
3．C
【详解】由题意知.
若与共线，则存在实数使得，
因为向量，不共线，
所以解得，故的值为.
故选：C
4．A
【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立；
反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立，
故“”是“且”的充分不必要条件，
故选：A.
5．C
【详解】、是两条异面直线，，
与可能相交，可能是异面直线，不可能平行，
若，，，与，是异面直线矛盾，
故选：C．
6．B
【详解】由和正弦定理，可得，
因，代入上式，化简得：，
即，故得或，
当时，，所以，此时是直角三角形；
当时，，又，，
则或（舍去），此时为等腰三角形.
综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形.
故选：B.
7．C
【详解】设，
当与重合时，；
当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时，
，所以，
当与重合时，，所以，
以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系，
根据正八边形的性质可知，，
则，
直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，
当在线段（除）上运动时，设，
所以，
当在线段上运动时，设，
所以，
当在线段（除）上运动时，设，
所以.
综上所述，的最小值为.
故选：C
8．B
【详解】如图，作平面，垂足为，则是正方形外接圆的圆心，从而正四棱锥外接球的球心在上，
取棱的中点，连接，作，垂足为.
由题中数据可得，
设四棱锥外接球的半径为，
则，
即，
解得.
由题意易证，
则，
故.
故所求截面圆的面积是.

故选：B
9．AD
【详解】依题意，，
对于A，，因此，A正确；
对于B，，因此，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，向量在上的投影向量为，D正确.
故选：AD
10．BCD
【详解】因为时，复数，
所以在复平面内对应的点位于虚轴上，A错误；
因为复数满足，所以复数在复平面内对应点的轨迹是圆心为，半径为1的圆，B正确；
当复数的点位于时，取最大值为3，C正确；
由于，若的实部与虚部互为相反数，
则，即，D正确.
11．ABD
【详解】设，在直角中，根据勾股定理得，
在直角中，根据勾股定理得，解得，故，故A正确，
延长相交于点，连接交于点，则截面周长为，
在中，利用三角形相似可得，在中，利用三角形相似可得，
，又底面是边长为4的正方形，则，
故截面周长为，故B正确，
点到底面的距离为1，球的半径为，设球面与底面（正方形）的交线为半圆，
圆心在线段上且与距离为1，圆的半径，可得交线长为，故错误，
在中，，则的外接圆半径，显然平面，
因此三棱锥的外接球的球心在线段的中垂线上，球心到平面的距离为，
则球半径，故三棱锥的外接球体积为，故D正确.
12．2
【详解】由余弦定理，
，，，
所以，
解得.
13．2
【详解】由题意，解得．
故答案为：2．
14．27.5/
【详解】因为在点处测得解放碑的基座中心点位于北偏东方向，在点处测得位于北偏西方向，、、在同一水平面上，
所以，，所以.
由正弦定理可得：，
米，，.
所以米.
在中，，根据正切函数，
所以米.
故答案为：27.5
15．(1)；
(2).
【详解】（1）因，又，，，
即，
，解得；
（2）因为，，
又，
，解得.
16．(1)或
(2)或
【详解】（1）由余弦定理得，
整理得，解得.
所以边的值为或.
（2）当时，；
当时，.
所以的面积为或.
17．(1)，．
(2).
(3)P为线段上靠近点C的三等分点．
【详解】（1），．
（2）由（1）知，，
，
，
，不共线，，
解得.
（3）设，．
由（2）知，，
．
又，
，
，不共线，，
解得.
，即．
∴点P为线段上靠近点C的三等分点．
18．(1)，1
(2)
【详解】（1）由和正弦定理可得，
化简得，
即
因，则，即，
因，故．
又由且，
可得．
（2）由正弦定理，，
可得，，
则，（*）
因，将其代入（*），可得：
．
因，则，故，
则的取值范围是．
19．(1)，
(2)证明见解析
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1），，
，
，
，
，.
（2）设，， ，，，；设.
，
，
.
（3），，
，
，
，，.
假设与平行，
则，即，
两端平方得：，即，
，
方程无解，
故不存在实数，使得与平行.

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