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2025-2026 学年下学期
东北师大附中数学科试卷
高一年级期中考试
注意事项:
1. 答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。
3. 回答非选择题时, 请使用 0.5 毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内, 超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效。
4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题:本题共 8 道小题，每小题 分，共 32 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 复数 (其中 为虚数单位)是实数，则实数 的值为( )
A. 1或-1 B. 1 C. -1 D. 0或-1
2. 化简 ( )
A. B. C. D.
3. 已知函数 ，为了得到 的图象，则需将函数 的图象( )
A. 向右平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度
4. 已知点 ， ，则与向量 方向相反的单位向量是( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 是奇函数,函数 的最小正周期为 ,且 ，则 ( )
A. I B. C. 2 D.
16. 已知点 是单位圆分弧 上一点, ,以 为原点, 所在的直线为 轴,建立平面直角坐标系,设 ,则 ,如图所示. 若 ，则 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
7. 在 中,若 ,且满足 ,则 的面积等于( )
A. B. 2 C.3 D. 1
8. 函数 的部分图象如图所示,其中 两点为图象与 轴的交点， 为图象的最高点，且 是等腰直角三角形，且 . 已知函数 若存在实数 ,且 ,使得 , 则 的最大值为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共计 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有错选的得 0 分。
9. 复数 满足 (其中 是虚数单位),则下列说法正确的是 ( )
A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第四象限
C. D.
10. 已知函数 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 函数 的最小正周期是 B. 直线 是函数 图象的一条对称轴
C. 函数 的值域是 D. 函数 的单调递减区间是
1 下列有关平面向量的说法中，正确的是 ( )
A. 若平面向量 满足 ，则 的最小值是 3
B. 若平面向量 满足 ，则 的最大值是 5
C. 若平面向量 ，则 在 上的投影向量是
D. 在 中,若对任意 ,均有 ,则 为锐角三角形
三、填空题:本题共 3 个小题，每小题 4 分，共 12 分。
12. 在复平面内, 是原点,向量 对应的复数是 ,若点 关于虚轴的对称点为点 ,则点 对应的复数是_____.
13. 在 中， 平分 交 于点 ，则 的面积为_____.
14. 在平面直角坐标系中, 为坐标原点,已知 三点满足 ，且函数 的最小值为 ，则实数 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 58 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(10分)
设向量 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求实数 的值.
16. (10 分)
已知函数 的两条相邻对称轴之间的距离为 .
(1)求 的值；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 的图象. 若函数 在区间 上存在零点,求实数 的取值范围.
17. (12 分)
某环保监督组织为了监控和保护查干湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地 、 两地间的距离 (如图)，环保监督组织测绘员在(同一平面内)同一直线上的三个测量点- 、 、 进行测量,在 点测得 ，在点 测得 ， ，在点 测得 ，并测得 ， (单位:千米).
(1)求 的距离；
(2)求 的距离.
18. (12 分)
如图，在 中，点 满足 ， 是线段 的中点，过点 的直线与边 、 分别交于点 、 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ， ，求 的最小值.
19. (14 分)
已知函数 ，其中 ， .
(1)若 ，求函数 的单调递增区间和最小值；
(2)在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，且 .
(i) 求 的值;
(ii) 若 是 边上的一点,且 ,当 取最大值时,求 的面积.
2025-2026 学年下学期
东北师大附中数学科试卷答案
高一年级期中考试
一、单项选择题: 本题共 8 道小题, 每小题 4 分, 共 32 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D A D B A C B
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共计 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有错选的得 0 分。
9 10 11
ABC BD AB
三、填空题: 本题共 3 个小题, 每小题 4 分, 共 12 分。
12.
13. 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 58 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (10 分)
解: (1) 由已知 ,得 ,
所以 ,解得 ,所以 .
(2) ， ，因为两向量共线，
所以, ,解得 .
16. (10 分)
解: (1) 因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为 . 所以函数 的最小正周期 , 所以 ,解得 .
( 2 )由( 1 )得 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到 的图象,再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 的图象,故 ,因为 ,
当 时,函数 取得最小值,
当 时,函数 取得最大值, ,故 .
因为函数 在区间 上存在零点,所以方程 有解,所以实数 的取值范围为 .
17. (12 分)
解: (I) 由已知,在 中, ,
则 . 由正弦定理,有 ,
所以, .
所以 的距离为 千米.
(2)由已知，在 中， ， ， ，
则 ,则 ,
在 中, , 再由余弦定理,得 ,即 . 所以 的距离为 3 千米.
18. (12 分)
解: (1) 解: 因为 ,
所以 ,
因为 是线段 的中点，所以 ，
设 ,因为 ,则有 ,
因为 三点共线,所以 (不用证明),解得 ,即 , 所以 ,所以 .
(2)解:因为 ，同理可得 ，
由(1)可知, ,所以 ,
因为 三点共线,所以 ,即 ,且 ,
所以
当且仅当 ,即 时取等号, 所以 的最小值为 .
19. (14 分)
解: (1)
,
由 解得 ,
又 ,因此函数 的单调递增区间为 .
其最小值为 .
(注: 也可以化为 作答)
(2)(i)由 ，可得 ，化为 ，
,
,解得 . 即 . 由正弦定理可得
.
(ii) 由题意知 ,
在 与 中,分别有 ,
又 ,化简得 ,在 中, .
(也可以这样推导: ， ,即 )
方法一:
,即 ,设 ,
所以 ,所以 ,即 ,因为 ,所以关于 的方程 有正根, ,即 ,所以 ,所以 的最大值为 .
当 时,代入方程 ,得 ,即 ,满足 ,
所以 ,
所以 .
所以三角形的面积为 .
方法二:
,即 .
令 ,因为, ,所以 ,所以
则 ,其中取 ,且
,故 .
因为 ,所以 . 因为 ,
所以 ,当且仅当 时取等,
此时 的最大值为 ,
即 ,
所以三角形的面积为 .

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