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2026届芜湖市高中毕业班教学质量统测 数学试题卷
本试题卷共4页，满分 150 分，考试时间 120 分钟
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卷和试题卷上。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卷上对应题目的答案选项涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案选项。作答非选择题时，将答案写在答题卷上对应区域，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将答题卷交回。
一、选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 复数 满足 ,则
A. B. C. D.
2. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
3. 已知 ,则
A. B. C. D.
4. 在平行四边形 中, ,设 ,则
A. B. C. D.
5. 已知 ,则不等式 的解集为
A. B. C. D.
6. 已知随机变量 服从正态分布 ，下列说法正确的是
A. B. C. D.
7. 有公共焦点 的抛物线 与椭圆 相交于 两点,且 // ,则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
8. 在锐角 中, ,则下列说法正确的是
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9. 若 ,且 ,则下列结论一定成立的是
A. B. C. D.
10. 关于 的方程 ,下列说法正确的是
A. 当 时,方程有两个根
B. 当方程有两个根时,
C. 当 时,方程有三个根
D. 当方程在区间 上有三个根时,
11. 在棱长为 的正四面体 中, 分别为棱 的中点,在空间中, ,记点 的轨迹为曲线 ,则下列结论正确的是
A. 若线段 的中点为 ,则
B. 曲线 是一个圆
C. 曲线 上不存在点 ，使得 平面
D. 曲线 上点 到平面 距离的最大值为
三、填空题:本题共3小题，每小题 5 分，共15 分.
12. 等比数列 的前 项和为 ,满足 ,则公比 _____.
13. 已知 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数，则 _____.
14. 已知集合 共有 个三元子集. 任意一个三元子集 ，定义 . 则 _____.
四、解答题:本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分) 已知 图象的最高点为 .
(1)求 的解析式；
(2) 的正零点从小到大记为 ，求 的值.
16. (本小题满分15分)某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，5 天的人园游客量统计数据如下:
活动开展第 天 1 2 3 4 5
入园游客量 (百人) 53 64 71 79 83
(1)由数据看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系,请计算相关系数 (保留小数点后两位)，并推断相关程度的强弱；
(2)求经验回归方程 以及表中第 3 个观测的残差；(观测值减去预测值称为残差)
(3)该景区在活动期间设置3个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客人同时选择通道①、②、③的概率依次为 、 、 ；游客离园时，从原先人园通道离园的概率为 ，从另两个通道离园的概率均为 ，求游客从通道①离园的概率.
附:参考公式
相关系数 ;
回归直线方程 ,其中
参考数据:
第 17 题图
17. (本小题满分 15 分) 在棱长为 2 的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点.
(1)求该正方体被平面 所截得的截面面积；
(2)求证: 平面 ；
(3)点 在线段 上运动，设平面 与平面 所成夹角为 ，求 的最大值.
18. (本小题满分17分) 已知 .
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)若 有极值点,求 的取值范围；
(3)若 恒成立，求 的取值范围.
19. (本小题满分17分)已知直线 与 ,直线 与 分别交于 两点， 为坐标原点, 的面积为 .
(1)当直线 为 的切线时,求 的最小值;
(2)若 ，点 为线段 的中点，
(i) 求动点 的轨迹 的方程；
(ii) 当直线 与轨迹 仅有三个公共点 时, 是否存在最小值？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由.
2026 届芜湖市高中毕业班教学质量统测 数学试题答案
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D B A D C B
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
题号 9 10 11
答案 AC ACD ABD
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 13. 0 14. 660
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15 】由题意知 ,且 .6 分
(2)令 得 ，
.13 分
【16】(1) ,
.4 分
(2)
故经验回归方程为 。对于表中第 3 个观测,入园游客量为 71 (百人),预测值为 (百人),残差为 (百人) .10 分
(3)记从通道 入园的事件为 ，从通道 离园的事件为
.15 分
【17】
解析:(1)取 的中点为 ，连接 ，则 ，
则四边形 为截面，且
.4 分
(2)
取 的中点 ,连接
9 分
(3)建立以 所在直线分别为 轴的空间直角坐标系，如图所示
则 ,其中
设平面 DMP 的法向量为 ,
则
令 ,则
又 平面 的法向量为
当 时, 取得最大值为 .
.15 分
【18】
(1)
当 时,
切线方程为
.3 分
(2)
1) 当 时, 无极值;
2) 当 时, 时, 时,
,使得
时, 时, ,
此时 为极小值点,符合题意
综上: ;
(3)
当 时, 时, ,不符合题意
当 时, ,满足题意
当 时，由(2)知:
的最小值为
且 满足: ,即
又
令 ,
可知 在 单调递减,且
得到
又由 得
令 ,其中
在 单调递增
综上所述:
.17 分
【19 】
(1)设点 为圆上一点，则 (*)，且 ，得
,结合 得 ,当 时,符合
联立 解得 进而得
联立 解得 进而得
所以 的最小值为 1 ;
(2) (i)
方法一:若直线 斜率存在，设为 :
分别联立 与 得
所以 ①
②
又
也即 ,则有 ③
联立 ①②③ 消去参数 与 得
若直线 斜率不存在,易得 也满足
综上: 轨迹 的方程为: . .9 分
方法二:
当 在 轴左侧时, 则 ,由题
意知
同理其余三种情况,综上 的轨迹方程为 . .9 分
(ii) 由题意可知直线 与轨迹 中的焦点在 轴上的双曲
线: 切于点 ,亦为点 ,
通过联立方程可得 .
与焦点在 轴上的双曲线: 交于 两点,联立方程得
则
通过计算可知
所以
再由 可知,所以 ,
在 中,设 ,则
在 中,设 ,则
即
当且仅当 时,取到 的最大值.
.17 分

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