资源简介

2025-2026学年第二学期东莞高级中学期中考试 高二数学试卷
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 若函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则 ( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2. 观察下列散点图,其中图 1 两个变量的相关关系为 ,图 2 两个变量的相关关系为 ,则判断一定正确的是( )
图1
图2
A. B. C.
D.
3. 已知函数 的导函数 的图象如图所示,则函数 的图象可能是 ( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列选项中与 最接近的数为 ( )
A. 1.11 B. 1.13 C. 1.17 D. 1.17
5. 有5个座位连成一排，现有2人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为( )
A. 6 B. 12 C. 20 D. 36
6. 某校组织高二年级所有学生参加 “一带一路” 知识测试,据统计学生的及格率为 ,高二年级中学生的男女比例为2:3,男生的及格率为 ,则女生的及格率为( )
A. B. C. D.
7. 设 ，则 ( )
A. B. C. D. 1
8. 函数 ，若 恒成立，则 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. e
二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在 的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 展开式共 21 项 B. 含 的项的系数为 760
C. 只有第 10 项的二项式系数最大 D. 展开式的各项系数的和为 1
10. 已知随机变量 ,则( )
A. B. 是增函数
C. D.
11. 若 1 ln ，则( )
A. B. C. D.
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算 _____.
13. 曲线 与 在 上有交点,则 的最小值为_____.
14. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 出发，每隔 等可能地向左或向右移动一个单位长度，移动 6 次后质点对应的数为x，则 D(X)=_____.
四、解答题:本大题共 5 小题,第 15 题 13 分，16、17 题各 15 分，18、19 各 17 分，共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
15. 下表统计了2021-2025年某网站 “双11” 当天的交易额, 统计结果如表:
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码x 1 2 3 4 5
交易额y/百亿元 9 12 17 21 26
(1)请根据表中提供的数据，用样本相关系数r说明y与x的线性相关程度；
(2)求出 关于 的经验回归方程，并预测2026年该网站 “双 11 ” 当天的交易额.
参考公式:回归方程 中, ; 参考数据: .
16. 某部门共有6人，其中有4人已接种某种疫苗，2人未接种该种疫苗，从中随机地抽取3人作为样本，用 X 表示样本中接种疫苗者的人数.
(1)若采用不放回的随机抽取，求x的分布列及数学期望；
(2)分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本接种疫苗人数的比例估计总体中接种疫苗人数的比例，求误差不超过0.1的概率; 试比较两种抽取方法, 哪种抽取方法估计的结果更可靠
17. 已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)讨论 的单调性；
(3)若函数 在 上的最小值是 ,求 的值.
18.小李参加某项专业资格考试, 一共要考3个科目, 若3个科目都合格, 则考试直接过关; 若都不合格, 则考试不过关；若有1个或2相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过关， 否则不过关. 已知小李每个科目每次考试合格的概率均为 ，且每个科目每次考试的结果互不影响.
(1)记 “小李恰有1个科目需要补考” 的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p。
(2)以(1)中确定的 作为 的值.
①求小李这项资格考试过关的概率；
②若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为X元，求E(X).
19. 已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若对任意 且 ,都有 ,求实数 的取值范围；
(3)当 时，证明 .
2025-2026学年第二学期东莞高级中学期中考试 高二数学参考答案
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 若函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则 ( )
A. - 3 B. -2 C. -1 D. -0
【答案】
由导数的几何意义可得 ,将点 的坐标代入切线方程可得 , 因此, .
故选: .
2. 观察下列散点图,其中图 1 两个变量的相关关系为 ,图 2 两个变量的相关关系为 ,则判断一定正确的是( )
图1
图2
A. B. C. D.
【答案】
3. 已知函数 的导函数 的图象如图所示,则函数 的图象可能是 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】
根据图像可知 时, ,所以 单调递减,
时, ,所以 单调递增,
时, ,所以 单调递减.
综上,只有 选项符合.
4. 下列选项中与 最接近的数为 ( )
A. 1.11 B. 1.13 C. 1.15 D. 1.17
【答案】
从选项可知精确到 0.01 即可.
所以原式 .
5. 有5个座位连成一排，现有2人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为( )
A. 6 B. 12 C. 20 D. 36
[答案]
由题意，先让 2 人坐定，有 种方法，
然后将相邻的两个空位看作一个座位,再将两个座位插入 2 人形成的 3 个空位中,有 种方法, 因此,恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为 .
6. 某校组织高二年级所有学生参加 “一带一路” 知识测试,据统计学生的及格率为 ,高二年级中学生的男女比例为2: 3,男生的及格率为 ,则女生的及格率为( )
A. B. C. D.
【答案】
设女生的及格率为 ,
由全概率公式可知 ,
解得 .
7. 设 ,则 ( )
A. B. C. D. 1
【答案】C
因为 ,
所以 ,所以 .
故选: .
8. 函数 ,若 恒成立,则 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. e
【答案】
二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 在 的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 展开式共 21 项 B. 含 的项的系数为 760
C. 只有第 10 项的二项式系数最大 D. 展开式的各项系数的和为 1
【答案】
由题意得 的展开式共 21 项, 正确;
展开式的通项为 ,
由 ,得 ,则含 的项的系数为 正确;
展开式的第 项 对应的二项式系数为 ,
当 为偶数时,只有中间那一项的二项式系数最大,
因为 ,因此二项式系数最大为 ,对应 ,
即二项式系数最大的项是第 项, 错误;
令 ,得展开式的各项系数的和为 正确.
10. 已知随机变量 ,则( )
A. B. 是增函数
C. D.
【答案】
因为随机变量 ,则正态分布的对称轴 ,
选项 ,故 正确；
选项 :随着 逐渐增大， 逐渐增大且连续，所以 是增函数，故 正确；
选项 根据对称性可得 ,
又 ,所以 ,故 正确;
选项 ,故 错误;
11. 若 ，则( )
A. B. C. D.
【答案】
因为 ,所以 .
设 ,则 .
因为 ,所以 在 上单调递增, .
所以 ,故选项 正确；
又因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,故选项 错误:
设 ,则 .
令 得 ; 令 得 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
因为 ,故选项 正确,
所以 ,即 ,
所以 ,故选项 正确.
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算 _____.
【答案】-15
因为 ,
所以 .
13. 曲线 与 在 上有交点,则 的最小值为_____.
【答案】-2
令 ,即 ,令 ,
则 ,令 得 ,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增, ,
因为曲线 与 在 上有交点,
所以等价于 与 有交点,所以 .
故答案为: -2
14. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位长度，移动6次后质点对应的数为x，则D(X)=_____.
-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6
【答案】 6
记 表示向右的次数,则 服从二项分布 ,
故 ;
此时质点对应的数 ,
所以 .
四、解答题:本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19各17分，共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内, 超出指定区域的答案无效.
15. 下表统计了2021-2025年某网站 “双11” 当天的交易额, 统计结果如表:
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码x 1 2 3 4 5
交易额y/百亿元 9 12 17 21 26
(1)请根据表中提供的数据，用样本相关系数r说明y与x的线性相关程度；
(2)求出 关于 的经验回归方程，并预测2026年该网站“双11”当天的交易额.
参考公式: 回归方程 中, ; 参考数据: .
【答案】 非常接近 1，说明变量 与 的线性相关程度很强； 百亿元. (1) 由题意, 根据表格中的数据,
可得 , -2 分
-3 分
-4 分
-5 分
故 ,
所以 , -7 分
非常接近 1,说明变量 与 的线性相关程度很强. -8 分
(2) 由 (1) 可得 ,
所以 , -9 分
则 . -10 分
可得 关于 的经验回归方程为 , -11 分
令 ,可得 , -12 分
所以预测 2026 年该网站 “双 11” 当天的交易额为 29.9 百亿元. -13 分
16. 某部门共有6人，其中有4人已接种某种疫苗，2人未接种该种疫苗，从中随机地抽取3人作为样本，用 表示样本中接种疫苗者的人数.
(1)若采用不放回的随机抽取，求 的分布列及数学期望；
(2)分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本接种疫苗人数的比例估计总体中接种疫苗人数的比例，求误差不超过 0.1 的概率; 试比较两种抽取方法, 哪种抽取方法估计的结果更可靠
【答案】(1) 分布列详见解析，期望 2；(2) 采用不放回摸球估计的结果更可靠些.
(1) 总体含有两类且不放回的随机抽取,则 服从超几何分布,其中 ,
的取值有1,2,3, -1 分
-4 分 的分布列为:
1 2 3
-5 分
期望 ; -7 分
( 2 )样本中接种疫苗的比例为 ，由题意可知 ， -8 分
解得: ,即 取 2, -9 分
有放回抽取时,每次抽取的概率相等,且结果相互独立,此时 ,
则所求概率 , -11 分
无放回抽取时,由 (1) 可知所求概率 , -14 分
,所以在误差不超过 0.1 的限制下,采用不放回摸球估计的结果更可靠些. -15 分
17. 已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)讨论 的单调性；
(3)若函数 在 上的最小值是 ，求 的值.
【答案】 极小值为 ，无极大值；(2) 答案见解析；(3) .
(1) 当 时, , -1 分
,令 ,则 ,
当 时, ,此时 单调递减,
当 时, ,此时 单调递增, -3 分
(0,2) 2 (2, )
- 0 +
减函数 极小值 增函数
则 的极小值为 ，无极大值. -5 分
(2) , -6 分
若 ,则 在 上恒成立,
所以 在 上单调递增, -7 分
当 时,令 ,解得 ,令 ,解得 ,
则其在 上单调递减,在 上单调递增. -9 分
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增. -10 分
(3) , -11 分
若 ,则 在 上恒成立,
所以 在 上单调递增,
所以 ,不满足题意; -12 分
若 ,令 ,解得 ,令 ,解得 ,
所以函数 在 单调递减, 单调递增,
所以 ,解得 ,满足题意: -13 分
若 ,则 在 上恒成立,
所以 在 上单调递减,
所以 ,解得 ,不满足题意, -14 分
综上, . -15 分
18.小李参加某项专业资格考试, 一共要考3个科目, 若3个科目都合格, 则考试直接过关; 若都不合格, 则考试不过关；若有 1 个或 2 相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过关，
否则不过关. 已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p((x个x1)，且每个科目每次考试的结果互不影响.
(1)记 “小李恰有1个科目需要补考” 的概率为f(p)，求f(p)的最大值点 p。
(2)以(1)中确定的 作为 的值.
①求小李这项资格考试过关的概率;
②若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为X元，求 .
【答案】 ; (2) ① ; ② .
(1) 由题意知 , -2 分
则 , -3 分
当 时, ,
当 时, ,
所以函数 在 单调递增, 单调递减, -5 分
所以当 时, 取最大值,即 . -6 分
(2)①小李第一次考试 3 个科目都合格的概率为 ， -7 分小李第一次考试有 2 个科目合格,补考 1 个科目且合格的概率为 , -8 分小李第一次考试有 1 个科目合格,补考 2 个科目且均合格的概率为 -9 分
所以小李这项资格考试过关的概率为 . -11 分
② 的所有可能取值为 60,80,100 , -12 分
则 , -13 分
-14 分
-15 分
故 . -17 分
19. 已知函数 .
(1) 当 时,求函数 在 处的切线方程;
(2)若对任意 且 ，都有 ，求实数 的取值范围；
(3)当 时,证明.f .
【答案】 证明见解析.
(1) 当 时, , -1 分
所以 -2 分
-3 分
所以 , -4 分
所以函数 在 处的切线方程为 ,即 ; -5 分
(2) 因为对任意 且 ,都有 ,
即都有 ,
故函数 在 上单调递增; -7 分
在 上恒成立, -8 分
又因为 在 上单调递增, -9 分
所以只要 ,即 : -11 分
(3)证明:当 时， ，
故只需证明当 时 ， -13 分
当 时,函数 在 上为增函数,且 分故 在 上有唯一实数根 ,且 ,
当 时, ,当 时, ,
从而当 时, 取得最小值. -15 分
由 ,得 , -16 分
故 ,
综上,当 时, . -17 分
法二: ,
故 , -13 分
令 ，易证 ( 时“=”成立)， -15 分
故 (“=”不同时成立),
故 成立. -17 分

展开更多......

收起↑