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2026 普通高等学校招生全国统一考试 冲刺压轴卷(一) 数 学
全巷满分 150 分 考试时间 120 分钟
★祝考试顺利★
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。
2. 作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答 题区域均无效。
3. 考试结束后, 本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 设集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 若 ,其中 是虚数单位,则
A. B. 2 C. D. 4
3. 已知数据 的平均数为 2,数据 的平均数为 10,则数据 的平均数为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 已知直线 ,平面 ,且 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若 ,则
A. B. C. D.
6. 设双曲线 的右焦点为 为坐标原点,以 为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于 (除原点外) 两点,若 ,则双曲线 的离心率为
A. 4 B. 2 C. D.
7. 如图所示，在 的两条边上分别有 ， ， ， 和 ， ， ， ， 共 9 个点,连接线段 ,如果其中两条线段不相交,则称之为 1 对 “和陸线”，则图中的 “和陸线” 共有
A. 60 对 B. 62 对
C. 72 对 D. 124 对
8. 已知点 在圆 上运动,若过点 可以作曲线 的切线,则点 的轨迹长度是
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 是递增的等比数列,其前 项和为 ,若 ,则
A.
B.
C. D. 不是等比数列
10. 已知函数 ,则
A. 是奇函数
B. 有两个零点
C. 曲线 在点 处切线的斜率为
D. 在 单调递增
11. 在斜 中,若 ,则
A. B. 的最大值为
C.
D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知向量 ，且 ，则 _____.
13. 已知正方形 的边长为 2,其中一个顶点为原点,另外三个顶点中有两个在抛物线 上,则 _____.
14. 已知 对 恒成立,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
2025 年 7 月 22 日是二十四节气中的第十二个节气——大暑. 受今年气候等多因素的影响，全国各地高温天气持续不断. 某校以“预防中暑，防止脱水”为主题举行活动. 为了解男女同学对该活动的兴趣程度, 对多位该校同学进行了调查, 并将结果整理成如下列联表.
性别 兴趣程度 合计
感兴趣 不感兴趣
男生 3m 2m
女生 8m 10m
合计 11m 4m 15m
(1)当 足够大时，估计从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率；
(2)若根据小概率值 的独立性检验，认为对该活动是否感兴趣与性别有关，求正整数 的最小值.
附: ，其中 .
0.1 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16. (15 分)
已知点 在椭圆 上， 与椭圆的上、下顶点 ， 的连线的斜率之积为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)若直线 与椭圆 相交于 两点，且 的面积为 ( 为坐标原点)，求椭圆 的标准方程.
17.(15 分)
已知 是等差数列 的前 项和,数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式.
(2)设数列 的前 项和为 .
① 求 ；
② 若集合 ，求集合 中所有元素的和.
18.(17 分)
如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ,点 在线段 上且满足 ,点 在线段 上且满足 .
(1)证明: ；
(2)若 ，求 的值；
(3)若存在 ，使直线 与平面 所成角为 ，求 的取值范围.
19. (17 分)
已知函数 (其中 为自然对数的底数, ).
(1)当 时,求曲线 在 处的切线方程;
(2)若函数 在其定义域上不单调，求证: ；
(3)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
2026 普通高等学校招生全国统一考试 冲刺压轴卷(一)
数学 参考答案
1.B 因为 ,所以 ,所以 . 故选 B.
2. A 因为 ,所以 . 故选 A.
3. 由题意 的平均数为 . 故选 D.
4. D 由 ，可得 或 ，所以 “ ” 不是 “ ” 的充分条件，由 ，可得 或 与 是异面直线，所以 “ ” 不是 “ ” 的必要条件，所以 “ ” 是 “ ” 的既不充分也不必要条件. 故选 D.
5.B 因为 ,所以 ,因为 ,所以 . 故选 B.
6. 由题意,双曲线的渐近线方程为 ,如图,设双曲线 的焦距为 ,以 为直径的圆的方程为 ,即 ,联立 解得 ,即 ,由对称性可得 ,且 ,则 ,可得 ,故离心率 . 故选 B.
7. A 任意一个四边形恰有 1 对“和睦线”,故有 (对). 故选 A.
8. C 由 ,则 ,且 ,故 ,所以 在 处的切线方程为 ,则 在 处的切线方程为 , ,则 在 处的切线方程为 ,当 的切点横坐标从 ,切线由 变为 ,此时两切线与圆的交点左边从 ,右边从 ,同理 的切点横坐标从 ,切线由 变为 ,此时两切线与圆的交点左边从 ,右边从 ,所以点 的轨迹为劣弧 ,其中 ,故 ,所以轨迹对应圆心角为 ,由弧长公式得 . 故选 C.
9. AC 设 的公比为 ,则由 单调递增,得 ,因为 ,所以 ,解得 或 (舍去),对于 ,故 正确; 对于 ,故 B 错误; 对于 ,故 C 正确; 对于 ,所以 是首项为 3,公比为 的等比数列, 故 D 错误. 故选 AC.
10. ACD 对于 A,函数 的定义域为 R,因为 ,所以函数 为奇函数,故 A 正确; 对于 B,令 ,则 ,则 或 ,所以 ,函数 只有一个零点,故 错误; 对于 ,当 时, ,则 ,所以 ,所以 在点 处切线的斜率为 , 故 正确; 对于 ,由 可知当 时, ,因为 ,所以当 时, ,所以 在 上单调递增,故 正确. 故选 ACD.
11. 对于 ,由余弦定理得 ,再由正弦定理得 ,整理得: ,即 ,故 错误; 对于 ,因为 , ,所以 ,所以 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,所以 ,又因为 ,所以 ,所以 的最大值为 ,故 B 正确; 对于 C,由 A 可知 ,即 ,又因为 ,即 ,同理可得 ,所以 ,即 ,所以 ,故 C 正确; 对于 ,因为 ,又因为 ,所以 ,所以 ,故 正确. 故选 BCD.
12. 由 可得 ,故 ,所以 ,因此
13. 因为正方形 的边长为 2,其中三个顶点在抛物线 上,则不妨设 在坐标原点, 则 关于 轴对称,所以 ,所以 ,解得 .
14.6 当 ,则 ,当 ,当 ,当 ,当 , ,若 对 恒成立,则 ,并且函数 的两个零点分别是 1 和 7,则 则 ,所以 ,当 ,即 时,等号成立,所以 的最小值为 6 .
15. 解:(1)由调查数据可知当 足够大时，以频率估计概率，
可知从该校任选一名对该活动不感兴趣的学生是男生的概率为 . 5 分
(2)由题意可得 , 8 分
若根据小概率值 的独立性检验,认为对该活动是否感兴趣与性别有关,
则 , 10 分
解得 , 12 分
因为 为正整数,
所以 的最小值为 10 . 13 分
16. 解:(1)因为椭圆上、下顶点的坐标分别为 ， ，
依题意 ，整理得 ， 2 分
因为点 在椭圆 上,则 ,即 , 3 分
代入 ,化简得 , 5 分
又 ,所以 , 6 分
则椭圆 的离心率 . 7 分
(2)如图，设 ， ，由(1)已得 ，
则由 消去 并整理得 , 8 分
此时 ,解得 ,
由韦达定理得 , 9 分
所以 , 11 分
又原点 到直线 的距离 , 12 分
所以 的面积 ,解得 , 14 分
故椭圆 的方程为 . 15 分
17. 解: (1) 当 时, ,
所以 ,解得 ,
当 时, ,
所以 ,解得 ,
则 ,
所以 , 2 分
则 . 4 分
(2)①
8 分
②
,
当 为偶数时,
所以当 为偶数时, 恒成立, 10 分
当 为奇数时,
, 12 分令 ,
易知函数 在 上单调递增,且 ,所以 , 13 分所以集合 中所有元素的和为 2575. 15 分
18. 解: (1) 平面 平面 ,
又 平面 平面 ,
平面 ， 2 分
又 平面 平面 ，
平面 . 4 分
(2)由题知 ,又 平面 ,
平面 平面 , 5 分
由(1)可知，在 中， ， .
则 与 相似,则 , 7 分
在 Rt 中, ,
. 9 分
. 10 分
(3)以 为原点，以 所在直线分别为 轴， 轴，
以过点 垂直于平面 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
,
不妨设 ,
即 ,由 知,
于是 ,
设 ,则 ,
由 可得 ,
, 12 分
设平面 的一个法向量为 ,
于是 所以
令 ,得 ,故可取 , 13 分
因为 ,
,
结合 化简得 , 15 分
设 ,
要存在 ,使 与平面 所成角为 在 上有零点.
结合 知函数 图象的对称轴 ,故 ,
又 ,
只需满足 ,解得 ,
的取值范围是 . 17 分
19. 解: (1) 当 时, ,则 ,
,所以 , 2 分
所以 在 处的切线方程为 ,即 . 4 分
(2)因为 ，所以 ，
当 时， ， 在 上单调递减，不合题意. 5 分
当 时,由 得 ,由 得 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,符合题意,
此时 ,
要证 ,只需证 ,即证 ,
不等式 等价于 , 7 分
令 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增, 9 分
所以 ,故 . 10 分
(3)由题意得，
, 11 分
令 ,则等价于 恒成立,
令 ,则 ,
当 时, ,则 在 上单调递减,
当 时,令 ,则 ,故 在 上单调递增,
又 ,所以存在唯一的 ,使得 ,
且当 时, 在 上单调递减,当 时, 在 上单调递增, 综上所述, 在 上单调递减,在 上单调递增,
因为 ,则 ,故存在唯一 ,使得 ,
从而 , 13 分
① 当 时， 是减函数，故 的值域为 ，此时 恒成立，符合题意；
② 当 时， 是减函数，故 的值域为 ，此时存在 ，不符合题意; 14 分
③ 当 时, ,又当 时, ,故 的值域为 , 15 分
若 即 时, ,此时 恒成立,符合题意,
若 即 时,取 ,此时存在 ,不符合题意.
综上所述，实数 的取值范围为 . 17 分

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