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2025学年广州执信中学高二下学期期中测试 数学
一. 选择题(共 8 小题，每小题5分，共40分)
1. 下列求导正确的是( )
A. B. C. D.
2. 设一个随机事件的样本空间为 ,事件 ,则下列结论中不一定成立的是( )
A. B.
C. 若 ,则 D. 若 ,则
3. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. -1 B. 0 C. 3 D. 5
4. 若直线 与圆 相切,则 ( )
A. 1 B. 17 C. D.
5. 已知向量 ， ， ，若向量 ， ， 共面，则 ( )
A. B. 3 C. -3 D. 4
6. 第 19 届亚运会于 2023 年 9 月至 10 月在杭州举行，来自浙江某大学的 4 名男生和 3 名女生通过了志愿者的选拔，若从这 7 名大学生中选出 2 人或 3 人去某场馆担任英语翻译，并且至少要选中 1 名女生，则不同的挑选方案共有( )
A. 15 种 B. 31 种 C. 46 种 D. 60 种
7. 量子计算是当前科技前沿领域, 其核心单元 “量子比特” 在物理实现上常采用能级结构. 某种量子比特模型中,用离散能级 表示量子态,相邻能级间的能量差构成等比数列,即 . 已知 ( 为基准能量单位),则该量子比特从高能级 向低能级 跃迁时,可释放光子的频率 (光子频率恰为能量差 ) 不可能为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 及其导函数 的定义域都是 ,若函数 是偶函数,函数 也是偶函数，则不等式 的解集是( )
A. B.
C. D.
二. 多选题(共 3 小题，每小题6分按正确选项赋对应分数)
(多选) 9. 记 为等比数列 的前 项和, 为 的公比, . 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
(B) ,则( )
A. B.
C. D.
(多选) 11. 如图,平行六面体 的棱长均为 3,且 两两向量的夹角都是 , 过 的平面 与 分别交于点 ,则 ( )
A. 截面 的面积为 9
B.
C. 的夹角是
D. 平行六面体 的体积为
三. 填空题(共 3 小题，每题5分)
12. 的展开式中 的系数为_____. (用数字作答)
13. 已知函数 ,若存在实数 ，使得 ，成立，则实数 的取值范围是_____.
14. 已知双曲线 的离心率为 2,左、右顶点分别为 ,右焦点为 , 是 上位于第一象限的两点， ，若 ，则 _____.
四. 解答题 (共 5 小题, 15题13分, 16题15分, 17题15分, 18题17分, 19题17分)
15. 已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ,求 .
16. 设函数 是定义在 上的奇函数,当 时, .
(I) 求当 时, 的解析式;
(II) 若 在 上是增函数，求 的取值范围；
(III) 是否存在 ,使得当 时, 有最大值-6 .
17. 如图， 和 都垂直于平面 ，且 ， ， 是 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若四棱锥 的体积为 3，求平面 与平面 夹角的余弦值的最大值.
18. 如图,已知椭圆 的焦距为 ,且经过点 . 过点 的斜率为 的直线 与椭圆交于 两点，与 轴交于 点，点 关于 轴的对称点 ，直线 交 轴于点 .
(I) 求 的取值范围;
(II) 试问: 是否为定值 若是,求出定值; 否则,说明理由.
19. 已知函数 ,其中 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 在定义域上单调递增，求实数 的取值范围；
(3)若 在 上存在两个极值点 ，求 的取值范围.
2025学年第二学期执信中学高二下期中数学试卷答案
一. 选择题(共 8 小题)
1. 下列求导正确的是( )
A. B. C. D.
解: ,故 错误;
,故 错误;
因为 是常数,所以 ,故 正确;
,故 错误.
故选:
2. 设一个随机事件的样本空间为 ,事件 ,则下列结论中不一定成立的是( )
A. B.
C. 若 ,则 D. 若 ,则
解: 一个随机事件的样本空间为 ,事件 ,
对于,任意事件的概率都满足 ,故 成立;
对于, 是事件 的对立事件,则 ,
,故 成立;
对于, ,则事件 包含事件 所有的样本点,
,故 成立;
对于 ,由 ,仅能说明事件 和事件 的并集为样本空间
但并未说明事件 和事件 是否互斥，
由概率的加法公式得 (B) ,
只有当 ,即 时, (A) 才成立,故 不一定成立.
故选: .
3. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. -1 B. 0 C. 3 D. 5
解: 设等差数列 的公差为 ,
由 ,
可得 ，解得 ，
所以 .
故选: .
4. 若直线 与圆 相切,则 ( )
A. 1 B. 17 C. D.
解: 根据题意,圆 ,即 ,其圆心为 ,半径 , 圆心 到直线 的距离 ,
若直线 与圆 相切,则有 ,解可得 , 故选:
5. 已知向量 ，若向量 ， 共面，则 ( )
A. B. 3 C. -3 D. 4
解: 向量 共面,
存在实数 使得 ,即 ,
,
.
故选:
6. 第 19 届亚运会于 2023 年 9 月至 10 月在杭州举行，来自浙江某大学的 4 名男生和 3 名女生通过了志愿者的选拔，若从这 7 名大学生中选出 2 人或 3 人去某场馆担任英语翻译，并且至少要选中 1 名女生，则不同的挑选方案共有( )
A. 15 种 B. 31 种 C. 46 种 D. 60 种
解: 至少要选中一名女生的对立事件是选中的全为男生, 故所求挑选方案的种数为
故选: .
7. 量子计算是当前科技前沿领域，其核心单元 “量子比特” 在物理实现上常采用能级结构. 某种量子比特模型中,用离散能级 表示量子态,相邻能级间的能量差构成等比数列,即 . 已知 从高能级 向低能级 跃迁时,可释放光子的频率 (光子频率恰为能量差 ) 不可能为 ( )
A. B. C. D.
设 的公比为 ,
因为 ,所以 ,
而 ,故 ,故 (舍 或 ,
故 ,且 ,
故 .
对于,令 ,故 ,
因为 5 为奇数,故 ,故 ,此方程无正整数解,故 不可能为能量差;
对于,取 ,则 ,故 选项可为能量差;
对于,取 ,则 ,故 选项可为能量差;
对于 ,取 ,则 ,故 选项可为能量差.
故选:
8. 已知函数 及其导函数 的定义域都是 ,若函数 是偶函数,函数 也是偶函数,则不等式 的解集是 ( )
A. B.
C. D.
解: 由题意知 ,则 ,即 是奇函数,
又 是偶函数,
则 ,
可得 ,
令 ,
可得 ,
易知 ,当且仅当 时等号成立;
即函数 在 上单调递减,又 是奇函数,可得 ,
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减
因为函数 是偶函数,不等式 等价于 ,即 ,
即 ,即可得 ,解得 ,
则不等式 的解集是 .
故选:
二. 多选题(共 3 小题)
(多选) 9. 记 为等比数列 的前 项和, 为 的公比, . 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
解: 由已知, ,
即 ,解得 (负根舍去),故 正确,
,故 错误,
,故 错误,
所以 ,故 正确.
故选: .
互斥, 若 (A) , (B) ,则( )
A. B.
C. D.
解: 对于 , 事件 与 互斥, 是必然事件, ,故 正确; 对于， 与 互斥， ， ，
,故 错误;
对于 ,故 正确;
对于 ,
,故 错误.
故选: .
(多选) 11. 如图,平行六面体 的棱长均为 3,且 两两向量的夹角都是 , 过 的平面 与 分别交于点 ,则 ( )
A. 截面 的面积为 9
B.
C. 的夹角是
D. 平行六面体 的体积为
:选项 ,在菱形 中, ,
所以 ,
所以菱形 的面积为 ,即选项 正确;
选项 ，由平行六面体的性质知，平面 平面 ，
因为 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,平面 平面 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以
，即选项 正确；
选项 ,
所以 ,
所以 的夹角不是 ,即选项 错误;
选项 ,由选项 可知, 的夹角的正弦值为 ,
所以平行六面体的高为 ,
所以平行六面体的体积为 ，即选项 正确. 故选: .
三. 填空题(共 2 小题)
12. 的展开式中 的系数为_____40_____.(用数字作答)
解: 的展开式的通项公式为 ,
令 ,求得 ,故展开式中 的系数为 ,
故答案为: 40 .
13. 已知函数 ,若存在实数 ,使得 ,成立,则实数 的取值范围是 _____.
解: 存在实数 ,使得 ,
即 ,
,
,
令 ,解得 或 或 ,
当 时,即 ,函数 在 单调递减,
当 时,即 ,函数 在 单调递增,
,
,
即实数 的取值范围是 ,
故答案为:
14. 已知双曲线 的离心率为 2,左、右顶点分别为 ,右焦点为 , 是 上位于第一象限的两点, ,若 ,则
解: 设双曲线的焦距为 ,左焦点为 ,离心率 ,则 , 在 中,由余弦定理得 ,
所以 ,所以 ,
又 ,所以 ,设 ,则 ,
所以 , 所以 .
四. 解答题 (共 5 小题)
15. 已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 .
解: (1) 由 ,得 ,
两式相减得 ,则 ;
(2)由(1)可知 ，则 ，
所以 .
16. 设函数 是定义在 上的奇函数,当 时, ( 为实数).
(I)求当 时，的解析式；
(II)若 在 上是增函数,求 的取值范围;
(III)是否存在 ，使得当 时，
解:( I ) 函数 是定义在 上的奇函数，
当 时, .
当 时, .
(3 分)
(II) 时, ,
,
因为 在 上是增函数,
所以 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,
令 ,
在 上是单调增函数,
所以 ,
所以 (8 分)
(III) ①当 时，
由 知 在 上是增函数,
所以 ,
解得 ，与 矛盾. ...(10 分)
②当 时，
令 ,
当 时,
,是增函数,
当 时,
,是减函数.
所以 ,
即 ,
解得 .
综上,存在 ,
使得当 时,
有最大值-6. ... (14 分)
17. 如图， 和 都垂直于平面 ，且 是 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若四棱锥 的体积为 3，求平面 与平面 夹角的余弦值的最大值.
解: (1) 证明: 取 的中点 ,连接 , ,
分别是 和 的中点,
,且 ,
和 都垂直于平面 ,且 ,
,且 ,
且 ,
四边形 为平行四边形,
，
又 平面 平面 ，
平面 .
(2)设到平面 的距离为 ，
则 ,
故 .
由于 平面 ,建立如图空间直角坐标系 ,
,
,
设 ,则 ,
设平面 的法向量为 ,
则由 ,得 ,
取 ,得 ,
因此平面 的一个法向量 .
由于 平面 ,
因此 是平面 的一个法向量.
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ,
平面 与平面 夹角的余弦值的最大值为 .
18. 如图, 已知椭圆的焦距为 ，且经过点_____。过点_____的斜率为 的直
线 与椭圆交于 ， 两点，与 轴交于 点，点 关于 轴的对称点 ，直线 交 轴于点 .
(I) 求 的取值范围;
(II) 试问: 是否为定值？若是，求出定值；否则，说明理由.
解: (I) 由题意可知: 椭圆的焦点在 轴上, ,
经过点 . 则 ,
,
椭圆的标准方程: ,
设直线 的方程为 ,
,整理得: ,
由 ,得 ,
的取值范围 ;
(II) 证明: 设 ,则 ,
由 ,令 ,
设直线 的方程为 ,
令 ,
则 ,代入上式,
,
,为定值,
为定值 4 .
19. 已知函数
(1)当 时，求函数 在，(1)处的切线方程；
(2)若函数 在定义域上单调递增，求实数 的取值范围；
(3)若 在上存在两个极值点 ， 的取值范围.
解: (1) 已知函数
因此当 时, ,
因此 ,
因此 (1)=1，又 (1) ,
因此函数 在 ，1 ( 1 )处的切线方程为 ，即 ；
(2)的定义域是 ,
函数 在定义域上单调递增,则 对 恒成立,
即 ,
因为 ,当且仅当 时等号成立,
因此实数 的取值范围为
(3)因为 在 上有两个极值点 ，
则 ,即 在 上有两个不等实数根 ,
解得 ,且 ,
此时 ,
令 ,则 ,
因此 在 上单调递减,
又由 ,由 可知 ,即 ,
联立解得 ,因此 ,
且 ,
因此 .

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