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绝密★启用前
高一年级 5 月学情检测 数 学
试卷共4页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 考查范围:必修第一册第五章占 15%, 必修第二册第六章至第八章第三节占 85%。
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
3. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.
1. 函数 的最小正周期为
A. B. C. D.
2. 平行四边形 中,
A. B. C. D. 0
3. 已知某圆锥的轴截面是斜边为 2 的直角三角形, 则该圆锥的体积为
A. B. C. D.
4. 已知 为实数,则 的值为
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
5. 函数 的值域为
A. B. C. D.
6. 平面内,一质点在力 作用下处于平衡状态,若 ,则 在 方向上的投影向量的坐标为
A. B. C. D.
7. 在 中，角 的对边分别为 ，设 ，且满足 ，则角 的大小为
A. 30° B. C. 120° D. 150°
8. 已知 4 个半径为 1 的小球 两两相切,且这 4 个球都与球 相切,若所有棱长都为 的四面体的顶点都在球 的表面上,则 的值为
A. 2 B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列命题正确的是
A. 正棱柱是平行六面体
B. 用斜二测画法画的水平放置的边长为 2 的正三角形的直观图面积是
C. 当 为复数时,
D. 在 中，若 ，则
10. 已知函数 的图象如图所示,则
A.
B.
C. 当 时, 的最小值为 -1
D. 当 在区间 上有最大值且没有最小值时, 的取值范围是
11. 已知 ,则
A. 不存在 ,使得
B. 当 时, 面积的最小值为
C. 存在 ,使得当 最小时 与 重合
D. 当 且 时, 的最大值为 -2
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知复数 在复平面内对应的点的坐标为 ,则 _____.
13. 已知圆台的上、下底面的半径分别为1,2，高为 ，则该圆台的表面积为_____.
14. 设 中 ,且点 为 的费马点 (即满足 最小的点),当 的内角均小于 时，费马点 满足 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 已知复数 .
(1)若 ,求 ;
(2)若 ,且 ,求 .
16. (15分)已知向量 .
(1)若 与 共线，求实数 的值；
(2)若 ，求 的最小值.
17. (15 分) 已知 中内角 所对的边分别为 ,点 为 的中点, .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 .
18. (17分)如图，在 中，点 分别在边 上，点 为 的中点且 交于点 .
(1)若 ,证明: ;
(2)若 ,求 的值；
(3)若 是边长为 2 的正三角形,点 是与 不重合的动点,求 的取值范围.
19. (17 分) 如图,在三棱柱 中, . 点 分别为棱 的中点.
(1) 记三棱柱 的体积为 ,三棱锥 的体积为 ,求 ;
(2)若 ，且三棱柱 是直棱柱.
(i) 求点 到平面 的距离;
(ii) 求一只蚂蚁沿三棱柱 表面从点 爬行到点 的最短路程.
高一年级 5 月学情检测 数学参考答案
1.【答案】A
的最小正周期为 . 故选 A.
2.【答案】D
在平行四边形 中,从 出发,经过 ,最后回到 ,形成一个封闭回路,向量和为零向量. 故选 D.
3.【答案】C
由题知该圆锥的轴截面是斜边为 2 的等腰直角三角形,所以圆锥的高为 1,底面半径为 1,所以体积为 . 故选 C.
4.【答案】A
因为 ,所以 . 故选 A.
5.【答案】C
,当 时 取到最大值 ,当 时 取到最小值 -1,所以 的值域为 . 故选 C.
6.【答案】A
,所以 在 方向上的投影向量为 . 故选 A.
7.【答案】C
由 展开得 ,整理得 . 将 代入右边得 . 整理得 ,则 ,故 . 故选 C.
8.【答案】B
由题意可得四面体 是棱长为 2 的正四面体,中心为 ,该四面体的高 , 设点 到点 的距离为 ,则 ,解得 ,所以球 的半径 ,所有棱长都为 的四面体是正四面体,球 为该四面体的外接球,所以 ,解得 . 故选 B.
9.【答案】BD(每选对 1 个得 3 分)
正四棱柱才是平行六面体,故 错误; 原正三角形的面积为 ,所以直观图的面积为 ,故 B 正确; 取 ,则 ,故 C 错误; 记 的外接圆半径为 ,由 ,得 ,故 ,故 正确. 故选 BD.
10.【答案】 (每选对 1 个得 2 分)
由 ,且 在递减区间内,得 ,解得 ,又 ,所以 ,故 错误; 由 ,得 ,故 正确; 当 时, ,故 C 正确; 在区间 上有最大值且没有最小值,则 ,即 ,故 正确. 故选 ACD.
11.【答案】 (每选对 1 个得 2 分)
对于 ,若 ,则 ,得 由两个等式分别得 ,矛盾,故 正确; 对于 的面积 ,当且仅当 , 时取等号,故 正确; 对于 ,当 最小时 与 重合,得 无解,故 错误; 对于 D,由 ,得 ,所以 ,设 ,由 得 , 所以 ,所以 ,当且仅当 时取等，故 D 正确. 故选 ABD.
12.【答案】-3
(1-2i) ,所以 .
13.【答案】
由题意可得圆台的母线长为 ,表面积为 .
14.【答案】
由余弦定理得 ,由 ,易知 的内角均小于 . 设 ,由 ,得 ,即 . 在 中,由余弦定理得 ,整理得 ,同理可得 ,三式相加得 ,所以 ,所以 .
15. 解: (1) 因为
,(4 分)
所以 . (6 分)
(2) ，(8 分)
所以 ,因为 ,所以 ,(9 分)
,(11 分)
所以 . (13 分)
16. 解: (1) 因为 ,
所以
. (4 分)
因为 与 共线,
所以
所以 . (7 分)
(2)因为 ，
所以 ,(9 分)
分
所以 ,(13 分)
当且仅当 时取等号,(14分)
所以 的最小值为 . (15 分)
17. 解: (1) 在 中, ,(2分) 由正弦定理得 ,即
所以 . (7 分)
(2)在 中由余弦定理得 ，(9 分)
解得 分
在 中,由余弦定理得 分
所以 . (15 分)
18.(1)证明:因为点 为 的中点，所以 ，(1 分)
因为 ，所以 ，(3 分)
所以 . (5 分)
(2)解: 设 ，
由
得
即 ,(8 分)
即
因为 不共线,所以 解得 . (11 分)
(3)解:因为 是边长为 2 的正三角形，点 为 的中点，
所以
设 ,
则 ,(14 分)
因为 ,所以
所以 的取值范围是 . (17 分)
19. 解: (1) 因为 ,点 分别为棱 中点,
所以 ,(2 分)
所以 ,(4 分)
所以 . (5 分)
(2)(i)如图1，因为三棱柱 是直棱柱，所以 ，
因为 ,所以三棱柱 的体积 ,(6 分)
由 (1) 知三棱锥 的体积为 ,(7 分)
在 中 ,
所以 的面积
设点 到平面 的距离为 ,则 ,即 ,(9 分)
所以 . (10 分)
图 1
(ii) 沿三棱柱 表面从点 到点 有三种路径: (11 分)
①经过平面 与平面 ，如图 2 沿棱 翻转平面 ，使得平面 与平面 在同一平面内， 此时最短路程为 . (12 分)
②经过平面 与平面 ，如图 3 沿棱 翻转平面 ，使得平面 与平面 在同一平面内,此时最短路程为 . (13 分)
③经过平面 与平面 ，如图 4 沿棱 翻转平面 ，使得平面 与平面 在同一平面内,此时最短路程为 . (15 分)
因为 ,(16 分)
所以蚂蚁沿三棱柱 表面从点 爬行到点 的最短路程为 . (17 分)
图 2
图 3
图 4

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