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2025~2026 学年第二学期期中考试 高一数学试题
用时: 120 分钟 满分: 150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。
1. 在复平面内,复数 对应的点坐标是 ,则
A. B. 5 C. D. 8
2. 化简 ,得
A. B. C. D.
3. 已知向量 与 均为非零向量，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
4. 已知向量 ，若 三点共线，则实数
A. 3 B. -3 C. 2 或 3 D. -3 或 -1
5. 已知 ,则
A. 2 B. -2
C. D.
6. 已知 ,则
A. B. C. D.
7. 在 中, 是 边的中点, 是 边上靠近 的三等分点, 与 交于点 ,若 ,则角 等于
A. B. C. D.
8. 在 中, ,则 的最小值是
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 设 是方程 的两个复数根,则
A. B. C. D.
10. 下列等式成立的是
A.
B.
C.
D.
11. 的角 所对边分别为 ,若 ,则
A. B. 面积的最大值为
C. 外接圆半径为 2 D. 的最大值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知向量 ， ，则 在 上的投影向量的坐标为_____▲_____.
13. 已知 ,若 ,则 的最小值为_____▲_____.
14. 在平面凸四边形 中, ,则四边形 面积的最大值是_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
已知向量 满足 与 的夹角为 .
(1)求 ；
(2)若 ，求实数 的值.
16.(本小题满分 15 分)
已知 .
求:(1) 的值；
(2) 的值.
17. (本小题满分 15 分)
在 中,已知 .
(1)求角 ；
(2)求边 上的中线 的最大值.
18.(本小题满分 17 分)
在 中， ， ， ，点 ， 分别是边 和 上的动点.
(1)求 的面积；
(2)若点 分别是边 和 的中点，求 ；
(3)是否存在定点 ，使 为定值？若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
已知单位圆的圆心为 ,点 是单位圆上的两个不同定点. 动点 在单位圆上,且满足 .
(1)求 ；
(2)求 的取值范围；
(3)设直线 交直线 于点 ，求 的最小值.
2025~2026 学年第二学期期中考试 高一数学参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. C 2. A 3. D 4. A 5. C 6. B 7. D 8. A
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. AB 10. ACD 11. BCD
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 13. 4 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 解: (1) 与 的夹角为 ,
所以 , 2 分
所以 ; 6 分
(2)因为 ，
所以 , 8 分
即
所以 . 13 分
16. 解: (1) 因为 ,所以 ,
所以 , 4 分
由
, 8 分
所以 ; 10 分
(2)因为
因为 ,所以 ,
所以 . 15 分
17.(1)因为 ，
由正弦定理得， ， 2 分
又由余弦定理得, , 4 分
又 ,
故 ; 6 分
(2)由余弦定理得，即 ,
即 ,
所以 ,当且仅当 时取等号, 9 分
又因为 是中线,所以 , 10 分
得 ,
即 , 14 分
综上,边 上中线 的最大值为 . 15 分
18. 解: (1) 在 中,由余弦定理得
2 分
因为 ,所以 ,
所以 ; 5 分
(2)因为 分别是边 和 的中点，
所以 , 7 分
所以
; 9 分
(3)(法一)因为 三点共线， 三点共线，
所以设 ,
由
13 分
因为 是动点,若要使 为定值,即存在 ,数量积与 无关, 14 分故 ,即 ,此时 (定值) 17 分 (法二) 如图,当 时,无论点 在 上如何移动,
在 上的投影向量始终等于 ,
故
在直角三角形 中，由 ， 所以 ,
由 ,
可得 ，所以 . 17 分
19. (1) 由 ,
两边平方得 ,
即 , 3 分
又 ,所以 ,
故 ; 4 分
(2)
,
8 分
又 ,所以 ,
所以 ,
故 的范围为 ； 10 分
(3)由 得 ，
即 ,
又 ,
所以 ,
两边平方得 , 14 分
故 ,
令 ,则 ,
原式可化为 ,
当且仅当 时取最小值,
故 的最小值为 . 17 分

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