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南京市 2026 届高三年级第二次模拟考试 数 学
2026.05
注意事项:
1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷.
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 定米黑色墨水签字笔填写在答题卡上.
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是正确的.
1. 已知 ,则
A. B. 2 C. D. 5
2. 抛物线 的焦点为 ,准线为 ,则 到 的距离为
A. B. C. 1 D. 2
3. 的展开式中,常数项为
A. -20 B. -15 C. 15 D. 20
4. 已知 均为 的子集，且 ，则
A. B. C. D. R
5. 已知圆 ,直线 过点 ,当 被 截得的弦长最短时,直线 的方程为
A. B.
C. D.
6. 已知 ,则
A. -2 B. C. D. 2
7. 曲线 在 处的切线为 ,分别记 在 轴上的截距为 , 则
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系 中,椭圆 ,若 上存在两点 ,使 ,且 ,则 的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 金 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 ,且 ,则下列不等式可能成立的是
A. B. C. D.
10. 已知函数 则
A. B.
C. 在 上单调递减 D. 有且仅有 1 个零点
11. 在三棱锥 中, 平面 ,则
A. 外接圆直径为
B.
C. 当 时,三棱锥 的体积取得最大值
D. 三棱锥 的外接球半径的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 将函数 的图象向左平移 个单位,得到的图象关于 轴对称则 _____▲_____.
13. 已知平行六面体 的底面是边长为 2 的正方形,动点 满足 ，且 平面 . 则 的轨迹长度为_____▲_____.
14. 已知函数 有两个极值点 ,且 。 则 _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知数列 的各项均为正数, 为 的前 项和,且 成等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
16. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时,证明: .
17. (本小题满分 15 分)
如图 1,在平面四边形 中, .
(1)求 ；
(2)点 满足: . 如图 2，将 沿 折至 ，使得二面角 为直二面角,连接 . 求直线 与平面 所成角的正弦值.
(第 17 题图)
18.(本小题满分 17 分)
在平面直角坐标系 中,双曲线 的右顶点为 ,渐近线互相垂直.
(1)求 的方程；
(2)直线 依次交 的左支、 轴、右支于 ， ， 三点，经过点 且垂直于 的直线 与 有且仅有一个公共点 ,点 与 关于原点 对称,直线 分别交 轴于 两点.
证明: ① 两点的横坐标之积为定值;
②四边形 是平行四边形.
19. (本小题满分 17 分)
盒中有 4 个黑球 2 个红球, 每个球除颜色外均相同. 甲、乙进行摸球游戏, 两人轮流从盒中摸球, 每次由其中一人随机摸出 2 个球, 若有黑球, 则黑球放回盒中; 若有红球, 则红球不再放回盒中. 直至盒中红球已被全部取出,游戏结束. 第一次摸球从甲开始,记 为第 次摸球后游戏结束的概率.
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)若摸球 次,游戏恰好结束,将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量 . 证明: .
南京市 2026 届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案
2026.05
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. A 2. B 3. A 4. C 6. C 7. D 8. B
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9. BC 10. BCD 11. ABD
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 13. 14. 7
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分.
15. (本小题满分 13 分)
解: (1) 因为 成等差数列,所以 ,
所以当 时, ,
两式相减得, ,
即 ,
即 .
因为 为正项数列,所以 ,
则 ,
当 时, ,解得 ,
所以 是首项为 1 公差为 1 的等差数列,
则 .
(2) ，
则 ,
所以 ,
两式相减得:
所以 .
16. (本小题满分 15 分)
解: (1) ,
① 当 时，
因为 ,所以 在 上为增函数;
② 当 时，
由 ,得 ,由 ,得 ,
所以 在 上为增函数,在 上为减函数;
③当 时，
由 ,得 ,由 ,得 ,
所以 在 上为减函数,在 上为增函数;
综上,当 时, 在 上为增函数; 当 时, 在 上为增函数，在 上为减函数；当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数.
(2)由(1)知，当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数，所以 .
要证: ,只要证: ,即证: .
法一: 记 ,
则 ,
由 ,得 ,由 ,得 ,由 ,得 ,
所以 在 上为减函数,在 上为增函数,
则 ,
因为 ,所以 ,即 .
法二: 只要证: ,即要证: .
记 ,
则 ,
由 ,得 ,由 ,得 ,由 ,得 ,
所以 在 上为减函数,在 上为增函数,
所以 .
因为 ,所以 ,即 .
法三: 只要证: ,即证: .
记 ,
由 ,得 ,由 ,得 ,由 ,得 ,
所以 在 上为减函数,在 上为增函数,
则 ,
因为 ,所以 ,即 .
17. (本小题满分 15 分)
解: (1) 连接 ,因为 ，
所以 .
在 中, ,
由余弦定理,得 ,
则 .
因为 ,
因为 ,
因为 ,所以 .
(2)因为 ，
所以 .
在 中,由余弦定理,
得 ,
则 ,则 .
所以 ,则 是二面角 的平面角,
又因为二面角 是直二面角,
所以 ，即 .
以 为正交基底建立空间直角坐标系 ，则 ，
,
所以 .
设平面 的法向量 ,则 则
令 ,则 是平面 的一个法向量.
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
所以 与平面 所成角正弦值为 .
18. (本小题满分 17 分)
解: (1)因为双曲线 的右顶点为 ,所以 ,
又因为 的渐近线互相垂直，所以 ，则 ，
所以 的方程为 .
(2)①由题意可知 不与 轴垂直，且不与 的渐近线平行，设 ，
由 得 ,
因为 与 有且只有一个公共点 ,所以 , 所以 .
则 点横坐标 满足: ,所以 .
由 ,令 ,得 点横坐标 .
所以 .
②由①知 点坐标为 ，
把 代入 ，得 点纵坐标 ，
所以 点坐标为 ,
由于点 与 关于原点 对称,所以 点坐标为 ,
因为 ,所以 ,
由
设 ,则
由 ,得 直线方程为: ,
令 ,得 点横坐标 ,
同理可得 点横坐标 .
所以
注意到 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,又因为 ,
所以四边形 是平行四边形.
19. (本小题满分 17 分)
解: (1) 解: ,
(2)若盒中有 4 个黑球， 2 个红球，一次性摸出两个球，
摸到0,1,2个红球的概率分别为 ,
若盒中有 4 个黑球, 1 个红球, 一次性摸出两个球,
摸到 0,1 个红球的概率分别为 ,
则摸球 次,记第 次和第 次分别各摸到一个红球的概率为 ,
则 ,
摸球 次,记第 次摸到两个红球的概率为 ,则 ,
则
(3)法一:
设摸球 次,在第 次和第 次分别摸到一个红球的概率为
记 ,则 ,
可能取值为 1,2,且 ,
,故 .
法二:
设摸球 次,在第 次和第 次分别摸到一个红球的概率为
摸球 次,第 次摸到两个红球的概率为 ,
①若 ，
此时当 为奇数且 时, ; 当 时, ;
则 ,
故 ,
记 ,
则 ,
可能取值为 1,2,且 ,
,故 .
② 当 时， , 结论也成立:
综上， .

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