资源简介

盐城外国语学校 2026 年春学期期中素质评估 高二年级数学学科练习
(试卷分值: 150 分 考试时间: 120 分钟)
第 I 卷 (选择题 共 58 分)
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 计 40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合要求的, 请在答题纸的指定位置填涂答案选项.
1. 下列求导运算中, 不正确的是 ( )
A. B.
C. D.
2. 已知点 在函数 的图象上，若函数 在 上的平均变化率为 ， 则下面叙述正确的是( )
A. 直线 的倾斜角为 B. 直线 的倾斜角为
C. 直线 的斜率为 D. 直线 的斜率为
3. 在某次数学考试中，学生成绩 X 服从正态分布 . 若 X 在 内的概率是 0.6，则从参加这次考试的学生中任意选取 3 名学生，恰有 2 名学生的成绩不低于 85 的概率是( ).
A. B. C. D.
4. 定义在 上的函数 ,若 ,则 ( )
A. -1 B. C. 2 D. 4
5. 已知随机变量 的分布列如下: 则 ( ).
X 0 2 4
P 1 m
A. B. C. D.
6. 已知 ，则 的大小关系为( ).
A. a b>c B. b>c>a C. a>c>b D. b>a>c
7. 已知 分别为随机事件 的对立事件， ，则下列结论不正确的是( ).
A. 当A，B独立时，P(A|B)=P(A) B. 当A, B互斥时, P(A|B)=P(B|A)
C. D.
8. 对于三次函数 给出定义: 设 是函数 的导数, 是 的导数,若方程 有实数解 ,则称点 为函数 的 “拐点”. 某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有 “拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 给定函数 ,请你根据上面探究结果，
计算 ( )
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 下列说法正确的是( ).
A. 若随机变量 的概率分布列为 ，则
B. 若随机变量 ，则
C. 若随机变量 ,则 ,则
D. 在含有 4 件次品的 10 件产品中,任取 3 件, 表示取到的次品数,则
10. 4 月 4 号小长假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式:骑共享自行车，乘公交车，或滴滴打车，概率分别为 ; 又知道他骑共享自行车，乘公交车，或滴滴打车时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为 、 、 。下列说法正确的是 ( ).
A. 甲同学当天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件
B. 甲同学当天早上乘公交车出行与乘滴滴打车出行相互独立
C. 甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于
D. 若甲同学当天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为
11. 已知函数 ，则下列选项正确的有( )
A. 函数 有唯一零点
B. 若方程 有两个实数解,则实数 的取值范围为
C. 若 对任意 恒成立,则实数 的取值范围为
D. 记 ,则
第 II 卷 (非选择题 共 92 分)
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，计 15 分. 请把答案写在答题纸的指定位置上.
12. 5 个人站成一排拍照，其中甲乙两人相邻的概率是_____▲_____.
13. 已知曲线 在点 处的切线为 ,若直线 与抛物线 也相切， 则 _____▲_____.
14. 定义在 上的函数 的导函数为 ,若对任意实数 ,有 , 且 为奇函数，则不等式 的解集是_____▲_____.
四、解答题:本大题共 5 小题，计 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内.
15. (本小题满分 13 分)
已知函数 ,当 时, 有极小值 0 .
(1)求实数 、 的值；
(2)求函数 在区间 上的最值.
16. (本小题满分 15 分)
现有 10 台平板电脑, 其中 5 台平板电脑由甲工厂生产, 3 台平板电脑由乙工厂生产, 2 台平板电脑由丙工厂生产. 这三个工厂生产该类产品的合格率依次是 0.8, 0.9, 0.7 . 现从这 10 台平板电脑中任取 1 台。 设事件 为 “取得的平板电脑是合格品”,事件 分别表示 “取得的平板电脑是甲、乙、丙三个工厂生产的”。
(1) 求 ;
(2)若取出的平板电脑是合格品，求该平板电脑是甲工厂生产的概率.
17. (本小题满分 15 分)
已知箱子中有除颜色外其他均相同的 8 个红球, 2 个白球, 从中随机连续抽取 3 次, 每次取 1 个球.
(1)求有放回抽样时，取到白球的次数X 的分布列与方差；
(2)求不放回抽样时，取到白球的个数Y 的分布列与期望.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 ，实数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若存在 ，使得关于 的不等式 成立，求实数 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 ,其中 为常数.
(1)若函数 的极小值点为 ，求 的值；
(2)若 在 时恒成立，求实数 的取值范围；
(3)当 时，若函数 在 上恰有两个不同的零点，求实数 的取值范围.
盐城外国语学校 2026 年春学期期中素质评估 高二年级数学学科练习
注意事项:
1. 本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷；
2. 本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分；
3. 答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上。
第 I 卷(选择题 共 58 分)
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 计 40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合要求的, 请在答题纸的指定位置填涂答案选项.
1. 下列求导运算中，不正确的是( C )
A. B.
C. D.
2. 已知点 在函数 的图象上,若函数 在 上的平均变化率为 ,则下面叙述正确的是(B)
A. 直线 的倾斜角为 B. 直线 的倾斜角为
C. 直线 的斜率为 -3 D. 直线 的斜率为
3. 在某次数学考试中，学生成绩 X 服从正态分布 . 若 X 在 内的概率是 0.6,则从参加这次考试的学生中任意选取 3 名学生，恰有 2 名学生的成绩不低于 85 的概率是(B).
A. B. C. D.
4. 定义在 上的函数 ,若 ,则
A. -1 B. C. 2 D. 4
5. 已知随机变量 的分布列如下: 则 .
X 0 2 4
P 1 m
A. B. C. D.
6. 已知 ，则 的大小关系为(B).
A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.b>a>c
7. 已知 分别为随机事件 的对立事件, ,则下列结论不正确的是 ( C ).
A. 当 独立时, B. 当A, B互斥时,
C. D.
【答案】C
8. 对于三次函数 给出定义:设 是函数 的导数， 是 的导数,若方程 有实数解 ,则称点 为函数 的“拐点”. 某同学经过探究发现: 任何一个三次函数都有“拐点”; 任何一个三次函数都有对称中心, 且“拐点”就是对称中心. 给定函数 ,请你根据上面探究结果,
计算
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
【答案】C
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 下列说法正确的是(ABD_____).
A. 若随机变量 的概率分布列为 ，则
B. 若随机变量 ,则
C. 若随机变量 ,则 ,则
D. 在含有 4 件次品的 10 件产品中,任取 3 件, 表示取到的次品数,则
【答案】
10. 4 月 4 号小长假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式:骑共享自行车，乘公交车，或滴滴打车，概率分别为 ， ；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或滴滴打车时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为 、 、 . 下列说法正确的是(ACD).
A. 甲同学当天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件
B. 甲同学当天早上乘公交车出行与乘滴滴打车出行相互独立
C. 甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于
D. 若甲同学当天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率 为
【答案】ACD
11. 已知函数 ,则下列选项正确的有
A. 函数 有唯一零点
B. 若方程 有两个实数解,则实数 的取值范围为
C. 若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为
D. 记 ,则
【答案】ACD
第 II 卷 (非选择题 共 92 分)
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，计 15 分. 请把答案写在答题纸的指定位置上.
12. 5 个人站成一排拍照，其中甲乙两人相邻的概率是 _____.
13. 已知曲线 在点 处的切线为 若直线 与抛物线 也相切，则 _____.
【答案】
14. 定义在 上的函数 的导函数为 ,若对任意实数 ,有 ,
且 为奇函数，则不等式 的解集是_____. _____.
【答案】
四、解答题:本大题共 5 小题, 计 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内.
15. (本小题满分 13 分)
已知函数 ,当 时, 有极小值 0 .
(1)求实数 的值；
(2)求函数 在区间 上的最值.
(1) ,
当 时, 有极小值 0, , (3 分)
,
的解为 或 在 上是单调递增函数;
的解为 在 上是单调递减函数,
在 处取得极小值,满足题意,故 ;(6 分)
(2) ,
又 在 上的解为 在 上是单调递增函数;
在 上的解为 在 上是单调递减函数;
在 上的最小值为 ,(10 分)
又 在 上的最大值为 20,
综上可知， 在 上的最小值为 0，最大值为 20.(13 分)
16. (本小题满分 15 分)
现有 10 台平板电脑, 其中 5 台平板电脑由甲工厂生产, 3 台平板电脑由乙工厂生产, 2 台平板电脑由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是 0.8, 0.9, 0.7 . 现从这 10 台平板电脑中任取 1 台。 设事件 为“取得的平板电脑是合格品”，事件 分别表示“取得的平板电脑是甲、乙、丙三个工厂生产的”。
(1)求 ， ；
(2)若取出的平板电脑是合格品，求该平板电脑是甲工厂生产的概率.
,(6 分)
(9 分)
(12 分)
(15 分)
17. (本小题满分 15 分)
已知箱子中有除颜色外其他均相同的 8 个红球，2 个白球，从中随机连续抽取 3 次，每次 取 1 个球。
(1)求有放回抽样时，取到白球的次数X 的分布列与方差；
(2)求不放回抽样时，取到白球的个数Y 的分布列与期望.
(1)有放回抽样时,取到白球的次数 可能的取值为0,1,2,3.
每次抽到白球的概率均为 ,3次取球可以看成 3 次独立重复试验,
则 (3分)
则
故 的分布列为:(6分)
P 0 1 2 3
X 64 48 125
则 .
(8分)
(2)不放回抽样时，则
,
故 的分布列为:
P 0 1 2
Y 7 15 7 15
(13分)
则 .
(15 分)
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 ，实数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若存在 ，使得关于 的不等式 成立，求实数 的取值范围.
【详解】由题意得: 函数 的定义域为
(1)当 时,
, (3 分, 定义域没有求扣 1 分)
减; 增
所以函数 减区间为 上减,增区间为 . (6 分)
(2) 由 ,得 ,
令 , (8 分)
因为 ,所以当 时, ; 当 时, .
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以当 时, 取得极小值,也是最小值 , (12 分)
所以,存在 ,不等式 成立,
则 恒成立,
令 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 上单调递增,在 上单调递减,
所以当 时, 取得极大值,也是最大值 , (16 分)
所以实数 的取值范围为 . (17 分)
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 ，其中 为常数.
(1)若函数 的极小值点为 ，求 的值；
(2)若 在 时恒成立,求实数 的取值范围;
(3)当 时，若函数 在 上恰有两个不同的零点，求实数 的取值范围.
【详解】( 1 )因 ，则 ，(定义域没有求扣 1 分) 易知当 时, ,当 时, ,
则 在 上单调递减,在 上单调递增,
故函数 的极小值点为 ,得 ; (4 分)
(2) 在 时恒成立，等价于 在 时恒成立，
令 ,则 ,
因 ,则 在 上单调递减,则 ,
则实数 的取值范围是 ; (8 分)
(3)当 时， ，则 ，
令 ,则 ,
令 ,则 ,因 ,则 ,
当 时, ; 当 时, , 在 上单调递增,在 上单调递减,
( 13 分)
故 ,
易知 ,当 时, 时,
当 时, ,当 且 时, ,
作出 的大致图象 (如图): 因 在 上恰有两个不同的零点,
即 在 上有两个不同的交点,故 ,
故实数 的取值范围为 . (17 分)

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