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高三年级 5 月高考大练兵 数 学
试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的.
1. 已知向量 a=3,?1 ， b=?2,k ，且 a⊥b ，则 k=
A. 6 B. -6
C. 23 D. ?23
2. 若集合 A=2,a,a2,B={2,4} ，且 B?A ，则 a 的值为
A. 4 B. 2 或 4 C. -2 或 4 D. ±2 或 4
3. 函数 fx=2sinx?12sinx 的值域为
A. ?52,52 B. ?32,32 C. ?32,52 D. ?52,32
4. 已知等比数列 an 的公比为 q ,且 a2a3=a4,a1+a2=4 ,则 q=
A. 3 B. 2 C. 1
D. 13
5. 某乡村合作社优化农产品种植结构，持续扩大蔬菜种植面积，统计该合作社近 5 年的蔬菜种植面积 x (单位:亩) 依次为 8,10,13,16,20,且这 5 年的总利润为 142.5 万元，由这 5 年的数据求得年利润 y (单位:万元) 与 x 满足线性回归方程 y=2.5x+a ,则当蔬菜种植面积增加到 30 亩时年利润的预测值为
A. 60 万元 B. 65 万元 C. 70 万元 D. 75 万元
6. 已知偶函数 fx 满足当 x>0 时， fx=x+sinx?1 ，则 fx 的图象在 x=?1 处的切线方程为
A. 2x+y+3=0 B. 2x?y+1=0 C. 2x?y?1=0 D. 2x+y+1=0
7. 若球 O1 与球 O2 的体积之比为 2a ,表面积之比为 a ,且棱长为 1 的正方体的所有顶点都在球 O1 的表面上,则球 O2 的表面积为
A. 3π
B. 3π4
C. π
D. π4
8. 已知面积为 4 的正方形 ABCD 的顶点都在双曲线 E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0 上，点 P 是 E 上与点 A ， B,C,D 都不重合的动点. 记 PA,PB,PC,PD 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4 ,若 E 的虚轴长的取值范围为 2,4 ,则 k1k2k3k4 的取值范围是
A. 2,5 B. 4,25 C. 25,289 D. 5,17
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知复数 z=5i1?2i ,则
A. z=1
B. z 在复平面内对应的点位于第二象限
C. z=?2?i
D. z+27=i
10. 若 a?log0.40.1a?53>0 ,则 a 的值可能是
A. log0.32 B. 814 C. sin5π3 D. 1lg2
11. 已知圆 C1:x2+y?22=4 与曲线 C2:x+ay?y3=0 ,则
A. C1,C2 恒有公共点
B. 当 a∈0,1 时， C1 ， C2 恰有 2 个公共点
C. 当 a=32 时， C1 ， C2 在 y∈0,+∞ 时的公共点有 3 个
D. 当 a=3 时,直线 x=t 与 C2 有 3 个公共点的充要条件是直线 x=t 与圆 C1 相交
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 2x?26 展开式中的第 5 项的系数为_____.
13. 已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F ，若点 P 为 C 在第一象限内的一点，且 PF=6 ，则直线 PF 的斜率为_____.
14. 已知数列 an 中, an 为正整数,且 an+1?an=n,a1=3,an<12 ,则当 a5 的值最大时,满足 i=1k?1i?i=?6an 的 k 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 cosC=13 ，且 bc=2cosA .
(1)求 sinB ；
(2)若点 D 为 BC 的中点，且 b=2 ，求 AD .
16. (15 分)已知函数 fx=xex+x .
(1)讨论 fx 的单调性；
(2)若当 x>0 时， 1+1xlnx<1+1eaxax ，求 a 的取值范围.
17. (15 分) 如图,四棱柱 ABCD?A1B1C1D1 的所有棱长都为 23 ,三棱锥 C1?ABC 是正三棱锥.
(1)证明:平面 BC1D⊥ 平面 ACC1A1 ；
(2)求直线 CA1 与平面 ABC1 所成角的正弦值.

18.(17分)某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知， 单次发射成功的概率为 23 ，失败的概率为 13 ，发射结果相互独立，计划发射多次.
(1)若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射 4 次. 记发射的次数为 X ,求 X 的分布列与期望；
(2)若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为 34 (即修复后,系统恢复到正常发射状态). 修复失败的概率为 14 . 考虑一个简化的连续发射模型, 从第 1 次发射开始. 若发射成功, 则继续进行下一次发射; 若发射失败但成功修复、则继续进行下一次发射; 若发射失败且修复失败, 则试验终止; 此外, 若连续 2 次发射失败, 试验也终止.
(i) 求至少发射 3 次的概率;
(ii) 定义 Pn 为第 n 次发射成功的概率,是否存在实数 t 使得数列 Pn+1?tPn 为等比数列? 若存在,求出 t 的值; 若不存在,请说明理由.
19.(17 分)已知点 A1,A2 分别是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右顶点， A1A2=4 且 C 的离心率为 12 .
(1)求 C 的方程；
(2)若点 P 是 C 上与 A1,A2 不重合的点，直线 A1P,A2P 与直线 x=4 分别交于点 G ， H . 求 GH 的最小值;
(3)若不过点 A1 且斜率为 12 的直线与 C 交于 M,N 两点,证明: △A1MN 的外心恒在定直线上.
高三年级 5 月高考 数学参考答案
1.【答案】B
因为 a⊥b ,所以 a?b=3×?2?1?k=0 ,所以 k=?6 . 故选 B.
2.【答案】C
当 a=4 时 A={2,4,16} ,满足 B?A ; 当 a2=4 时,因为 a≠2 ,所以 a=?2 ,此时 A={?2,2,4} ,满足 B?A . 故选 C.
3.【答案】D
当 sinx∈0,1 时, fx=32sinx∈0,32 ; 当 sinx∈[?1,0) 时, fx=52sinx∈?52,0 ,所以 fx 的值域为 ?52,32 . 故选 D.
4.【答案】A
由 a2a3=a4 得 a1q?a1q2=a1q3 ,因为 a1≠0,q≠0 ,所以 a1=1,a2=4?a1=3,q=a2a1=3 . 故选 A.
5.【答案】C
由已知得 x=8+10+13+16+205=13.4,y=142.55=28.5 ,因为点 x,y 在回归直线上,所以 28.5=2.5× 13. 4+a,a=?5 ,所以当蔬菜种植面积增加到 30 亩时年利润的预测值为 2.5×30?5=70 万元. 故选 C.
6.【答案】D
当 x>0 时 fx=x+sinx?1,f′x=1+cosx?1 ,因为 fx 为偶函数,所以 f?x=fx ,当 x≠0 时两边求导得 f′?x=?f′x ,所以 f?1=f1=1,f′?1=?f′1=?2 ,所以 fx 的图象在 x=?1 处的切线方程为 y?1=?2x+1 ,即 2x+y+1=0 . 故选 D.
7.【答案】B
设球 O1 与球 O2 的半径分别为 r1,r2 ,则 r13r23=2a,r12r22=a ,所以 r1r2=2 . 因为棱长为 1 的正方体的所有顶点都在球 O1 的表面上,所以 r1=32,r2=34 ,所以球 O2 的表面积为 4πr22=3π4 . 故选 B.
8.【答案】B
因为面积为 4 的正方形 ABCD 的顶点都在双曲线 E 上,由对称性,不妨令 A1,1,B1,?1,C?1,?1 , D?1,1 ,则 1a2?1b2=1 ,即 b2a2=1+b2 ,由已知得 2b∈2,4 ,则 b∈1,2,b2a2∈2,5 . 设 Pm,n ,则 m2a2?n2b2=1 , 1a2?1b2=1 ,相减得 m2?1a2=n2?1b2 ,所以 n+1m+1?n?1m?1=b2a2 . 又 k1=n?1m?1,k2=n+1m?1,k3=n+1m+1,k4=n?1m+1 ,所以 k1k3=k2k4=b2a2 ,所以 k1k3=1?k1k2k3k4=b4a4∈4,25 . 故选 B.
9.【答案】BC(每选对 1 个得 3 分)
对于 A,z=5i1?2i=55=5 ,故 A 错误; 对于 B,z=5i1?2i=5i1+2i5=?2+i,z 在复平面内对应的点为 ?2,1 ,位于第二象限,故 B 正确; 对于 C,z=?2?i ,故 C 正确; 对于 D,z+2=i,z+27=i7=?i ,故 D 错误. 故选 BC.
10.【答案】 ACD (每选对 1 个得 2 分)
因为 0.43<0.1<0.42 ,所以 20 得 a<53 或 a>log0.40.1 . 由 log0.32<0 ,故 A 正确; 由 53=6258114<6408014=814<2 ,故 B 错误; 由 sin5π3<0 ,故 C 正确; 由 1lg2=log210>3 ,故 D 正确. 故选 ACD.
11.【答案】 ABD (每选对 1 个得 2 分)
点 0,0 是圆 x2+y?22=4 与曲线 x+ay?y3=0 的公共点,故 A 正确; 对于 B ,当 y≠0 时,把 x=y3?ay 代入 x2+y?22=4 ，得 y6?2ay4+a2+1y2?4y=0 ，因为 y≠0 ，所以 y5?2ay3+a2+1y?4=0 ，对于满足该方程的每一个 y ,代入 x=y3?ay 求得的 x 只有 1 个. 设 fy=y5?2ay3+a2+1y?4 ,则 0 不是 fy 的零点 f′y=5y4?6ay2+?a2+1 ,当 00,fy 单调递增,且 f0=?4<0,f2=30?16a+?2a2>0,fy 有 1 个零点, c1,c2 共有 2 个公共点,故 B 正确; 对于 C ,当 a=32 时, f′y=5y4?9y2+134=?y2?125y2?132,fy 在区间 0,22 上单调递增,在区间 22,13010 上单调递减,在区间 13010,+∞ 上单调递增,且 f0<0,f22=?4+2<0 ,所以 f13010<0 ,又 f2=212>0 ,所以 fy 在区间 0,+∞ 上有唯一零点,故 C 错误; 对于 D,直线 x=t 与 C1 相交的充要条件是 ?212.【答案】 240
2x?26 展开式中的第 5 项的系数为 C6422×?24=240 .
13.【答案】 22
由已知得 F2,0 ,设 Pm,nm>0,n>0 ,则 PF=m+2=6,m=4,n=42 ,所以直线 PF 的斜率为 nm?2=?22 .
14.【答案】66
由题意得 a1,a2,a3,a4,a5 的可能取值如图所示. 由图可知 a5 最大为 11,由 a6?11=5 ,则 a6=6 或 16,因为 16>12 ,所以 a6=6 ,所以 n=16an=3+2+4+7+11+6=33 ,当 k=2mm∈N? 时, i=1k?1ii=m=33,k=66 ,当 k=2m?1?m∈N? 时, i=1k?1i?i=?1+k?12×?1=?m<0 ,满足条件的 k 不存在,所以 k=66 .

15. 解: (1) 由余弦定理得 bc=2cosA=b2+c2?a2bc ,(1 分)
整理得 a=c,3分
所以 A=C,4分
因为 cosC=13 ,所以 sinC=1?132=223, (5 分)
所以 sinB=sinπ?2C=sin2C=2sinCcosC=2×223×13=429 . (6 分)
(2)由(1)知 A=C ，所以 bc=2cosA=2cosC=23 ，(7 分)
因为 b=2 ,所以 c=a=3 ,(9 分)
在 △ACD 中由余弦定理得
AD=b2+12a2?2b?12a?cosC(10 分)
=22+322?2×2×32×1311分
=172 . (13 分)
16. 解: (1) 因为 fx=xex+x ,所以 f′x=1?xex+1=ex+1?xex ,(1 分)
设 gx=ex+1?x ,则 g′x=ex?1,2分
所以当 x∈?∞,0 时, g′x<0,gx 单调递减,当 x∈0,+∞ 时, g′x>0,gx 单调递增,(3 分)
所以 gx≥g0=2>0 ,即 f′x=gxex>0, (5 分)
所以 fx 在 R 上单调递增. (6 分)
(2) 由 1+1xlnx<1+1eaxax ,得 lnxelnx+lnx即 flnx因为 fx 在 R 上单调递增,
所以 lnxlnxx ,(9 分)
设 hx=lnxx ,则 h′x=1?lnxx2 ,(10 分)
所以当 x∈0,e 时, h′x>0,hx 单调递增,当 x∈e,+∞ 时, h′x<0,hx 单调递减,(11 分)
所以 hx≤he=1e, (13 分)
所以 a>1e ,即 a 的取值范围是 1e,+∞ . (15 分)
17. (1) 证明: 由已知可知四边形 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD ,(1 分)
设 AC∩BD=E ,则 E 为 AC 的中点,连接 C1E ,
因为三棱锥 C1?ABC 是正三棱锥, C1A=CC1 ,(2 分)
所以 C1E⊥AC,3分
因为 BD∩C1E=E ,所以 AC⊥ 平面 BC1D ,(4 分)
因为 AC? 平面 ACC1A1 ,所以平面 BC1D⊥ 平面 ACC1A1 . (6 分)

(2)解:由已知可得三棱锥 C1?ABC 是所有棱长均为 23 的正三棱锥，
过点 C1 作 C1O⊥BD 于点 O ,则 OC1⊥ 平面 ABCD ,且 OC1=22,OB=2,OE=1,( 7 分)
以 O 为原点,在平面 ABC 内过点 O 与 OB 垂直的直线为 x 轴,直线 OB,OC1 分别为 y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 O?xyz,8分
则 A3,?1,0,B0,2,0,C?3,?1,0,C10,0,22,9分
所以 AB=?3,3,0,AC1=?3,1,22,CA=23,0,0,CC1=3,1,22, (10 分)
所以 CA1=CC1+CA=33,1,22 . (11 分)
设平面 ABC1 的法向量 n=x,y,z ,则 n?AB=0,n?AC1=0, 即 ?3x+3y=0,?3x+y+22z=0, (12 分)
取 x=23 ,则 y=2,z=2 ,得 n=23,2,2,13 分
设直线 CA1 与平面 ABC1 所成的角为 θ ,
则 sinθ=n?CA1nCA1=2432×6=223 ,
所以直线 CA1 与平面 ABC1 所成角的正弦值为 223 . (15 分)
18. 解: (1) 由题知, X 的所有可能取值分别为 1,2,3,4,1分
则 PX=i=23i?1×13i=1,2,3,2分
PX=4=233=827,3分
所以 X 的分布列为
X
1
2
3
4
P
13
29
427
827
EX=1×13+2×29+3×427+4×827=6527 . (5 分)
(2)(i)记第 i 次发射成功为事件 Ai ，第 i 次发射失败后修复成功为事件 Bi ，
则 PAi=23,PAi=13,PBi=34,6分
记至少发射 3 次为事件 C ,则 C=A1A2+A1A2B2+A1B1A2 ,(7 分)
所以 PC=PA1PA2+PA1PA2PB2+PA1PB1PA2 (8 分)
=23×23+23×13×34+13×34×23=79 . (10 分)
(ii) 第 n+2 次发射成功有 2 种情形: 第 n+1 次、第 n+2 次发射成功,或第 n 次发射成功,第 n+1 次发射失败且发射失败后修复成功，第 n+2 次发射成功，(11 分)
所以 Pn+2=Pn+1?23+Pn?13×34×23=23Pn+1+16Pn ,(13 分)
设 Pn+2?tPn+1=sPn+1?tPn ,则 Pn+2=s+tPn+1?stPn ,(14 分)
所以 s+t=23,st=?16, 解得 t=2+106,s=2?106, 或 t=2?106,s=2+106, (15 分)
因为 P1=23,P2=23×23+13×34×23=1118 ,所以 t=2±106 时 P2?tP1≠0,Pn+1?tPn 是等比数列,(16 分)
所以 t=2±106 . (17分)
19.(1)解:因为 A1A2=2a=4 ，所以 a=2 ，(1 分)
因为 C 的离心率为 12 ，所以 a2?b2a=4?b22=12 ，解得 b2=3 ，(3 分)
所以 C 的方程为 x24+y23=1 . (4 分)
(2)解:设直线 A1P 的方程为 y=kx+2 ，令 x=4 ，得 G4,6k ，(5 分)
设点 PxP,yP ,其中 xP≠±2 ,则 yP2=3?3xP24 ,(6 分)
则 kA1PkA2P=yPxP+2?yPxP?2=yP2xP2?4=3?3xP24xP2?4=?34 ,
所以 kA2P=?34k,7分
所以直线 A2P 的方程为 y=?34kx?2 ,
所以 H4,?32k,8分
GH=6k??32k=6k+32k≥26k?32k=6, (9 分)
当且仅当 k=12 时等号成立.
故 GH 的最小值是 6. (10 分)
(3) 证明: 设 Mx1,y1,Nx2,y2 ,直线 MN 的方程为 y=12x+mm≠1 ,
联立 y=12x+m,x24+y23=1, 得 x2+mx+m2?3=0 ,
所以 Δ=12?3m2>0,?2y1+y2=12x1+x2+2m=32m ,
y1y2=12x1+m12x2+m=14x1x2+m2x1+x2+m2=3m2?14 . (12 分)
设 △A1MN 的外接圆方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ,
把点 A1?2,0 代入圆的方程得 F=2D?4,13分
因为点 M,N 在圆上,所以 x12+y12+Dx1+Ey1+2D?4=0 ① ,x22+y22+Dx2+Ey2+2D?4=0 ②,
①+② 得 x12+x22+y12+y22+Dx1+x2+Ey1+y2+4D?8=0 ，
其中 x12+x22=x1+x22?2x1x2=?m2?2m2?3=?m2+6 ,
y12+y22=y1+y22?2y1y2=32m2?3m2?12=3m2+24,
所以 ?m2+6+3m2+24?mD+3m2E+4D?8=0 ,
即 m?4D?3m2E=?m24?12,14分
①-②得 x12?x22+y12?y22+Dx1?x2+Ey1?y2=0 ，
易得 x1?x2≠0 ,且 y1?y2x1?x2=12 ,
上式两边同时除以 x1?x2 得 x1+x2+12y1+y2+D+12E=0 ,
整理得 ?m+34m+D+12E=0 ,即 m=4D+2E,15分
代入 m?4D?3m2E=?m24?12 得 E2=4D2?2D+14=2D?122 ，
所以 E=2D?12 ,或 E=12?2D . (16 分)
当 E=12?2D 时, m=4D+2E=1 ,不满足题意,
所以 E=2D?12 ,即 ?4D+2E+1=0 ,
即点 ?D2,?E2 在定直线 8x?4y+1=0 上,
所以 △A1MN 的外心恒在定直线 8x?4y+1=0 上. (17 分)

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