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赣州市 2026 年高三年级适应性考试 数学试卷
2026 年 5 月
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟第 I 卷(选择题共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的。
1. 设 和 分别表示函数 的最大值和最小值,则
A. B. 1
C. D. 2
2. 若集合 ,则
A. B. C. D.
3. 若 ,则
A. B. C. D.
4. 在等差数列 中,公差 ,且 ,则
A. 5 B. 50 C. 60 D. 105
5. 已知事件 满足 . 若 ,则
A. 0.12 B. 0.18 C. 0.28 D. 0.42
6. 已知 ,若 ,且 , 则 的值为
A. 1 B. C. 2 D. 4
7. 直线 与 把圆 分成长度相等的三段弧,则
A. 1 B. C. 4 D.
8. 已知函数 在区间 上的最大值为 ,在区间 上的最大值为 . 若 ,则 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 有一组互不相等的数据从小到大依次为 ,若删去 ,则
A. 新数据的极差等于原数据的极差
B. 新数据的平均数等于原数据的平均数
C. 新数据的标准差小于原数据的标准差
D. 新数据的 40% 分位数小于原数据的 40% 分位数
10. 已知 为坐标原点， 是抛物线 的焦点，点 ， 在 上且位于 轴的两侧, ,则
A.
B. 直线 经过点
C.
D. 与 面积之和的最小值是 3
11. 四面体 满足 ,则
A. 直线 与 的夹角为
B、四面体 外接球的表面积为
C. 的中点到直线 的距离为
D. 四面体 内切球的半径为
第 II 卷(非选择题共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 曲线 在 处的切线方程为_____.
13. 为平面 内一点, ,则 的取值范围是_____.
14. 已知 分别是双曲线 的左、右焦点,点 在 的右支上, 为 的平分线， ，垂足为 ， 为 的中点，直线 交 于点 ，记 ， 的面积分别为 ， ，则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
记 的内角 的对边分别为 ,满足 .
(1)若 为等腰三角形，求 ；
(2)若 ，求 的面积.
16. (15 分)
甲、乙两人玩轮流掷骰子(质地均匀)的游戏，游戏规则为:①每次掷一枚骰子；② 若甲掷出的点数小于 5 ，则下一次仍由甲掷骰子，否则下一次由乙掷骰子；若乙掷出的点数为偶数, 则下一次仍由乙掷骰子, 否则下一次由甲掷骰子. 现由甲第一次抛掷.
(1)记前 3 次中甲掷骰子的次数为 ，求 的分布列与数学期望；
(2)记第 次由乙掷骰子的概率为 .
(i) 证明: 数列 为等比数列;
(ii) 求数列 的前 项和 .
17. (15 分)
如图,在三棱柱 中,平面 平面 ， 且 .
(1)证明: 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
18.(17分)
已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为 ，直线 交 于 两点,且四边形 的面积为 .
(1)求 的方程；
(2)动圆 过原点 与 ，且与 交于 ， 两点，直线 ， 分别交 于另一点 .
(i) 求证: 直线 的斜率之积为定值;
(ii) 点 满足 ,求 到直线 的距离之和的最大值.
19. (17 分)
已知函数 有两个零点 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明: ；
(3)证明: .
赣州市 2026 年高三年级适应性考试 参考答案 (数学)
2026 年 5 月
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D C A A B C A AD ABD BCD
12. 13. 14. 6
15. 解: 由 可得:
即 2 分
整理得: 3 分
又 ,且 ,
所以 5 分
(1)因为 为等腰三角形，
① 当 时， ，得 6 分
② 当 时， ，得 7 分
故 的值为 或 8 分
(2)当 时， 9 分
由正弦定理得: 10 分
又 ,故 12 分
从而 的面积为 13 分
16. 解: 用 表示事件 “甲掷出的点数小于 5 ”, 表示事件 “乙掷出的点数为偶数”, 则 1 分
(1)由题设 的所有可能取值为1,2,3 2 分
由 3 分
4 分
5 分
故 的分布列为
1 2 3
1 6 7 18 4 9
6 分
7 分
(2)由题设得 9 分
(i) 即 10 分
又因为 ,所以 ,
所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列 11 分
(ii) 由 (i) 得 ，故 12 分
所以 13 分
15 分
17. 解: (1) 作 交 于点 ,连接 ,
结合 与 ,得 1 分
又平面 平面 且交于 ,故 平面 2 分故 3 分
在 中,由 与
得 ,即 4 分
在 中, ,即 5 分
所以 ,故 ,即 6 分
又 ,且 ,故 平面
所以 7 分
又因为四边形 为菱形,故 8 分
又 ,故 平面 9 分
(2)由(1)知 两两垂直，故以点 为坐标原点，分别以 为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ,
故 ,
11 分设 为平面 的一个法向量
则 即 12 分
取 ,得 ,则 13 分
由(1)知 平面 ，且 ，故 为平面 的一个法向量 14 分
记二面角 的平面角为 (显然 为锐角),
故 15 分
18. 解: (1) 设 的焦距为 ,
则由题设: 解得 1 分从而 2 分进而有 ，解得 4 分故 的方程为 5 分
(2)由(1)知:直线 为线段 的中垂线，故 为圆 的直径 6 分从而 ，
设 ,则有 ,即 7 分
(i) 分别记直线 的斜率为 ,
则 9 分
(ii) 设 ,直线 的方程为 ,
联立 可得 10 分
则 ,且 11 分
由 12 分
化简得: ,
代入得: ,
即 13 分
得 ,即 ,所以直线 恒过定点 14 分
由 知 ,所以直线 也过定点 ,
且 ,即 16 分
显然原点 在线段 上,故点 到直线 的距离之和为平行线 间的距离 ,且 ,故当直线 垂直 轴时,
点 到直线 的距离之和达最大值为 17 分
19. 解: (1) 由 得 1 分故当 时, ; 当 时, .
故函数 在区间 上单调递减,在 上单调递增 2 分由函数 有两个零点 ,故 3 分又当 时， ；当 时， ，
故 4 分
综上实数 的取值范围为 5 分
(2)记 ,
则
.
记 6 分
则
7 分
故当 时, ;
当 时, .
故函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.
由于 ,所以 ,
故 ,
即存在唯一 ,使 8 分又当 时,
9 分
(注: 利用 )
故当 时, ,即 ; 当 时, , 即 10 分
故函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
又 ，且当 时， ，
所以 恒成立,当且仅当 时取等号,
即 11 分
(3)因为 为函数 的两个零点，
故 ，由 (2) 知: 13 分
整理得: ,
即 15 分
又 ,
16 分
即 ,证毕 17 分

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