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2026 年强基联盟高三 5 月联考 数学试题
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的。
1. 设集合 ，则
A. B. C. D.
2. 数据1,2,4,5,7,9的第 60 百分位数为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. 下列函数中,最小正周期为 且为偶函数的是
A. B. C. D.
4. 下列函数所表示的曲线中,存在切线与 轴平行的是
A. B. C. D.
5. 已知 为直线， 为平面，则下列条件是 “ ” 的充要条件的是
A. 垂直平面 内的两条直线 B. 垂直平面 内的无数条直线
C. 的方向向量垂直于平面 的法向量 D. 的方向向量平行于平面 的法向量
6. 在二项展开式 中,前三项的系数 成等差数列,则实数 的值是
A. -2 或 7 B. 2 或 7 C. -2 或 14 D. 2 或 14
7. 已知 为 的外心,且满足 ,则 的值为
A. 2 B. C. D.
8. 如果一双曲线的实轴与虚轴分别为另一双曲线的虚轴与实轴,则这两条双曲线互为共轭双曲线. 已知 , 互为共轭双曲线,且 的离心率分别为 ,则 的最大值是
A. 1 B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部
选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知抛物线 与圆 交于 两点,则下列说法正确的是
A. 圆心坐标为 B.
C. 抛物线的准线与圆相切 D. 过抛物线焦点的直线与圆相交
10. 如图,在正三棱台 中, 为 的中点, 是 上的动点 (不含端点),记直线 与直线 所成角为 ,直线 与平面 所成角为 ,二面角 的平面角为 ,则下列关于 的大小, 一定正确的是
A. B.
C. D.
11. 我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是 “三分损一”，加长一截就是 “三分益一”. 我们取第一个音 “黄钟” 的弦长 81,记为 ,用 “三分损一” 得到第二个音 “林钟” 的弦长 ,记为 ,再用 “三分益一” 得到第三个音 “太簇” 的弦长 ,记为 ,按此规律依次交替损益就能得到 “十二律吕” 的弦长. 把上述依次得到的弦长组成的数列记为 . 则下列说法正确的是
A. B.
C. ，使得: D. ,都有
三、填空题:微信公众号:浙江省高中数学本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 在复平面内, 为虚数单位,向量 对应的复数是 ,向量 对应的复数是 ,则向量 对应的复数是_____▲_____.
13. 在 中,内角 的对边分别是 ,且 ,则 的面积为_____▲_____.
14. 设关于 的方程 (e 为自然对数底数) 有 个不相等的实数解 , 则
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
16. (15 分) 信息安全是互联网时代最重要的安全之一, 我国自主研发的量子通信保密传输系统, 依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中,量子信道成功密钥生成的概率为 ,经典信道完成信息匹配的概率为 ,且两个信道工作相互独立. (微信公众号: 浙江省高中数学)只有当量子信道密钥生成成功, 且经典信道信息匹配成功, 则本次有效密钥分发成功, 否则本次有效密钥分发失败.
(1)求该系统单次有效密钥分发成功的概率；
(2)若该系统独立进行 4 次密钥分发，记 为有效分发成功的次数，求 的数学期望 ；
(3)科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率 (单位:%)服从正态分布 . 若准确率不低于 99.4% 为 “最优传输”,估算 1000 次密钥分发中,可用于 “最优传输” 的次数.
附: 若 ,则 ,
17.(15 分)如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 4 的正方形， 是正三角形，且 平面 ,(微信公众号: 浙江省高中数学)若 分别为 的中点，点 在直线 上.
(1)求证:直线 与直线 为异面直线；
(2)求直线 与平面 所成角的最大值.
18.(17分)已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 为函数 的三个零点，且满足 ，
① 求实数 的取值范围；② 求 的最小值.
19.(17 分) 为椭圆 上异于顶点的动点，且 的离心率为 ， ， 分别为 的左、 右焦点， 为 的左顶点，记 ， .
(1)求 的方程；
(2)求证: ;
(3)设点 ，过点 作一条不与坐标轴垂直的直线 ，交椭圆 于 ， 两点，再过点 作一条垂直于 轴的直线分别交直线 于点 . 问是否存在 ,使得点 四点共圆 ( 为坐标原点)？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
数学试题参考答案与评分标准
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B B A D D C B
1.C 根据集合的运算，易得选 C.
2.B 因为 ，由百分位数定义可知为第 4 个数，故选 B.
3. B 因为选项 A 中的函数是奇函数,选项 C 中的函数不是周期函数,选项 D 中的函数的周期为 ,由排除法知选 B.
4. A 题意转化为 在其定义域内有解. 对选项 A,由 ,可得无数个解,如 ,正确; 对选项 B,由 ,无解,错误; 对选项 C,由 ,得 ,错误; 对选项 D,由 ,无解,错误. 综上,选 A.
5.D 对选项 A，缺少“相交”两字，只是必要不充分条件，错误；对选项 B；只是必要不充分条件，错误；对选项 C，可得 ，或 ，是“既不充分，也不必要条件”，错误；综上，选 D.
6. D 可得 . 由 ，即 ，因为 0,化简得, ，解得 或 ，故选 D.
7. C 解析 1: 由 ,得 ,即 ,解得
同理由 ,得 ,所以 . 故选 C.
解析 2: 不妨设 ,则有 , 解得 即 由 ,得
8. 解析 1: 依题意,可得 ,注意到 ,故可设 ,所以 ,当且仅当 时取到最大值,故选 B.
解析 2: 设 ,则 ,令 ,则有 ,求导即可 (下略).
的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。
9 10 11
BCD AD ABD
9. BCD 对选项 A，化圆为标准方程 ，得圆心坐标为 ，故选项 A 错误；对选项 B，把 代入 ，得 ， ，所以 ，故选项 B 正确；对选项 C，可得抛物线的准线方程为 ，显然与圆相切，故选项 C 正确；对选项 D，因为焦点 在圆内，所以过抛物线焦点的直线与圆相交, 故选项 D 正确. 综上, 本题选 BCD.
10. AD 如图，作出 ， ， ，易得 ，所以 ，故选项 A 正确，选项 D 正确；因为当三棱台趋近于三棱柱，且 点趋近于 点时,此时 ,可得 ; 当三棱台的高趋近于 0 时,且 点趋近于 点时,此时 ,可得 ,所以 的大小无法比较,故选项 B 错误, 选项 C 错误. 综上, 本题选 AD.
11. 对选项 ,因为 ,故选项 正确; 对选项 ,因为 ,取 就有 ,故选项 正确; 对选项 ,代入 , 此方程无解,故选项 错误; 代入 恒成立,故选项 正确. 综上,本题选 ABD.
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. .
13. 得 ，解得 ，所以 ,所以 .
14. 由 ,两边同除以 ,得 ; 令 ,则 ,即 ,解得 ,结合 的图象,可得方程 有 4 个不相等的实数解,不妨设 ,则有 ,进而有 ,两边取自然对数,得 .
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 解:(1) 在 中，令 ，得 ，解得 . 5 分
(2)当 时,由已知,得 ,即 , 7 分所以 ,
所以 , 10 分
所以 . 13 分
由题意知 与 相互独立,且 ,
所以信息单次有效分发成功的概率为: . 5 分
(2)由题意，可知 , 8 分
所以 . 10 分
(3)因为 ，所以 ， 12 分故 .
所以 1000 次密钥分发中,可用于 “最优传输” 的次数为 次. 15 分 (注:写 23 次也不扣分)
17. 解: (1) 证明: 假设直线 与直线 不是异面直线,
则存在平面 ,使得 , 2 分
又因为 平面 ,所以平面 平面
另一方面,因为 分别为 的中点,所以 ,
又因为 平面 平面 ,
所以 平面 , 5 分
又因为 平面 ,所以 ,
所以 ,矛盾,
所以直线 与直线 为异面直线. 7 分
(2)取 中点为 ，连接 ；易得 平面 ，
故可以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立如图所示的坐标系，
则 , , , , , , , 9 分
设 ,则 ,
设平面 的一个法向量为 ,
由 ,
即
取 有 , 11 分
记 与平面 所成角为 ,则 ,
所以 与平面 所成角的最大值为 . 15 分
18. 解:(1) 由 ，得 ，
所以 , 2 分
故所求的切线方程为 ,化简得 . 4 分
(2)①因为 ,
若 ,则 恒成立,故 在 上递增,不可能有三个零点,不合题意. 6 分
若 ,则 有两个不相等得实数根,记为 ,且 ,
故 在 上递增,在 上递减,
因为 ,所以 , 10 分
又因为当 时, ,
令 ,则 ,
所以 在 上递增,且 ,
同理 ,所以 在在 和 上各有一个零点,又 1 显然是 的一个零点. 综上,当函数 有三个零点时,可得实数 的取值范围为 . 12 分 (注: 利用 “当 时, ,且当 时, ” 判断不扣分)
②由 ①知, ,又因为 ,
即当 ,必有 ,所以 ,即 . 15 分
所以 ,当且仅当 取等号,
即 的最小值为 12 . 17 分
19. 解: (1) 因为 ,得 ,故所求 的方程为 . 4 分
(2)要证: ,只需证: ,
即证: ; 7 分
另一方面,在 中,由正弦定理,得 ,
即 ,故 . 9 分
(3)假设 四点共圆，则有 ，又 ， . 11 分另一方面,可设直线 ,及 ,
由 消去 ,得 . 13 分
由三角形相似,得 ,即 ;
同理,得 . 15 分
所以 ,
所以 ,解得 . 故存在 ,使得 四点共圆. 17 分

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