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高三数学
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 复数 的实部为
A. 0 B. 1 C. 2 D. -2i
2. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
3. 已知 ,且 ,则
A. B. C. D.
4. 在四边形 中, ,设 ,则
A. B. C. D.
5. 已知函数 ,则
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
6. 已知函数 的零点分别为 ,则 的大小顺序为
A. B. C. D.
7. 在 的展开式中, 的系数是
A. 24 B. 10 C. -10 D. -24
8. 已知数列 满足 ,其中 . 若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求,全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某地 2026 年 3 月 1 日至 10 日每天的最高气温(单位:℃) 记录如下表:
日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日
最高气温/℃ 13 5 8 10 16 9 19 22 16 12
则关于该地 2026 年 3 月 1 日至 10 日每天的最高气温, 下列说法正确的是
A. 从 2 日到 8 日持续上升 B. 极差为 17
C. 平均数为 13 D. 标准差为 5
10. 已知圆 ,直线 ,则下列说法正确的是 A. 存在实数 ,使得圆 关于 对称
B. 若 与圆 相切,则
C. 存在实数 ,使圆 上存在点 到 的距离为 6
D. 若 与圆 相交于 两点,且 ，则
11. 如图，在四棱锥 中， 底面 ， 分别为棱 上的动点,且满足 ,则
A. 直线 与平面 所成角的正弦值为
B. 平面 与平面 的夹角的余弦值为
C. 四棱锥 的体积为 2
D. 当三棱锥 的体积最大时,三棱锥 外接球的表面积为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知数列 是等比数列,若 ,则 _____.
13. 已知 是椭圆 的左、右焦点, 是双曲线 的右顶点,过 的直线交椭圆 于 两点,且 的周长为 20,则椭圆 的离心率为_____.
14. 已知函数 的图象连续不断,且 ,都有 , 当 时, ,若 ,且函数 ,则 与 的图象交点个数为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
的内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 ；
(2)若 ，点 为边 的中点， ， 的角平分线交 于 ，求 .
16. (15 分)
2026 年的春晚舞台上, 机器人的出色表现, 展示了中国智造的魅力. 某公司在对某型号机器人研发测试的过程中,工程师发现该型号机器人成功完成动作指令的概率为 ,但工程师对机器人下达的动作指令分为两类，一类表述清晰，另一类表述模糊. 若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成动作指令的概率为 ；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则机器人成功完成动作指令的概率为 . 每次测试该型号机器人能否成功完成动作指令相互独立.
(1)求工程师下达的动作指令表述模糊的概率；
(2)现对一台该型号机器人完成动作指令的情况进行 次测试，记这 次测试中恰有 2 次未成功完成动作指令的概率为 ,求 取得最大值时 的值.
17. (15 分)
某探照灯的反射镜面与其轴截面的交线是抛物线 ,把点光源置于它的焦点处,光线经镜面反射后成为平行光束,使照射距离加大. 若抛物线 的方程为 ,焦点为 ,过 的直线交 于 两点,当直线 垂直于 轴时, .
(1)求 的方程.
(2)光的反射定律告诉我们:光从一种介质照射到两种介质的分界面时发生反射, 反射光线与入射光线、法线处在同一平面内; 反射光线与入射光线分别位于法线的两侧; 反射角等于入射角. 如图,从点 发出的光线经过抛物线 上的点 (不同于抛物线的顶点) 反射,反射光线为 ,证明: 所在直线平行于 轴.
18. (17 分)
已知函数 .
(1)若 ，求 的图象在点 处的切线方程；
(2)若 ，求 的最大值(用 表示)；
(3)若 有且仅有一个零点，求实数 的取值范围.
19. (17 分)
如图，圆柱 的轴截面 是边长为 6 的正方形，点 在线段 上，且 ，点 在线段 上,且 为圆 的过点 的一条动弦 (不与 重合).
(1)证明: 平面 ；
(2)若点 是下底面圆周上的动点， 是点 在上底面的投影,且 与下底面所成的角为 与上底面所成的角为 ,求 的最小值;
(3)当三棱锥 的体积最大时,求二面角 的余弦值.
高三数学 答案
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. A 2. D 3. D 4. B 5. C 6. A
7. C 8. B
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的 得 0 分.
9. BCD 10. CD 11. ACD
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12.8
13. 14.10
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解析 (1) 由正弦定理得 ，即 ， (2 分)
由余弦定理得 . (4 分)
因为 ,所以 . (5 分)
(2)由(1)得 ，即 . ①
因为 ,所以 ,
即 ,所以 . ② (7 分)
由①②得 ，
所以 ,所以 . (9 分)
因为 ,且 ,
所以 ,即 ,
所以 . (13 分)
16. 解析 (1)设事件 “工程师下达的动作指令表述模糊”,事件 “工程师下达的动作指令表述清晰”,事件 “机器人成功完成动作指令”,
根据题意得 .
设 ,则 .
由全概率公式,得 , (4 分) 所以 ,解得 .
即工程师下达的动作指令表述模糊的概率为 . (7 分)
(2)由题意知 , (9 分)
则 . (11 分)
所以当 时, ,当 时, ,当 时, .
所以当 或 时, 取得最大值. (15 分)
17. 解析 (1) 由题意知, ,所以抛物线 的方程为 . (5 分)
(2)如图，设直线 与 有唯一公共点 ，
由 得 ,①
则 ,得 ,
代入①式，得 ，故 点的坐标为 . (9 分)
过点 作直线 垂直于直线 与 轴交于点 ,
则直线 的方程为 .
令 ,可得 ,又 ,所以 . (12 分)
又 ，所以 ， (13 分)
所以 ,又由反射定律知 ,所以 ,
所以 所在直线平行于 轴. (15 分)
18. 解析 (1) 当 时, ,
则 .
因此所求切线方程为 ,即 . (4 分)
( 2 )当 时，函数 的定义域为 ，
因为 ,所以由 ,得 ,由 ,得 ,
则函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 的最大值为 . (8 分)
(3)①由(2)知当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
函数 的最大值为 ,
又因为当 且 时, ,当 时, ,
所以当 ,即 时, 有两个零点,
当 ,即 时, 有且仅有一个零点.
,即 时, 无零点. (11 分)
② 当 时， ，所以 有且仅有一个零点 1 . (12 分)
③ 当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则函数 在 上单调递增,在 和 上单调递减,
函数 在 处取得极小值 .
令 ,求导得 ,当 时, ,
函数 在 上单调递减, ,即 ,
,当 时, ,则 ,
因此存在唯一的 ,使得 ,则 有且仅有一个零点. (14 分)
④ 当 时， ，函数 在 上单调递减，
而 ,
因此存在唯一的 ,使得 ,则 有且仅有一个零点. (15 分)
⑤ 当 时,由 ,得 ,由 ,得 ,
则函数 在 上单调递增,在 和 上单调递减,
函数 在 处取得极小值 ,
与③同理存在唯一的 ，使得 ，则 有且仅有一个零点.
综上,若 有且仅有一个零点, 的取值范围为 . (17 分)
19. 解析 (1) 如图 1,连接 . 由题意可知 .
图 1
因为 ,所以 ,所以 .
又因为在圆柱 的轴截面 中, 且 ,
所以四边形 为平行四边形,所以 ,
所以 .
又因为 平面 平面 ,
所以 平面 . (4 分)
(2)由题意，建立如图 2 所示的空间直角坐标系，
图2
则 , ,设 ,可得 .
则 ,且 ,
所以 ,
由题意知, ,且 与上、下底面均垂直,所以 与下底面所成的角为 .
所以 .
同理, . 所以 . (7 分)
,当且仅当 ,即 时取等号,
所以 的最小值为 25 . (9 分)
(3)由(1)知 ，所以 ，
所以当 最大时,三棱锥 的体积最大.
在平面直角坐标系 中,圆 的方程为 ,
设直线 ,代入圆方程 ,
整理得 ,且 ,
所以 ,
所以 ,
令 ,则 ,则 . (12 分)
由对勾函数的性质可知, 在 上单调递增,
所以 在 上单调递减,所以 ,
所以当 ,即 时,三棱锥 的体积最大,最大体积为 .
此时 ,且 为 的中点,所以 . (15 分)
所以 即为二面角 的平面角,
因为 ,
所以二面角 的余弦值为 . (17 分)

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