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2026 年春季高二年级阶段性学情检测 数 学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:北师大版选择性必修第一册第七章，选择性必修第二册第一章。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知数列 ,则该数列的通项公式可以为
A. B. C. D.
2. 已知 四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为 , 则线性相关程度最弱的是
A. A 组 B. B 组 C. C 组 D. D 组
3. 某网店的衣服从小到大有 S, M, L, XL, XXL, XXXL, XXXL,共 7 个尺码,其中 码最适合体重 的人，XXXXL 码最适合体重 的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等,则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为
A. B. C. D.
4. 在等比数列 中, 是方程 的两个解,则
A. -13 B. C. 25 D.
5. 在数列 中, ,则
A. -3 B. -4 C. 3 D. 4
6. 已知等比数列 的前 项和为 ,且 ,则
A. 80 B. 100 C. 105 D. 125
7. 设等差数列 的前 项和分别为 ,若 ,则
A. B. C. D.
8. 已知数列 是首项为 3 的正项数列,则 “ ” 是 “ . ”的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 小张读完某本书共需要 10 个小时,若他在 3 月 1 日, 3 月 2 日均未读这本书, 且在 3 月 3 日读了 28 分钟，从 3 月 4 日开始，每天读这本书的时间比前一天多 4 分钟，已知他在 3 月份只读这一本书,则
A. 他在 3 月 5 日读了 32 分钟 B. 他在 3 月 6 日读了 40 分钟
C. 他在 3 月 11 日读了 1 个小时 D. 他在 3 月 14 日正好读完这本书
10. 已知相关系数 , y 关于 的线性回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 . 已知变量 与变量 的部分数据,建立由最小二乘法得到的两个回归模型: 以 为自变量, 为因变量,得出的线性回归方程为 ; 以 为自变量, 为因变量,得出的线性回归方程为 - . 若两个模型的计算均无误,则下列判断正确的是
A. 若已知变量 的方差,则可得知变量 的标准差
B. 若已知变量 的方差,则不可得知变量 的标准差
C. 若不给定其他信息,则也可得知变量 与变量 各自的平均值
D. 若不给定其他信息,则也可得知变量 与变量 的相关系数
11. 给定数列 且 ,若对任意的 ,都有 ,则称数列 为指数型数列,则下列说法正确的是
A. 若数列 为指数型数列,且 ,则
B. 若数列 是等比数列,则数列 是指数型数列
C. 若数列 满足 ，且 是指数型数列，则
D. 若数列 是指数型数列,且 ,则数列 中存在不同的三项构成等差数列
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 _____▲_____.
13. 在等比数列 中，已知 ，则 _____▲_____.
14. 细胞 A 有两种状态:活跃和休眠. 该细胞每秒的状态转移规律如下:若细胞 A 这一秒为活跃状态,下一秒仍保持活跃状态的概率为 ,转为休眠状态的概率为 ; 若细胞 这一秒为休眠状态,下一秒转为活跃状态的概率为 ,保持休眠状态的概率为 . 已知细胞 第 1 秒为活跃状态，则第 3 秒为休眠状态的概率为_____▲_____，第 秒为活跃状态的概率为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
河南省三门峡市被誉为“天鹅之城”. 每年秋冬季节，成千上万的白天鹅如期飞临“天鹅之城”，拉开了三门峡“白天鹅旅游季”的精彩序幕，推动三门峡市冬季旅游市场热度持续攀升. 为了了解游客对天鹅的喜爱程度与性别的关系，某机构随机调查了 300 名现场游客(男、女游客人数相等), 绘制了不完整的列联表如下:
单位:人
性别 喜爱程度 总计
一般喜爱 非常喜爱
男
女
总计 300
已知男游客中非常喜爱天鹅的频率为 0.6 , 女游客中一般喜爱天鹅的频率为 0.2 .
(1)补全列联表;
(2)是否有 99% 的把握判断游客对天鹅的喜爱程度与性别有关？
附: .
当 时,有 的把握判断变量 有关联.
16. (15分)
已知数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求 ；
(2)求 的通项公式；
(3)设数列 的前 项和为 ，证明: .
17. (15分)
在数列 和 中, .
(1)证明: 是递增数列.
(2)证明: 是等比数列， 是等差数列.
18. (17分)
某产品当月的销售额 (单位:千元)与当月的宣传费 (单位:千元)有关，且 与 的成对数据如下表:
1 4 9 16 25
20 40 50 60 80
(1)判断 与 是正相关还是负相关；
(2)由散点图发现可以用函数模型 拟合 与 的关系，求 关于 的回归方程；
(3)已知该产品每个月除宣传费外的其他成本(单位:千元)为_____5、、式(为估)，当物预测该产品月利润的最大值，并求当月的宣传费. (月利润=月销售额一月成本)
附:在线性回归方程 中, , 其中 为样本平均值.
19. (17 分)
在数列 中, ,若存在自然数 ,使得对于任意正整数 ,数列 是以 为公差的等差数列,则称 为 “ 组差数列”. 并说明理由.
(1)若 ，判断 是不是 “1-2 组差数列”，并说明理由.
(2)若 是“5-18 组差数列”,且 为定值，证明: .
(3)记 的前 项和为 ，且 为 “ 组差数列”，证明:存在常数 ，使得 恒成立.
2026 年春季高二年级阶段性学情检测 数学参考答案
1. C 该数列的通项公式可以为 .
2. B 因为 ,所以线性相关程度最弱的是 B 组.
3. A 设该网店的衣服 7 个尺码最适合的人的体重从小到大为数列 ,则 为等差数列, ,所以该数列的公差 . 故相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为 .
4. A 由韦达定理得 ，因为 ，所以 . 由等比数列的性质得 ,得 (正根舍去).
5. D 因为 , 所以数列 的周期为 4 . 故 .
6. C 易得 的公比 ,则 成等比数列,所以 ,得 .
7. D 因为 ,所以可设 ,所以 ,所以 .
8. A ,因为 ,所以 ,得 . 由 ,得 ,又 ,所以 . 故 . 故 ” 是 “ ” 的充要条件.
9. BCD 设小张在 3 月 3 日、3 月 4 日、3 月 5 日……当天读这本书的时长分别为 分钟、 分钟、 分钟、 ,依题意可知数列 成等差数列,且首项为 28,公差为 4,则 ,所以他在 3 月 5 日读了 36 分钟,在 3 月 6 日读了 40 分钟,在 3 月 11 日读了 1 个小时. 因为 ,所以他在 3 月 14 日正好读完这本书.
10. ACD 对于 D,由所给公式得 ,且回归系数为负数,故相关系数 正确.
对于 ,设变量 与变量 的标准差分别为 ,且可以推理得到 ,代入已知数据得 ,即 ,若已知变量 的方差,即可求得 ,进而代入上式求得 正确.
对于 ,若已知变量 的方差,即可求得 ,进而代入上式求得 错误.
对于 ,线性回归直线经过样本中心点 ,代入两个回归方程得 与 ,解得 ,故不给定其他信息也可得知变量 与变量 各自的平均值, 正确.
11. 对于 ,因为数列 为指数型数列,所以对任意的 ,都有 . 令 ,得 ,令 ,得 ,因为 ,所以 , 令 ,得 ,所以 是首项为 ,公比为 的等比数列,
所以 ,所以 ,故 正确.
对于 ,若 是等比数列,则 ,要使对任意的 ,都有 ,则 ,即 ,所以数列 不一定是指数型数列,故 不正确.
对于 ,因为 ,所以 .
当 时, 不是指数型数列,当 时, 是公比为 2 的等比数列.
因为 是指数型数列,所以 是首项与公比相等的等比数列,
所以 ,所以 ,故 正确.
对于 ,因为 是指数型数列,且 ,所以 .
假设存在三项 构成等差数列,
则 ,即 .
因为 ,所以 为奇数, 为偶数,
所以 ,所以数列 中不存在不同的三项构成等差数列,故 不正确.
12. -3 由 ,得 .
13. 128 设等比数列 的公比为 ,由 ,得 ,因为 ,所以 .
14. 因为细胞 第 2 秒为活跃状态,且第 3 秒为休眠状态的概率为 ,第 2 秒为休眠状态,且第 3 秒为休眠状态的概率为 ,所以细胞 第 3 秒为休眠状态的概率为 .
设细胞 A 第 秒为活跃状态的概率为 ,则第 秒为休眠状态的概率为 ,第 秒为活跃状态的概率为 ,得 ,得 ,又 ,所以 ,所以 是首项为 ,公比为 的等比数列. 故 ,即 .
15. 解:(1)由题意得男、女游客的人数均为 150 ，
男游客中非常喜爱天鹅的频数为 ，一般喜爱天鹅的频数为 ，女游客中一般喜爱天鹅的频数为 ，非常喜爱天鹅的频数为 .
列联表如下:
单位:人
性别 喜爱程度 总计
一般喜爱 非常喜爱
男 60 90 150
女 30 120 150
总计 90 210 300
6 分
(2) , 11 分
因为 ,所以有 的把握判断游客对天鹅的喜爱程度与性别有关. 13 分
16.(1)解:(方法一)由 ， 1 分
得 . 2 分
(方法二) 由 ,得 , 1 分
得 . 2 分
(2)解:因为 ，所以 ， 3 分
则 , 5 分
得 , 6 分
又 ,所以 , 7 分
所以 8 分
(3)证明: 设 ，则 . 9 分
当 时, 10 分
, 12 分
所以 . 14 分
故 . 15 分
17. 证明: . 2 分
当 为偶数时, , 3 分
当 为奇数时, , 4 分
则 ,所以 是递增数列. 5 分
(2)由题意得 . 6 分
由 ,得
得 8 分
两式相减得 ,得 ,得 . 9 分
因为 ,所以 ,得 , 11 分
得 . 12 分
易得 . 13 分
因为 ,所以 是首项为 ,公比为 4 的等比数列, 是首项为 ,公差为 2 的等差数列. 15 分
18. 解:(1)当 逐渐增大时， 逐渐增大，所以 与 是正相关. 2 分
(2)设 ，则 ， 4 分 6 分
则 8 分
10 分
故 关于 的回归方程为 . 11 分
(3)由题意得该产品的月成本 , 12 分
则月利润为 , 14 分
当 ,即 时,该产品的月利润最大, 15 分
且最大值为 . 16 分
故预测该产品月利润的最大值为 24000 元, 当月的宣传费为 16000 元. 17 分
19.(1)解: 是“1-2 组差数列”. 1 分
理由如下: 由 可知 .
当 时, ,则数列 以 2 为公差的等差数列,且 2 ,故 是“ 组差数列”. 3 分
(2)证明:因为 是“5-18 组差数列”,所以数列 是以 18 为公差的等差数列,则 . 4 分因为 为定值,所以可设 ,则 , 5 分
所以 ,即 ,所以 是等差数列, 6 分
因为 ,所以 的公差为 ,又 ,所以 . 7 分设 ,则 ,
所以 , 8 分
则 , 9 分
所以 . 10 分
(3)证明:因为 为 “ 组差数列”，所以 ,即 ,令 ,则 . 11 分
对任意正整数 ,均存在非负整数 和整数 ,使得 ,此时 . 12 分
设 这 项中的最小值为 ,因为 ,所以 ,从而
14 分
则 . 16 分
令 ,由 对于任意实数 恒成立,得 ,命题得证.
17 分

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