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高二数学期中
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 6 页。时量 120 分钟。满分 150 分。
第 I 卷
一、选择题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的)
1. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 已知 是虚数单位,复数 满足 ,则
A. 1 B. C. D. 2
3. 抛物线 的焦点为 上的点到 的距离等于到直线 的距离,则
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
4. 设 ,且 ,则 的最小值为
A. 8 B.
C. 10 D.
5. 已知函数 为奇函数,则
A. -2 B. 0 C. -3 D. -1
6. 若事件 满足 ,则
A. B. C. D.
7. 已知函数 ,若 ,使得 有解,则 的最小值为
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,若 为偶函数,则
A. B. C. D.
二、选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知 的内角 的对边分别为 ,则下列说法正确的是
A. 若 ,则 有两组解
B. 若 ,则
C. 若 ,则 为等腰三角形
D. 为 外接圆的半径)
10. 首项为正数的等差数列 的前 项和为 ,且 ,当 取到最大值时, 的取值是
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
11. 已知正方体 的棱长为 2,球 为其内切球,球 为其外接球,点 是 的中点,则下列说法正确的是
A. 球 与球 的体积之比为
B. 点 到球 表面的距离的最小值为
C. 若在正方体内部放置两个相互外切的球, 两球球心同在正方体的一条体对角线上且两球都与 1 正方体的三个面相切,则这两个球的体积之和的最小值为
D. 分别以正方体的四个顶点 为球心, 为半径作四个球,记这四个球的公共部分为几何体 ,几何体 内能容纳的最大球的表面积为
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案
第 II 卷
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 的展开式中 的系数是_____.
13. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为_____.
14. 已知向量 满足 ，若 ，且 分别是 在 上的投影向量，则 的最小值为_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期与单调增区间；
(2)在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，且 ，求 面积的最大值.
16. (本小题满分 15 分)
已知等差数列 及其前 项和 满足 . 数列 满足 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
17. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面四边形 为菱形， ， 是正三角形， 为 上一点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若 平面 ，求二面角 的余弦值.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 有两个极值点 .
(1)求实数 的取值范围；
(ii) 证明: .
19. (本小题满分 17 分)
已知过点 的椭圆 的离心率为 ，直线 过椭圆 的右焦点 ，且与椭圆 交于 ， 两点.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 的斜率存在，点 关于 轴的对称点是 ，求证:直线 过 轴上的定点 ，并求其坐标;
(3)在(2)的条件下，过点 作 轴的垂线 与 交于点 ，记线段 的中点为 ， 的面积为 的面积为 ，求 的取值范围.
高二数学期中参考答案
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A B D C A A C ABD BC ACD
1. 集合 ,所以 . 故选 D.
2. A 法一: ，所以 ；
法二: 两边同时取模 ,所以 . 故选 A.
3. 根据抛物线的定义， 是其准线，又 的准线方程为 ，所以 ，解得 . 故选 B.
4. D 方程 两边同时除以 ,得到 ,
当且仅当 ,即 时等号成立. 故选 D.
5. C 若 ,则 ,所以 , 所以 . 故选 C.
6. A ,代入 ,得到 ,又因为 1,所以 . 故选 A.
7. A 当 时, ,所以只需要 ,使得 ,即 ,即关于 的方程 ,在 上有解,首先 ,其次要使得 最小,则需 最小, 最大,即当 时, 最小,故所求最小值为 . 故选 A.
8. C 对 求导得 ,再对 求导得 ,令 ,得 ,可以得到 的对称中心的横坐标为 ,又 ,所以 的对称中心为 表赤将 的图象向右平移 个单位长度,向上平移 个单位长度,因为 为偶函数,只需要将对称中心移至原点即可,所以 ,故 . 故选 C.
9. 对于 选项,由正弦定理 得到 ,所以 或 ,故 有两组解,故 A 正确;
三角形中大边对大角，因为 ，则 ，再由正弦定理可知 正确；
若 ，则 或者 ，所以 为等腰三角形或者直角三角形，故 C 错误；
由正弦定理 和面积公式 ,可知 ，故 D 正确. 故选 ABD.
10.BC 因为首项为正数,且 有最大值,则等差数列 的公差 ,所以 是开口向下的二次函数图象上的一些离散的点,又 ,则二次函数的对称轴是直线 ,而 ,所以 取值是 6 或 7 时, 取最大. 故选 BC.
11. 因为正方体棱长为 2,所以其内切球 半径为 1,外接球 半径为 ,根据球的体积公式可知球 与球 的体积之比为 ,故 正确;
为球 内一点,则 到球 表面上的最小距离是半径 ,故 B 错误;
设这两个与正方体三个面相切的球半径分别是 , ,它们的球心在正方体的体对角线上,且球心距离为 ,球心到对应正方体顶点的距离分别是 和 ,所以 ,解得 ,两球的体积之和 ,利用基本不等式可知当 时,体积之和最小 ,故 正确;
如图，三棱锥 是正四面体，四个球公共部分几何体 的中心是正四面体的中心，也就是正方体的中心 , 最大的球是内切球,也就是中心 到四个球面的距离,所以最大球的半径 ,故最大球的表面积 ,故 D 正确. 故选 ACD.
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 15 令 的项为 ,所以展开式中 的系数为 15 .
13. 由题可知函数 在 上单调递增,则 ,参变分离得到 ,令 ,当 时 取最大值 ,所以 . 即实数 的取值范围为 .
14. ,
,当且仅当 时等号成立.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(1)
, 3 分
所以函数 的最小正周期 , 4 分
令 ,解得 .
故函数 的单调递增区间为 . 6 分
( 2 )由 ，又因为 ，所以 . 8 分
因为 ,根据基本不等式 ,当且仅当 时等号成立, 10 分
所以 ,所以 面积的最大值为 . 13 分
16.(1)数列 是等差数列,设公差为 ,因为 ,所以 ,
又 ,
解得 , 3 分
所以 . 4 分
当 时, ,所以 ,
当 时, ,满足上式,所以 . 8 分
(2)由(1)可知， , 9 分
所以 ,
所以 ,
①-② 可得 , 14 分
所以 . 15 分
17.(1)法一:如图所示，取 的中点 ， 的中点 ，连接
因为 是正三角形, ,则 ,
又 为 的中点,所以 , 1 分
又底面四边形 为菱形, ,
所以 是等边三角形,所以 , 2 分
因为 平面 平面 ,所以 平面 . 3 分
又 平面 ,进而 ,
同理可得 , 5 分
因为 平面 平面 ,所以 平面 . 7 分
法二: 设 ,连接 ,则 在 点相互平分,又在菱形 中, , 1 分
是正三角形,则 , 2 分
而 平面 ,所以 平面 , 3 分
因为 平面 ,所以平面 平面 ;
作 交 于点 ,则 平面 , 5 分
因为底面四边形 为菱形, ,所以 ,
因为 是正三角形, ,所以 ,
在 中, ,
又因为在 中, ,
所以 ,
所以点 与点 重合,即 平面 . 7 分
(2)因为 平面 平面 ，且平面 平面 ，则 ，
由于 为 的中点，所以 为 的中点， 9 分
如图,分别以 所在直线为 轴,过 且平行于 的直线为 轴建立空间直角坐标系 ,
由(1)可知 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
则 即
令 ,得 , 11 分
设平面 的法向量为 ,
则 即
令 ,得 , 13 分
14 分
由图可知,二面角 是钝角,所以二面角 的余弦值为 . 15 分
18.(1) 当 时, ,则 ,
又 ,所以 ,所以曲线 在 处的切线方程为 . 4 分
(2) ，求导得 ， 5 分
因为 有两个极值点,所以 在 上有两个不相等的根, 6 分
又 ,则只需要 解得 ,
所以实数 的取值范围为 . 10 分
(ii) 因为 ,且 是方程 的根,
所以 且 ,
则 , 13 分
令 ,则 ,
令 ,则 ,令 ,解得 ,因为 在 上单调递增,且 ,
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ,
所以 使得函数 在 上单调递增,在 上单调递减,且 . 15 分故函数 的最大值为 ,即 得证. 17 分
19.(1)依题可知 解得 ,
所以椭圆的标准方程是 . 4 分
(2)设 ， ， ，
当直线 与 轴不重合时,设直线 的方程为 ,
联立 化简得 ,
且 ,① 6 分
又 ,直线 的方程为 ,
令 ,解得 , 8 分
将①代入可得 ，所以定点 为 ， 9 分
当直线 与 轴重合时,即直线 的方程为 ,也过点 ,
所以直线 过 轴上的定点 . 10 分
(3)两直线交于 ,
将①代入可得 ，
所以 , 13 分
. 15 分
所以 ,
又因为 ,所以 . 17 分

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