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高一数学期中
时量: 120 分钟 满分: 150 分
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中, 只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 已知复数 满足 ,则
A. 2 B.
C. 1 D.
3. 若 是空间中两条不同的直线,则“存在平面 ,使 ” 是 “ ”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 已知 ,则
A. 4 B.
C. 8 D. 16
5. 某船行驶到甲地看 1 号灯塔时,1 号灯塔在甲地的北偏东 方向上,相距 mile; 在甲地看 2 号灯塔时,2 号灯塔在甲地的南偏西 方向上，相距 mile. 该船由甲地向正南航行到乙地时，再看 1 号灯塔，则 1 号灯塔在乙地的北偏东 30° 方向上，则 2 号灯塔与乙地之间的距离是
B. mile
A. mile
C. mile
D. mile
6. 已知 ,若函数 有两个不同的零点,则实数 的取值范围是
A.
B.
C. D.
7. 在直角梯形 中, , 为 的中点，则
A. 4 B. 6
C. 8 D. 12
8. 如图，在函数 的部分图象中， 为对称轴与 轴的交点, 在图象上,若 ,则点 的纵坐标为
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 如图所示，在正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点,则下列结论正确的是
A. 直线 与 是平行直线
B. 直线 与 是异面直线
C. 直线 与 所成的角为
D. 四点共面
10. 设 为复数, . 下列命题正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
11. 在 中, 分别为内角 的对边, , 的面积为 ,则下列结论正确的是
A.
B.
C.
D.
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若幂函数 的定义域为 ，则实数 _____.
13. 若 ,则
14. 四棱锥 的底面为正方形， ， 平面 ,则 _____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分 13 分)
已知函数 .
(1)若 ，且 ，求 的值；
(2)设函数 ，求 的值域.
16.(本题满分)5分)
在 中，内角 的对边分别为 .
(1)求 ；
(2)若 ， 为 的中点， ，求 .
17. (本题满分 15 分)
已知函数 的图象关于原点对称.
(1)求实数 的值；
(2)若 ，求 的取值范围；
(3)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
面分隔到
18.(本题满分 17 分)
如图所示的几何体，在底面 中， 与 交于点 ， 垂直于平面 ,且 .
(1)证明: 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)在 内部(包括边界)的动点 满足四棱锥 的体积和三棱锥Q-GCD的体积相等，请找出点 的轨迹，并说明理由.
19. (本题满分 17 分)
已知函数 满足 ，集合 都存在最大值和最小值,记其最大值与最小值之差为 .
(1)分别对以下函数 计算 (不要求写出计算过程):
① ; ② .
(2)已知 ，且 ，求: ；
(3)已知 ，其中 为给定的大于 0 的常数，且 ,证明: .
高一数学期中参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C B C D B D B BCD ABC AD
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.
1. A .
2. ,则 .
3. 若 ,可知直线 是共面直线,则存在平面 ,使 ,即必要性成立; 若存在平面 ,使 , ,则直线 , 可能相交,即充分性不成立,综上所述: “存在平面 ,使 , ” 是 “ ” 的必要不充分条件.
4. C 由 ,可得 ,由 ,可得 ,所以 .
5. D 在 中， ，由正弦定理得 mile,
在 中, ,
由余弦定理得 ,所以 mile.
6. 由 ,解得 ,又 ,所以 ,则 是函数 的一个零点,由 ,解得 ,要使得 有两个不同的零点,则 .
7. D 在直角梯形 中, ,
则 ,由 为 的中点,
得 ,
所以 .
8. 由平移不变性,伸缩不变性不妨设 , 由中点坐标公式可知, ,则 ,由 ,知 , 所以 ,又由图可知 ,所以 .
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. BCD 对于 ,取 的中点为 ,连接 . 如下图所示:
由正方体性质可知 ,若直线 与 是平行直线,则可得 三点共线,显然这与 相交于点 矛盾,故 错误;
对于 ,易知 平面 平面 直线 平面 ,可得直线 与
是异面直线，故 B 正确；
对于 ,连接 ,如下图:
可得 ,故 为直线 与 所成的角,而 ,可得直线 与 所成的角为 ,故 正确;
对于 ,连接 易知 ,可知 四点共面,故 正确.
10. 正确; 由 可得 ,因为 ,所以 ,即 ,故 正确; 若 ,则 ,由模长性质知 ,故 正确; 取 1-i,显然满足 ,但 ,故 错误.
11. 因为 ,所以,根据正弦定理边角互化得 ,
因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,由余弦定理可知, ,故 ,
若 ,则 ,注意到 ,
所以 (两者同负会有两个钝角,不成立),即 ,
因为 都是锐角,
所以 ,
于是 ,这和 相矛盾,
故 不成立,所以 .
所以 ,
所以 ,故 选项正确;
,即 ,
所以 或 ,即 或 ,
当 时, ;
当 时, ,故 B 选项错误;
因为 的面积为 ,
所以,当 时, ,
解得 ;
当 时, ,
解得 ,
故 C 选项错误, D 选项正确.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分。共 15 分.
12.3 由题意得 ,解得 或-4,当 时, ,此时定义域不为 ,故舍去; 当 时, ,满足题意.
13. 由题意可得 .
14. 解法 1: 如图 1,将四棱锥 放入正方体 中,延长 与正方体刚好交于点 ，延长 与 交于点 ，连接 ，过点 作 与 交于点 . 此时， . ， 四点共面,则 与 的交点为点 .
,又 ,则 ,
.
解法 2: 如图 2,过点 作直线 ,延长 与直线 交于点 ,连 交 于点 ,
过点 作 交 于点 ，则点 为 上靠近点 的四等分点.
,则 ,
又 ， .
图1
图2
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(1)因为 ,所以 , 2 分
又 ,所以 . 4 分
故 . 6 分
(2) . 9 分当 时, ,所以 , 11 分
故 的值域为 . 13 分
16.(1)因为 ,
所以 ,即 , 2 分
由正弦定理可得 ，所以 ， 4 分
由于 ,故 . 6 分
(2)因为 为 中点，所以 ，则 ，
所以 ,即 ,解得 或 (舍), 8 分
由余弦定理知, ,所以 , 10 分
所以 ,则 ,所以 , 13 分
所以 . 15 分
17.(1)因为函数 的图象关于原点对称，所以函数 是奇函数，
令 可得, ,解得 , 3 分
经验证, 时, ,
因此,实数 的值为 1 . 5 分
(2)由(1)可知 ，则 ，则任取 且 ,
则 ,
即 ,因此函数 在 上单调递减, 7 分
由 ,解得 , 9 分
又由于 ,所以 的取值范围是 . 10 分
(3)因为 , 12 分
所以 即 ,因为 ,所以 ,
则不等式转化为 有解,令 ,
所以 ,即实数 的取值范围是 . 15 分
18.(1)证明:在平面 中,过 作 ,交 于 ,
因为 为 的中点,所以 为 的中点,则 ,
又 ,所以 且 , 3 分
则四边形 为平行四边形,所以 ,即 ,
因为 平面 平面 ,所以 平面 . 5 分
(2)法一:连接 ，则 ， 7 分
. 10 分
法二: (等体积法) 由 知 ，
因为 ，所以 ， 8 分
因为 ,所以 . 10 分
(3)四棱锥 和三棱锥 中含有相同的字母 ，保留这三个字母，将其他字母统一化。
,所以点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的三倍,即平面 经过线段 的一个四等分点 (靠近点 ), 13 分
，所以点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的两倍，
即平面 经过线段 的一个三等分点 (靠近点 ), 16 分
又平面 与平面 相交于一条直线,点 确定该直线,因此,线段 即为点 的轨迹. 17 分
19.(1)①10；② . 4 分
(2)由定义: ,解得 . 5 分
函数 的图象对称轴为直线 ,开口向上.
(i) ,则 .
此时 ,
,解得 . 7 分
(ii) ,则 ,且 ,
此时 ,
,解得 或 ,
其中 ,舍去.
综上:所求 或 . 10 分
(3)先证明: 在 上的最值点有且仅有 和
若存在 ， 为 上的最值点，不妨设为最大值点，
再设 为 上的最小值点,再不妨设 ,
此时 ,矛盾! 13 分
故 成立，接下来证明 .
故在 上，由 知0,1为 上唯二最值点.
为最小值点,1 为最大值点.
.
,在 上,由 知 ,
由 知 为 上的最大值点,0 为 上最小值点,
. 15 分
,在 上,由 知 0 不为最大值点,
. 16 分
,在 上,由 知1不为最小值点,
由 知 为 上的最小值点,1 为 上的最大值点.
.
综上: . 17 分

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