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新高考考前小题冲刺训练 数学(三)
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 已知 ,若 ,则
[A]
[B]
[C]
[D]
2. 已知复数 满足 ,则复数 在复平面上对应的点不可能位于
[A] 第一象限
[B]第二象限
[C]第三象限
[D]第四象限
3. 已知 ,则
[A] [B]
[C] [D]
4. 已知正项等差数列 中, , 若 ,则
[A] 10 [B] 13
[C] 15 [D] 17
5. 过点 作 的切线 ,切点为 ,以 为直径的圆与 轴交于另一点 ,则 到 的距离为
[A] [B]
[C] 1 [D]
6. 随着生态环境的改善，每年来某地湖泊繁育幼鸟的各种鸟类越来越多，鸟类众多、比较集中，且各种鸟类的数量在 3500 及以上的时间称为鸟类繁育“旺季”. 第 个月,当地湖泊中各种鸟类的数量 可近似用函数 来表示，那么一年中是“旺季”的月份有
[A] 3 个 [B] 4 个
[C] 5 个 [D] 6 个
7. 已知抛物线 的焦点为 ,点 是 上的动点, 关于 轴对称的点为 ,点 ,且 周长的最小值为 4,则当直线 的倾斜角为 时, 等于
[A] 1 [B] 2
[C] 3 [D] 4
8. 已知定义在 上的函数 满足 ,且当 时, ,则下列说法正确的是
[A] 函数 是具有周期性的奇函数
[B] 若关于 的方程 在 上有且仅有一个根,则
[C] ,满足
[D] 若 的图象与直线 在区间 上恰有 3 个交点,则
二、选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知 为实数，则下列结论正确的是
[A] 若 ,则
[B] 若 ,则
[C] 若 ,则
[D] 若 ,则
10. 已知四棱柱 中,各棱长均为 1, ,则
[A]
[B]
[C] 若 ,则
[D] 若 ,则
11. 在一个抽奖游戏中,主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里, 当抽奖人选择了某个箱子后, 在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了 1 号箱，用 表示 号箱有奖品 ，用 表示主持人打开 号箱子 ,下列结论正确的是
[A]
[B]
[C] 若 ,甲无论是否更改选择,他获奖的概率均为
[D] 若 ,要使获奖概率更大,甲应该改选 2 号或者 4 号箱中的任意一个
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 已知向量 ，且 ，则实数 _____.
13. 已知函数 在 上可导,其导数为 ,若 ,则 成立,英国数学家泰勒发现了一个恒等式: ,则 _____.
14. 运动员关心的是在足球场上的哪些位置射门命中的角度较大. 在真实的射门过程中，我们做一些假定:
(1)将足球看成一个质点;
(2)接近球门时，足球运动的轨迹与地面平行；
(3)射门时，足球与球门之间无防守员；
(4)足球场平面图是一个矩形；
(5)标准足球场的长度为105米，宽度为68米，球门的宽度为 7.32 米.
如图，以线段 所在直线为 轴,以线段 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系, 是球门中心，两门柱位置分别为点 ， ，两个角球点为 是半场分界线.
对于区域 内,射门点 ,对于每一个确定的横坐标 ,可以找到唯一的 ,可以证明横坐标不变时, 时, 最大,此时,点 在 轴上是最佳射门点. 对于每一个确定的纵坐标 ,同样可以找到唯一的 ,当 _____时， 最大，此时，点 是最佳射门点.
小题冲刺训练(三)
1. 由于 ,则 ,解得 ,则 满足题设,故 .
2. D 依题意,复数 满足 ,则复数 对应点在以 为圆心,半径为 5 的圆上,画出图象如图所示，由图可知， 对应点不可能位于第四象限.
3. D 因为 ,则 , 故 ,所以 .
4. C 设等差数列的首项为 ,公差为 ,
则由 得
解得 或 (舍),
,
设数列 的前 项和为 ,则 ,
故 ,解得 .
5. 由题意知 ,设切点 为 ,
所以切线方程为 ,
又切线过点 ,所以 ,
解得 ,
所以 或 ,两点关于 轴对称,则 ,
切线为 或 ,则以 为直径的圆为 或 均交 轴于 ,所以 到 的距离 .
6. C 由题意知 ,
令 ,
即得 ,
解得 ,
解得 ,
结合 ,可知当 时, ,即 取6,7,8,9, 10，即一年中是“旺季”的月份有 5 个.
7. B 设点 到 轴的距离为 ， 的周长为
解得 ,所以抛物线 ,点 ,设 , 则
得 ,所以
8. 对于选项 ,由 ,知 关于 中心对称,用 替换 得 ,
又 ,所以 ,且 的定义域为 ，所以 为奇函数.
当 时, ,画出 的草图,易知 在 上递增,所以 不是周期函数,故选项 错误.
对于选项 ，当 时， ，
又 为奇函数,
所以当 时, ,所以
当 时, ,此时 取任意实数,方程 都有实根 ,故选项 B 错误.
对于选项 ,因为当 时, ,
任取 ,
,所以 , C 选项错误.
对于 选项,当 时, ,
当 时, ,
由 ,
当 时, ,
当 时, ,因为 ,以 代 ,得 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,所以
当 时,
当 时，
在同一坐标系内作出函数 的图象,和直线 的图象，如图.
观察图象可知，当直线 与 在 和 上的图象相切时, 的图象与直线 在区间 上恰有 3 个交点,
由 消去 ,得 ,
由 ,得 ,所以 ;
由 消去 ,得 ,
由 ,得 ,所以 .
所以 的图象与直线 在区间 上恰有 3 个交点时 ,故选项 D 正确.
9. BC 对于 A:当 时， ， 无意义，没法比较大小，故 A 错误；
对于 B: 因为 ,所以 ,
所以
当且仅当 时,即当 时,等号成立, 故 正确;
对于 C: 因为 ,所以 ,所以 ，又 ，所以 正确；
对于 D: 取 ,则 错误.
10. 由题意得四棱柱 底面为菱形,则 为 平分线.
又因为 ,则 在平面 的射影 在直线 上，
所以 平面 ,则 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,所以 ,故 正确;
由 为平行六面体,所以 ，所以 .
又
所以 ,故 B 错误;
，设 ， 则
解得 ,故 正确;
由 ,则 为菱形,则 ,
所以 ,
因为 ,
即 ,
所以 ,
所以
所以 ,故 错误.
11. ABD 对于 选项，抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下选择了 1 号箱, 他的选择不影响奖品在四个箱子中的概率分配,因此 的概率均为 ,即 A 正确;
对于 B 选项, 奖品在 2 号箱里, 主持人只能打开 3、4 号箱, 故 ,故 B 正确;
对于 选项,
奖品在 1 号箱里,主持人可打开 2、3、4 号箱,故 ,
奖品在 2 号箱里,主持人只能打开 3、4 号箱,故 ,
奖品在 3 号箱里, 主持人打开 3 号箱的概率为 0 , 故 ,
奖品在 4 号箱里,主持人只能打开 2、3 号箱,故 , 由全概率公式可得:
,故 C 错误, D 正确.
12. -2 因为 ,则 ,解得 . 13. 解法一:
设 , 则
记 ,
则 ,
又 ,所以 ,
所以 ,
所以
.
解法二:
由 ,①
得 ②
由① 3 得 ，③ 由②③得 ，则 ，
即 ,
所以
.
14. 如图, ,设
作 的外接圆 ,
圆心 在 轴正半轴上.
则 ,
当 最大时, 取最大值,
,
,
当 取最小值时, 取得最小值,
最小时 取最大值,
又 ,点 为直线 上动点, 当 轴时, 取得最小值 ,
此时 ,即 .

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