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2025-2026 学年莆田一中高一数学五一假期作业
一、单选题
1. 已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则其侧面展开图扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
2. 若复数 为纯虚数，则实数 的值为( )
A. 2 B. 0 C. -2 D. 0 或 2
3. 如图，矩形 是水平放置的平面四边形 用斜二测画法画出的直观图，其中， ， ，则原四边形 的面积为( )
A. B. C. 10 D. 12
4. 为了测量河对岸一古树高度 (如图),某同学选取与树底 在同一水平面内的两个观测点 与 ,得 ,在点 处测得树顶 的仰角为 ,树高 约为 米,则 ( ).
A. 100.8米 B. 33.6米 C. 米 D. 米
5. 粒子 从同一发射源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为 , ,则 在 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6. 如图,在正方体 中, 是 的中点, 是 的中点， 是 的中点，直线 与平面 相交于点 ，则下列结论不正确的是( )
A. 三点共线 B. 四点共面
C. 四点共面 D. 四点共面
7. 在 中,角 所对的边分别为 ,面积为 . 若 ,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
8. 已知三棱锥 的体积为 . 若该三棱锥的四个顶点都在球 的球面上,则球 的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知 是空间内三条不同的直线， 是空间内两个不同的平面，下列说法不正确的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ，则
D. 若 ，则 “ ” 是 “ ，且 ” 的充分不必要条件
10. 已知复数 ,且 是非零复数, 分别是 的共轭复数,则下列结论正确的是( )
A. 若 ,则 B.
C. 若 ,则 D.
11. 下列物体中,能够被整体放入棱长为 1 (单位: )的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A. 直径为0.99m 的球体
B. 所有棱长均为 1.4m 的四面体
C. 底面直径为 ，高为 的圆柱体
D. 底面直径为 ，高为 的圆柱体
三、填空题
12. 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则 的面积为_____.
13. 若 ，且满足 ，则 _____.
14. 如图，在长方体 中， 为 的中点，过点 作平面 与平面 平行，则平面 与底面 的交线 的长度为_____；若 为 上的动点，则动直线 与 的夹角的正切值的取值范围是_____.
四、解答题
15. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 。 (1)求A.
(2)若 ，求 的周长.
16. 如图，一个圆锥的顶点是 是底面的圆心， 是底面的一条直径， .
(1)若 和圆锥底面所成角大小是 ，求该圆锥的表面积；
(2)若 是 中点， 、 是底面圆上两点，劣弧 的长为 ， ， 求证: 平面 平面 .
17. 如图,四棱柱 中,底面四边形 为菱形, , ，点 在线段 上.
(1)证明: 平面 ；
(2)当 为何值时， 平面 ，并求出此时三棱锥 的体积.
18. 如图,设 是平面内夹角为 的两条数轴; 分别是与 轴, 轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系 为 仿射坐标系. 在 仿射坐标系中，若向量 ,则把 叫做向量 在平面坐标系 中的坐标,记 .
(1)在 -仿射坐标系中，若向量 ， ， ，求 的坐标；
(2)在 仿射坐标系中，向量 ，向量 . 求 在 方向上的投影向量；
(3)在 -仿射坐标系中，设 ，若 对任意实数 恒成立， 求 的取值范围.
19. 若在直三棱柱 中， ， ，点 是平面 上的动点.
(1)若点 在线段 上(不包括端点)，设 为异面直线 与 所成角，求 的取值范围;
(2)若点 在线段 上，求 的最小值；
(3)若点 . 在线段 上，作 平行 交 于点 ， 是 上一点，且满足 . 设 ,记三棱锥 的体积为 . 求 的最小值.
(答案) 2025-2026 学年莆田一中高一数学五一假期作业
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B B B C A D C B AC BC ABD
12. 13. 14.
15.(1)方法一:常规方法(辅助角公式)
由 可得 ,即 ,
由于 ,故 ,解得
方法二: 常规方法 (同角三角函数的基本关系)
由 ，又 ，消去 得到:
,解得 ,
又 ，故
(2)由题设条件和正弦定理
,
又 ,则 ,进而 ,得到 ,
于是 ,
由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，故 的周长为
16.(1)连接 ，由题可得 ，因为 ，
所以 ，
所以圆锥的表面积为 .
(2)因为 分别为 的中点，所以 ，
又因为 平面 ,
所以 平面 ,
劣弧 的长为 ，则 ，则 ，
因为 ，所以 为等边三角形，所以 ，
所以四边形 为平行四边形,所以 ,
又因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,
又因为 平面 ,
所以平面 平面 .
17.(1) 底面 是菱形， ，
.
,
. 同理， .
又 平面 平面 ,
平面 .
(2)连接 交 于点 ，则 是 的中点.
连接 ，则平面 ，平面 .
因为 平面 平面 ,
所以 .
所以点 为 的中点,所以 .
即当 时， 平面 .
证明: 当 时,点 为 的中点.
连接 交 于点 ,则 是 的中点.
连接 ，则 .
又 平面 平面 ,
所以 平面 .
又由(1)知 平面 ，
所以三棱锥 的体积 .
所以三棱锥 的体积 .
18.(1)由 ，设
由此 ;
即 ,可得 ,故 或 .
(2)因为 ，
所以 ,
故 在 方向上的投影向量
(3)因为 ，所以 ，
由 ,得 ,
所以 ,
即 对任意实数 恒成立,
又因为 ,所以 ,
解得 .
19.(1)在直三棱柱 中， ，作 交 于 ，连接 ， 则 (或其补角) 为异面直线 与 所成的角. 设 ，则 ， 由 ，得 ，则 ， ，
则 中, ,
所以 ,
令 ,所以 ,所以 .
(2)由 ，得 ，
将底面 翻折使得其与侧面 在同一平面上，且使矩形 与 在 两侧，
过点 作 于 ,交 于 ,则 ,
对任意点 作 于 ,连接 ,则 ,
则 ,
当且仅当 与 重合时取等号,
显然 ,
设 ,
从而 ,
在 Rt 中, ,即 ,
化简得 ,所以 ,即 ,所以 的最小值为 5 .
(3)由 ，得 ，所以 ，
又因为 平面 ,
所以 ,
因为当 时， ，
所以 ,
而当 时, ,当 时, ,所以 在 上的最小值为 0 .

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