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高三数学模拟卷一
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后. 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的)
1. 设全集 是小于 9 的正整数 ，集合 ， ，则(C) 内) B
A. B. C. D.
2. 已知向量 ,若 ,则
A. B. C. D.
3. 在复平面内,复数 对应的点的坐标是 ,则复数 的虚部是
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4. 设 是定义在 上且周期为 2 的奇函数,当 时, ,则
A. -1 B. 1 C. -7 D. 7
5. 已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ,且满足 成等差数列,则
A. 15 B. 17 C. 80 D. 82
6. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 在 的渐近线上, 与 轴垂直，点 在 轴上， . 若 ，则 的离心率为
A. B. C. 2 D.
7. 函数 所有零点的和等于
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
8. 在空间直角坐标系 中,点 ,定义 . 如图，正方体的棱长为5， . 平面 内两个动点 分别满足 ,则 的取值范围为
A. B. C. D.
二、选择题(本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分)
2. 已知函数 的部分图象如图所示，则
A.
B. 的图象关于点 对称
C. 的图象关于直线 对称
D. 在 上有且仅有一个极值点
10. 在平面直角坐标系 中,已知抛物线 的焦点为 ,准线为 . 过 的直线与 交于 两点,连接 并延长与准线 相交于点 与 轴交于 点,准线 与 轴交于点 ,则
A. B. 为锐角
C.
D.
11. 在棱长为 2 的正方体 中, 是棱 的中点, 为正方体 表面上的一动点 (含边界),则下列说法中正确的是
A. 过 的平面截该正方体所得的截面图形的周长为
B. 若 为棱 的中点，且 平面 ，则线段 的最小值为
C. 若 是正方形 内的一个动点,且满足 ,则动点 的轨迹是一条线段
D. 若 为棱 的中点，则四面体 外接球的表面积为
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 已知 ,二项式 的展开式中所有项的系数和为 64,则展开式中的常数项为_____.
13. 已知曲线 在 处的切线 与圆 相交于 两点,则 _____.
14. 已知数列 的通项公式是 为数列 的前 项和,当 时, _____; 若存在 ,使得 ,则 的最小值为_____.
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13 分)
在 中，内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)若 ，求 的值；
(2)求 的最大值.
16.(本小题满分 15 分)
如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 ，且 .
(1)求证: .
(2)若直线 与平面 所成的角为 ，请问在线段 上是否存在点 ,使得二面角 的大小为 若存在,请求出 的位置; 若不存在,请说明理由.
17.(本小题满分 15 分)
某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有 3 局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计. 具体规则如下:
游戏 I :抛掷质地均匀的相同硬币.
第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得 100 元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜, 得 500 元奖金; 第 3 局, 抛四枚, 向上的图案相同则获胜, 得 900 元奖金.
游戏 II 抛掷质地均匀的特殊骰子 (三组对面分别标记 0,2,6 的骰子).
第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得 300 元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得 600 元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是 (不计顺序)则获胜，得 900 元奖金.
(1)求游戏 I 第 2 局获胜的概率；
(2)若销售部门的 3 位员工均选择游戏 I ，设 为前两局均未获胜的人数，求 的分布列和数学期望；
(3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.
18.(本小题满分 17 分)
在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的离心率为 ,点 在 上, 为 的左、右顶点.
(1)求 的方程.
(2)过点 作直线与椭圆 交于两点 ， ( 在第一象限)，直线 ， 分别交 轴于 两点.
(1)试探究:是否存在常数 使得 若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由.
(ii)当 面积取最大值时,求出 的值.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 和 的定义域均为 ,其中 .
(1)求 的极值.
(2)若 ，使得 .
(i) 当 时，求 的取值范围;
(ii) 求证: .
高三数学模拟卷一参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C B A D B D A ACD ACD ACD
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1.C 因为 ,所以 ,又 ,所以 .
2. C 由向量 ,因为 ,可得 ,解得 ,
所以 ,则 ,所以 .
3. 由题意, ,则 ,所以复数 的虚部是 -1 .
4. A 因为 是定义在 上且周期为 2 的奇函数,
所以 ,所以 ,
因为当 时, ,所以 ,所以 .
5. D 设各项均为正数的等比数列 的公比为 成等差数列,
,解得 . 则 .
6. B 如图，不妨设点 在第一象限.
因为 与 轴垂直， ,且 ,
所以 ,
所以 点坐标为 ,所以 ,
所以 .
7. 由 ,解得 ,所以 的定义域是 . 由 两边平方并化简,得 ,
即 ，所以 表示以 为圆心，半径为 的半圆.
由 ,得 ,
的零点,也即 与半圆 的交点的横坐标,
与半圆 的图象都关于直线 对称,
画出 与半圆 的图象如图所示,
由图可知,两个函数图象有 6 个交点,且两两关于直线 对称,
所以 的零点和为 .
8. A 设 ,
点的轨迹为 .
又 ,则 ,
即 ,
化简得 点的轨迹为 .
在平面直角坐标系 中作出 轨迹,设 点轨迹与 轴两个交点分别为 , 点轨迹为圆,圆心为 ,半径 ,且与 轴两个交点分别为 ,如图所示, 结合图象得: ,
又 ,所以 .
二、选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分)
9. ACD 对于 : 由函数 的部分图象可知: ,
又因为 ,即 ,
结合函数的单调性可得 ,即 ,
所以 ,解得 ,所以 ,故 正确;
对于 ,故 错误;
对于 : 当 时,可得 ,
所以 的图象关于直线 对称,故 正确;
对于 D: 当 时, ,所以当 时,函数取到极小值,
相邻的两个极大值点分别为 和 ,均不在 的取值范围内,
故 在 上有且仅有一个极值点,故 正确.
10. ACD 设直线 的方程为 ，联立抛物线 ，
消去 ,得 ,于是 ,
由 解得 ,所以 .
对于选项 ,根据抛物线的定义: 抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离,
从而有 ,选项 正确;
对于选项 ,因为 ,所以 ,
从而 ,
则 必定为钝角，选项 B 错误；
对于选项 ,由 ,所以 为 的中位线,
从而 ,又 ,从而 ,选项 正确;
对于选项 ,过点 作准线 的垂线 ,垂足为 ,则 ,
所以 ,从而 ,选项 正确.
11. 在棱长为 2 的正方体 中,建立如图所示的空间直角坐标系，
则 , 2), ,
对于 ,取 中点 ,连接 ,则 ,
即 ,而点 ,因此 ,四边形 是过 的平面截正方体 所得的截面,
其周长为 ,故 A 正确;
对于 ,取 的中点 ,则动点 的轨迹为 (除去点 ),
所以线段 的最小值为 ,故 错误;
对于 ,由 是正方形 内的动点,设 ,
则 ,由 ,得 ,解得 ,
即点 ,动点 的轨迹是一条长度为 2 的线段,故 正确;
对于 ,点 ,设四面体 外接球的球心 ,球半径为 ,
则 解得 ,
因此四面体 外接球的表面积为 ,故 正确.
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 15 因为二项式 的展开式中所有项的系数和为 64,
所以 ,或 舍去,
二项式 的通项公式为 ,
令 ,所以展开式中的常数项为 .
13. 由 得 ,故 ,进而可得曲线 在 处的切线 的方程为 , 即 ,圆心 到直线 的距离为 ,
故 ,其中 为圆 的半径.
14. 6 16(第一空2分，第二空3分)当 ，即 时， ，不符合题意；
当 ,即 时,又 为偶数,所以 ,
即 ,解得 ;
综上,当 时, .
时， ，则数列 是周期数列，周期为 ，
所以 的正负,只需考查 即可,
时,奇数项构成首项 ,公差为 -2 的等差数列,
偶数项构成首项为 ,公比为 的等比数列,
当 时, ,
时, 时, ,
所以若存在 ,使得 ,则 ,故 的最小值为 16 .
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(1) 由正弦定理,得 ,
即 , 2 分
于是 ,
两边同时除以 ,得 , 4 分
又 ,
所以 . 6 分
(2)由正弦定理及余弦定理，得 . 9 分
又因为 ,
所以 , 11 分
当 ,即 时, 取得最大值 . 13 分
16.(1)连接 交 于点 ，
因为 ,则 . 1 分
由平面 侧面 ,且平面 侧面 ,
得 平面 , 3 分
又 平面 ,所以 . 4 分
三棱柱 是直三棱柱,则 底面 ,所以 .
又 ,从而 侧面 , 5 分
又 侧面 ,
故 . 6 分
(2)由(1) 平面 ，则 为直线 与平面 所成的角，
所以 ，又 ，所以 ， 7 分假设在线段 上存在一点 ,使得二面角 的大小为 ,
由 是直三棱柱,所以以点 为原点,以 所在直线分别为 轴, 以过 点和 垂直的直线为 轴,建立空间直角坐标系 ,
如图所示,则 ,
且设 ,
所以 , 9 分
设平面 的法向量为 ,由 ,
得 取 , 11 分
由(1)知 平面 ,所以平面 的一个法向量 , 12 分
所以 , 13 分
解得 ,
所以点 为线段 中点时,二面角 的大小为 . 15 分
17.(1) 由题意知,游戏 I 第 2 局获胜的概率 . 2 分
(2)易知 ,
游戏 I 第 1 局获胜的概率为 ,第 2 局获胜的概率为 ,
则第 1 局和第 2 局均未获胜的概率为 , 4 分
因此可知 ,
, 7 分
随机变量 的分布列为
0 1 2 3
125 -12 225 512 135 512 27 51
9 分
随机变量 的期望 或 . 10 分
(3)应该参加游戏 II ，理由如下:
记 分别为一次参加游戏 I, II 所获奖金总额,
游戏 I 第 1 局获胜的概率为 ,第 2 局获胜的概率为 ,第 3 局获胜的概率为 ,
, 12 分
游戏 II 第 1 局获胜的概率为 ，第 2 局获胜的概率为 ，第 3 局获胜的概率为 ，
, 14 分
,
从奖金期望角度来看,应选择参加游戏 II. 15 分
18.(1) 由已知, 解得
所以 的方程为 . 5 分
(2)(1)设过点 的直线为 ，
由 消去 得 ,
,
, 7 分
所以 , 8 分
由(1)知 ，
则直线 ,
直线 , 9 分
则 ,
所以存在 ,使得 . 10 分
( ii ) 法一: ,
11 分因为 ,所以 ,
, 13 分
因为 在第一象限,所以 ,
令 ,
令 ,解得 或 , 15 分
在 上单调递增,在 上单调递减,
所以当 时, 取最大值,所以 . 17 分
法二: ,
11 分
设 ,
所以 ， 13 分
令 ,
,
令 ,解得 或 , 15 分
因为 ,所以 ,
所以存在唯一的 ,使得 ,
且 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以当 时, 取最大值,所以 . 17 分
法三: 设 ,则 ,所以 ,
直线 ,
由 得 , 11 分
, 13 分
令 ,
令 ,解得 , 15 分
在 上单调递增,在 上单调递减,
所以当 时, 取最大值,
所以 . 17 分
19.(1) . 1 分
当 时， ，函数 单调递增，既无极大值也无极小值； 2 分
当 时, ,函数 单调递减, ,函数 单调递增,
函数 的极小值是 ,无极大值. 4 分
(2)(1)当 时，由 得 ，即 ，
令 ,则 . 6 分
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增, 7 分
时, ,
所以 ,即 ,
所以 或 . 9 分
(ii) 设方程 的正实数根为 ,
则 ,
即点 为直线 上一点， 表示点 到原点的距离,
显然,该距离不小于原点到直线 的距离,
即 ,即 , 12 分
不妨设 ,则 ,
所以函数 在 上单调递减,则 ,
即 , 13 分
又 ,则 , 14 分
设 ,则 ,
令 ,得 ,令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增, 16 分
则 ,即 . 17 分

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