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准考证号_____ 姓名_____
(在此卷上答题无效)
三明市 2026年普通高中高三毕业班质量检测 数学试题
本试卷共5页，满分 150 分.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将答题卡交回。
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若 ,则
A. B. i C. -1 D. 1
2. 已知集合 ,若 ,则实数 的取值范围为
A. B. C. I.
3. 已知 ,向量 在向量 上的投影向量为 ,则 的值为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4. 下列区间是函数 的一个单调递增区间的是
A. B. C. D.
5. 已知直线 与圆 交于 两点,当 的面积最大时，点 到直线 的距离为
A. B. C. 1 D.
6. 已知函数 的定义域为 ,且当 时, ,则 的值为
A. B. C. D.
7. 已知四棱锥 的底面为矩形， ，侧面 为正三角形且垂直于底面 , 为四棱锥 内切球表面上的一点,则点 到直线 CD距离的最小值为
A. B. C. D.
8. 已知函数 与 的图象关于直线 对称,函数 ,若方程 在区间 上有两解,则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列命题正确的是
A. 若样本数据 的平均数为 2,则数据 的平均数为 4
B. 根据小概率值 的独立性检验,当 时,可以推断两变量不独立,该推断犯错误的概率不超过 0.05
C. 在一组样本数据 不全相等 的散点图中,若所有样本点 都在直线 上,则这组样本数据的线性相关系数为
D. 若 ,则
10. 记 为数列 的前 项和，已知 ，则
A. 当 是等比数列时， 且
B. 当 时,
C. 当 时,数列 的前 项和为
D. 当 时,数列 中,第 5 项的值最大
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， (与点 不重合)是正方体侧面 内的动点,下列说法正确的是
A. 平面 平面
B. 若动点 到直线 的距离等于它到直线 的距离,则点 的轨迹为抛物线的一部分
C. 当 时,过点 作该正方体的外接球的截面,其截面面积的最小值为
D. 线段 绕 旋转一周的过程中, 与 所成角的正切值的取值范围为
三、填空题:本题共3小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式中 的系数为_____.(结果用数字表示)
13. 设椭圆 长轴的两个顶点分别为 点 为椭圆 上不同于 的一点,若 的三个内角 满足 ,则椭圆 的离心率为_____.
14. 定义:平面内，图形 上的所有点在直线 上的射影所组成的图形称为 在 上的射影. 若边长为 的正三角形在某一矩形的四条边所在直线上的射影长度之和为 8 , 则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
袋子中有 5 个大小质地完全相同的球, 其中有 2 个红球和 3 个白球, 从中随机摸出 2 个球.
(1)求摸到的两个球颜色相同的概率；
(2)用 表示摸出的球为白球的个数，求 的分布列及均值.
16.(15分)
已知锐角 的内角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若点 在 所在平面内,且满足 ,求 面积的取值范围.
17. (15 分)
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ，底面 为等腰梯形,且 ,且四面体 的体积为 .
(1)求 的值；
(2)若 为 的中点，过点 ， 的平面 与 平行，交 于点 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知函数 .
(1)若函数 有两个零点，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求证: ；
(3)若 ，关于 的不等式 恒成立，求 的最大值.
19. (17分)
在平面直角坐标系 中, 是一个动点, 与直线 垂直,垂足 位于第一象限， 与直线 垂直，垂足 位于第四象限，若四边形 的面积为 2 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)直线 与曲线 交于点 在 的上方 ，过点 分别作 的平行线,交于点 ,过点 且斜率为 2 的直线与曲线 交于点 在 的上方),再过点 分别作 的平行线,交于点 ,这样一直操作下去,可以得到一列点 .
证明: 共线;
② 为定值, .
三明市 2026 年普通高中高三毕业班质量检测 数学参考答案及评分细则
评分说明:
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半: 如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分.
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4. 只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一、选择题: 本大题考查基础知识和基本运算. 每小题 5 分, 满分 40 分.
1. C 2. D 3. D 4. B 5. D 6. B 7. A 8. B
二、选择题: 本大题考查基础知识和基本运算. 每小题 6 分, 满分 18 分. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. BD 10. ACD 11. ABD
三、填空题: 本大题考查基础知识和基本运算. 每小题 5 分, 满分 15 分.
12. 240
13. 14.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解:(1)设事件 “摸到的两个球颜色相同”，事件 “摸到的两个球为红球”,事件 “摸到的两个球为白球”,则 .2 分
因为 互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得
.6 分
(2) 的可能取值为 0，1，2 7 分根据古典概型的知识可得
的分布列如表所示.
0 1 2
3 5
11 分
的均值为 13 分
16. 解法一:(1)因为 ，由余弦定理，得 1 分
整理得
.3 分
则 , .5 分
因为 ,所以 .6 分
(2)因为 ，所以
即 ,故 .
所以 为 的垂心. 8 分
连接 并延长交 于点 ,连接 并延长交 于点 ,则 .
在四边形 中,由
,得
,则 , 9 分
在 中,设 ,则 , 由正弦定理, 得
所以 , 10 分
则 12 分
因为 ,所以 , .13 分
所以 ,所以 .
即 面积的取值范围为 .15 分
解法二: (1) 因为 ,所以 , 1 分由正弦定理,得
, .2 分
即 , .4 分
整理,得 .4 分
因为 ,所以 ,即 , 5 分
因为 ,所以 . .6 分
(2)因为 ，所以 ， ， 即 ,故 .
所以 为 的垂心. 8 分
连接 并延长交 于点 ,连接 并延长交 于点 ,则 .
在四边形 中,由
,得
,则 9 分
在 中,由余弦定理,得
10 分
所以 , 11 分
得, ,当且仅当 时,等号成立, 12 分
所以 , 13 分
又 , 14 分
故 面积的取值范围为 15 分
17. 解法一:(1)在平面 中，过点 作 的垂线，垂足为 ，
因为平面 平面 ,
2 分
平面 平面 ,
平面 ,
所以 平面
在梯形 中,过点 作 ,垂足为 ,
则 ,故 ,
所以 ,解得 . .4 分
在 中,过点 作 ,垂足为 ,则 ,
因为 ,所以 . 所以 6 分
因为 ,
所以 ,
所以 . 7 分
(2)由(1)知 点即为 点， 为线段 上靠近 的一个三等分点，在线段 上取一点 ,使 .8 分因为 ,所以 ,
又因为 平面 平面 ,所以 平面 .9 分取 的中点 ,连接 ,则 ,
由(1)知 平面 ，所以 ， ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 10 分
则 11 分
所以 ,因为 .
.12 分
设平面 的法向量为 ,则
所以
所以
取 ,则 .
所以, 是平面 的一个法向量. 13 分
因为 平面 ,所以平面 的一个法向量为 .
14 分
设平面 与平面 的夹角为 ,则
即平面 与平面 角的余弦值为 . 15 分
解法二: (1) 同解法一 .7 分
(2)由(1)知 点即为 点， 为线段 上靠近 的一个三等分点，在线段 上取一点 ,使 .8 分
因为 ,所以 ,
又因为 平面 平面 ,所以 平面 9 分
连接 ,则 ,又 ,所以四边形 为菱形.
在线段 上取点 ,使得 ,连接 ,则 ,由 (1) 知 平面 ,所以 平面 ,因为 平面 ,所以 .
在平面 内过点 作 ,交 的延长线于点 ,则 为菱形 边上的高. 连接 ,则 平面 ,所以 ,所以 为二面角 的一个平面角 12 分
在菱形 中, ,所以 边上的高为
,即 ,
13 分
14 分
又 ,
所以 ,
所以 .
所以平面 与平面 角的余弦值为 . 15 分
18. 解法一: (1) 的定义域为 ,令 ,即 ,即 .
令 ,则 1 分
(i) 当 时, ,则 在 上单调递增, 至多有一个零点, 不合题意, 舍去. .2 分
(ii) 当 时,令 ,解得 . 当 时, , 在 上单调递增; 当 时, 在 单调递减. 所以 在 处取得最大值,最大值为 .3 分
① 当 时，由于 ，故 只有一个零点；
② 当 时，由于 ，故 没有零点；
③ 当 时， ，即 ，又 时， ； 时, . 所以 在 上有一个零点,在 上有一个零点,故 在 上有两个零点. .4 分
综上,实数 的取值范围为 . .5 分
(2)因为 ，所以 ，
故要证 ,只需证 ,即证 , .6 分
令 ,则 ,
.7 分
令 ,则 ,当 时, 在 上单调递减; 当 时, 在 上单调递增, 故 ,即 .8 分
因此当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调递增,所以当 时, 取得最小值,最小值为 . .9 分
所以 ,即 .
故 10 分
(3) 时， 恒成立，
即 恒成立,即 恒成立.
11 分
设函数 ,则 恒成立,
(i) 当 时,因为函数 在 上均为减函数,所以函数 在 上单调递减.
且当 时, ,与题意不符. .13 分
(ii) 当 时, ,令 ,则 . 当 时, 在 上单调递增; 当 时 在 上单调递减. 所以当 时, 取得最大值,最大值为 14 分依题意, ,即 , 所以 , 15 分
令 ,则 ,当 时, , 在 上单调递增; 当 时, 在 上单调递减. 所以当 时, 取得最大值,最大值为 .
故 16 分
所以 ,当 时,等号成立.
综上所述， 的最大值为 17 分
解法二: (1) 的定义域为 ,令 ,即 ,即 ,即 . 1 分
设 ,则 . 令 ,则 . 当 时, 在 上单调递增; 当 时, 在 单调递减. 所以 在 处取得最大值,最大值为 .
又 ,当 时, 时, .
画出 的大致图象如图所示.
3 分
函数 有两个零点,等价于函数 的图象与直线 有两个交点.
由图象可得,实数 的取值范围为 5 分
(2)因为 ，所以 ，故要证 ，只需 ,即证 ,即证 .7 分
令 ,则 . 令 ,则 ; 令 , 则 . 所以 在 上单调递减,在 上单调递增. 故 在 处取得最小值,最小值为 8 分
令 ,从而只需证 .
令 ,则 ,因为 ,所以 恒成立,所以 在 上单调递增,故 ,所以 ,从而 成立. 10 分
(3)同解法一 17 分
19. 解: (1) 设 ,由 与 垂直,得四边形 是矩形, 1 分故 ,即 ,整理得 , 3 分因为 两点分别在第一、四象限,所以动点 的轨迹 的方程是: 4 分
(2)证明①:设斜率为 2，与曲线 相交于 两点的直线方程为 ,其中 ,
联立方程 消去 可得 , 5 分
因为该方程有两个正根,所以 解得 , .6 分
根据韦达定理: , .7 分
直线 的方程为 ,又 , 故 ,
直线 的方程为 ,又 ,故 , .8 分
联立方程 两式相加得
代回方程组得 , .9 分
于是, ,
故 都在直线 上,所以 共线. .11 分
证明②: 设 坐标为 ,则直线 方程为 ,
故①中 ， 12 分
所以 , .13 分又 ,
于是, , .14 分
, 16 分
所以 .
故 为定值, . .17 分

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