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高 三 数 学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知全集 ,集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 已知复数 满足 ,则 的虚部为
A. -2 B. C. 2 D.
3. 已知 ,则
A. B. C. D.
4. 将函数 的图象向右平移 个单位长度,所得图象关于原点对称, 则 的最小值为
A. B. C. D.
5. 已知双曲线 的一条渐近线与直线 平行,且双曲线 过点 ,则双曲线 的实轴长为
A. B. 2 C. D.
6. 2022 年北京冬奥会的“雪如意”跳台滑雪中心的赛道可抽象为如下几何模型:底面是边长为 2 的正三角形 的三棱锥 ,其中 平面 . 施工人员需要在 上取中点 ，在 上取中点 ，搭建辅助支撑钢架 ，则直线 与 所成角的余弦值为
A. B. C. D.
7. 已知平面向量 满足 ,且 ,若向量 满足 , 则 的最小值为
A. B. C. D.
8. 已知定义在 上的可导函数 满足 恒成立,且 ,则不等式 的解集为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某班级有 30 名男生、20 名女生, 共 50 名学生参加数学单元测验, 满分 100 分. 下列说法正确的有
A. 若按性别采用分层抽样抽取容量为 10 的样本分析数学成绩, 则需要抽取 4 名女生的成绩
B. 若数学成绩的众数为 75 , 中位数为 80 , 则数学平均成绩一定高于中位数
C. 若男生数学成绩的方差为 12，女生数学成绩的方差为 8，则女生的数学成绩比男生的数学成绩更稳定
D. 若将所有学生的数学成绩都加 10 分，则平均分增加 10 分，方差也增加 10
10. 已知抛物线 的焦点为 ，过 作斜率不为 0 的直线 交抛物线 于 ， 两点，下列说法正确的有
A. 若直线 的倾斜角为 ,则
B. 的最小值为 8
C. 以线段 为直径的圆恒与 轴相切
D. 若 为 的准线与 轴的交点,且 ，则直线 的斜率为
11. 已知定义在 上的奇函数 满足对任意实数 ，都有 ，且当 ， 1]时, ,则
A. 是周期为 4 的周期函数
B.
C. 在 上单调递增
D. 的图象关于直线 对称
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 的展开式中, 的系数为_____▲_____.
13. 在 中,角 的对边分别为 ,已知 ,则 的面积为_____▲_____， _____▲_____.
14. 已知平面 平面 ,交线为 为 上的两点, ,且 ,若 ，则三棱锥 - 的外接球的表面积为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
已知等差数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
16. (15分)
如图，直四棱柱 的底面为菱形， 为棱 的中点.
(1)证明: 平面 .
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (15分)
小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球, 这 4 人只打羽毛球或乒乓球, 不打其他球, 同一天中每人最多打一种球,且小张和小李既打羽毛球又打乒乓球,小王只打羽毛球,小周只打乒乓球. 在雨天的情况下,小张、小李、小周打乒乓球的概率均为 0.3 ,小张、小李、小王打羽毛球的概率均为 0.3 ; 在晴天或阴天的情况下,小张、小李、小周打乒乓球的概率均为 0.4 ,小张、 小李、小王打羽毛球的概率均为 0.5 ; 在其他天气这 4 人不打球. 已知周日出现晴天或阴天的概率为 0.5 , 出现雨天的概率为 0.1 . 假设这 4 人打球的选择相互独立、互不影响.
(1)求小张周日打羽毛球的概率；
(2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这 4 人中打乒乓球的人数不少于 2 的概率；
(3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这 3 人中当天打球的人数为 ，求 的数学期望.
18.(17分)
巳知函数 .
(1)证明，当 时， .
(2)讨论 的零点个数.
19.(17分)
已知椭圆 经过点 ，且 的长轴长与短轴长之比为 .
(1)求 的方程.
(2)已知点 ，过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点， ， 分别为 ， 的中点，且 .
(1)若 与 重合,求 .
(II)判断直线 是否过定点. 若是,求出该定点; 若不是,请说明理由.
高三数学参考答案
1.B 因为 ，所以 .
2. A 因为 ,所以 ,所以 的虚部为 -2 .
3. 因为 ,所以 .
4.C 将 的图象向右平移 个单位长度后,得到函数 的图象,因为 是奇函数,所以 ,所以 . 因为 ,所以 的最小值为 .
5.C 因为直线 的斜率为 2,所以双曲线 的渐近线 与其平行,所以 2,即 . 因为双曲线 过点 ,所以 ,解得 ,所以双曲线 的实轴长 .
6.D 取 的中点 ,连接 (图略). 因为 是 的中点,所以 ,且 . 因为 是 的中点,所以 ,且 ,所以 (或其补角) 即为 和 所成的角. 因为 平面 ,所以 平面 ,所以 ,所以 ,故 .
7. 由 ,且 ,可设 . 设 ,因为 ,所以 ,整理得 ,即 的轨迹是圆心为 ，半径为 的圆. 的最小值即为原点到圆上点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径,故 的最小值为 .
8. A 令 ,则 .
因为 ,所以 ,所以 在 上单调递增.
因为 ,所以 ,所以当 时, ,即 的解集为 .
9. 女生占总人数的 ,因此抽取的 10 人中,女生的人数为 ,所以 正确. 众数是出现次数最多的数, 中位数是数据按从小到大或从大到小的顺序排列后处于中间位置的数, 平均数受所有数据的影响, 三者没有必然的大小关系, 所以 B 错误.
方差是衡量数据波动程度的统计量, 方差越小, 数据越稳定、越整齐. 女生数学成绩的方差 8 小于男生数学成绩的方差 12，因此女生的数学成绩更稳定，所以 C 正确.
所有数学成绩同步加 10 分后, 平均分增加 10 分, 但方差反映数据的离散程度, 整体加减不会改变数据的波动幅度, 因此方差不变, 所以 D 错误.
10. ABC 抛物线 的焦点为 ,若直线 的倾斜角为 ,则直线 的方程为 1),与 的方程联立得 ,所以 ,因为 ,所以 ,故 A 正确. 设直线 的方程为 ,与 的方程联立得 ,则 ,因为 ,当 时,等号成立,所以 ,最小值为 8,故 正确. 以 为直径的圆的圆心为 的中点,横坐标为 . 因为 ,所以圆的半径 ,恰好等于圆心到 轴的距离,因此该圆恒与 轴相切,故 正确.
易知 ,若 ,则 ,所以 . 结合选项 B 的解析,可知 ,所以 ,解得 ,即直线 垂直于 轴,斜率不存在,故 错误.
11. ABD 因为 是奇函数，所以 . 因为 ，所以 ,所以 ,因此 是周期为 4 的周期函数, 故 A 正确.
因为 时, ,所以 ,所以 . 因为 是定义在 上的奇函数,所以 . 因为 的周期为 4,所以 . 因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,故 B 正确.
因为 ,所以 ,即 ,所以 的图象关于直线 对称,故 正确.
当 时, ,因为 时, ,所以 . 因为 的图象关于直线 对称,所以 ,在 上单调递减，故 C 错误.
12.20 的展开式的通项 ,令 ,则 3，所以 的系数为 .
13. 因为 ，所以 . 因为 ，所以 的面积为 . 因为 ，所以 ,所以 .
14. 由 ，根据面面垂直的性质定理， 平面 ，因此 ，同理 ， 故 平面 . 因为 ,所以可将三棱锥 补成一个棱长为 1 的正方体,三棱锥 的外接球与正方体的外接球完全相同. 正方体的体对角线长度为 ,即外接球的直径 ,故 ,所以三棱锥 外接球的表面积 .
15. 解: (1) 设等差数列 的公差为 . 1 分
因为 ,
所以 解得 4 分
所以 的通项公式为 . 6 分
(2)因为 ，
所以 . 7 分
因为 , 8 分
所以两式相减得
, 11 分
故 . 13 分
16.(1)证明:连接 ,交 于点 ,连接 . 1 分
因为底面 为菱形,所以对角线 与 互相平分,所以 是 的中点. 3 分因为 为棱 的中点,所以 是 的中位线,所以 . 5 分因为 平面 平面 ,所以 平面 . 6 分
(2)解:如图，以(1)中的 为原点， ， 的方向分别为 ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系. 7 分
因为 ,
所以 .
9 分
设平面 的法向量为 ,因为 ,
所以 令 ,则 .
11 分
取 的中点 ，连接 . 因为 为等边三角形，所以 .
因为平面 平面 ,且平面 平面 ,
所以 平面 ,即 为平面 的一个法向量. 13 分
因为 ,所以 .
因为 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
17. 解: (1) 设小张周日打羽毛球为事件 ,
则由全概率公式可得 ,
故小张周日打羽毛球的概率为 0.28 . 3 分
(2)设某个周日是晴天或阴天，当天这 4 人中打乒乓球的人数不少于 2 为事件 ，
则 ,
故当天这 4 人中打乒乓球的人数不少于 2 的概率为 0.352 . 7 分
(3)因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为 ， 9 分
在雨天的情况下,小王、小周打球的概率均为 0.3 . 10 分
(方法一) 在雨天的情况下,设小李、小王、小周打球 (打球记为 1 ,不打球记为 0 ) 的人数分别为 ,所以 , 12 分
则 , 故 的数学期望为 1.2 . 15 分
(方法二) 的可能取值为0,1,2,3,
则 , 11 分
, 12 分
13 分
14 分
则 ,故 的数学期望为 1 . 15 分
18.(1)证明:当 时， ， 1 分
,当且仅当 ,即 时,等号成立, 2 分
所以 在 上单调递增. 3 分
又 ,所以当 时, ,即 . 4 分
(2)解:因为 ，所以 为 上的奇函数. 5 分
. 当 时， ， 在 上单调递增.
又 ，所以 的零点个数为 1 . 8 分
当 时,令 ,即 ,设 ,则 ,即 ,解得 ,即 .
又因为 ,
所以 ,即 , 11 分
则当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
所以 . 14 分
又因为当 时, ,当 时, ,所以 的零点个数为 3 .
综上,当 时, 的零点个数为 1,当 时, 的零点个数为 3 . 17 分
19. 解: (1) 设 ,得 ,则 的方程为 . 1 分
因为 经过点 ，所以 ，得 . 3 分
故 的方程为 . 4 分
(2)(i)设 ， ，由 5 分
得 , 6 分
得 ,则 . 7 分
故 . 8 分
(ii) 直线 . 由 ,得 . 9 分由 得 , 10 分则 11 分
因为 ,所以 的坐标为 .
同理 的坐标为 . 12 分
又 , 15 分
所以直线 的方程为 16 分
因为 ,所以直线 过定点 . 17 分

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