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重庆市 2026 届高考模拟调研卷(五) 数学试题
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知 为虚数单位,在复平面内复数 对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 若随机变量 之间存在回归方程 ,则
A. 正相关 B. 负相关
C. 一定有样本点 D. 一定没有样本点
3. 在平面中,已知直线 不同时为零 不同时为零),则 是 的
A. 充要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若集合 ,则
A. B. C. D.
5. 假设在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 (单位: )和燃料的质量 (单位: )、火 箭 (除燃料外) 的质量 (单位: ) 的函数关系是 ,若取 ,要使火箭的最 大速度达到 ，燃料质量是火箭质量的大约
A. 5.6倍 B. 6.4倍 C. 7.5倍 D. 8.8 倍
6. 正项等比数列 为其前 项和,已知 为方程 的两根,则
A. 2069 B. 2070 C. 4048 D. 4049
7. 已知正四棱台 ， ，则该四棱台的外接球表面积为
A. B. C. D. Убт
8. 已知 ,则
A. 16 B. 30 C. 32 D. 60
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6 分, 部分选对得部分分, 有选错得0分。
9. 已知随机变量 均服从正态分布,它们的密度函数曲线大致如图所示,则以下说法正确的是
A.
B.
C.
D.
10. 已知角 的始边为 轴的非负半轴,终边过点 ,则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
11. 抛物线 的焦点为 ，坐标原点为 为抛物线上的两个动点，且满足 ,设 到 轴的距离分别为 ,则以下说法正确的有
A. 直线 过点
B.
C. 的最小值为 2
D. 当 取最小值时,
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知角 满足 ，则 _____.
13. 某商场为回馈顾客举行抽奖活动，规则如下:消费每满 500 元可参与抽奖一次，每次可随机抽取盲盒一个， 每个盲盒内有一个小球，颜色可能是黑色、白色或灰色，集齐三种颜色的小球即可获得一个高压锅奖品. 小陈共消费了2300元，则他能参与抽奖活动从而获得高压锅奖品的概率为_____.
14. 已知 且 ,若对任意的 ,不等式 恒成立,则 的最小值为_____
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
设函数 满足 恒成立.
(1)求 的值；
(2)求证: .
16. (15分)
已知 中,内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 的角平分线与 交于点 ，且 ，求 的最小值.
17. (15分)
某乒乓球比赛采用 “三局两胜制”. 现有甲、乙两位选手参加比赛，假设每局比赛结果相互独立. 已知每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 .
(1)求甲最终赢得比赛的概率；
(2)若已知比赛进行了三局才结束, 求甲是最终获胜者的概率；
(3)比赛中有“赛点”概念:当某位选手再赢一局即可获得整场比赛胜利时，称该选手拥有“赛点”. 据统计，当选手拥有 “赛点” 时，由于其心理压力等因素，其在该局获胜的概率会比其常规单局获胜概率下降 10 个百分点 (例如, 若常规胜率为 60%, 则拥有 “赛点” 时胜率为 50%). 考虑 “赛点” 效应时,记 为比赛的总局数,求 的分布列及数学期望 . 并简要分析此 “赛点” 效应使 相比于不考虑 “赛点” 效应时是增大还是减小.
18. (17 分)
如图，在四面体 中， 与 间的距离为 (即与 、 同时垂直相交的线段长为 )，且 .
(1)求证: ；
(2)若这个四面体被平行于棱 、 的平面 截成两部分， 设 、 到平面 的距离比为 ，求证:这个四面体被平面 分成的两部分 (棱 和 交四面体组成的五面体与棱 CD 和 交四面体组成的五面体) 的体积比是 .
19. (17 分)
已知点 在圆 上运动，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足条件 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)在点 的轨迹 上存在两点 、 ，使得以 为直径的圆恰与 交于点 ，过点 作直线 的垂线,垂足为 .
(i) 求点 的轨迹方程;
(ii) 当点 在点 左侧时,若 是 上一点,直线 与 关于直线 对称,是否存在圆 : 使得直线 始终与该圆相切. 若存在,求 ; 若不存在,说明理由.
数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
D A A C B A C B ABC AC ACD 4 9 4
15. (13 分)
解: (I) 恒成立: 故 (必要条件);
验证充分性: ; 令 得 ,令 得 ;
故 在 上单调递减,在 上单调递增,故 ,即 恒成立; 综上所述: . 6 分
(2)由(1)知 恒成立，故 ；
又 ,故 ,即 . 13 分
16.(15分)
解: (I) :
根据正弦定理 ,可得 ,
将其代入已知等式: ，
化简得: ，
再由余弦定理 ,代入上式得: ,
因为 ,所以 .
(2)因为 的角平分线与 交于点 ，所以 ，因为 ， 所以 ,故 ； 11 分所以 , 当且仅当 ,即 时,等号成立: 故 的最小值为 . 15 分
17. ( 15 分)
解: 设 表示第 局甲赢, 表示比赛进行了两周, 表示比赛进行了三局, 表示最终甲赢得比赛,
(1) 有 ,
所以 ; .4 分
(2) ,
所以 : 8 分
(3)若考虑 “姿点”，记比赛总局数为 ，则 ，
所以 的分布列为
2 3
21 50 29 50
故 ,
若不考虑 “姿点”,记比姿总局数为 ,
则 ,
则有 ，所以 “赛点” 效应使得 相比于不考虑 “赛广 ” ， “君以 人
18.(17分)
解: (1) 取 中点为 ,连接 ,因为 ,所以 , 又因为 ,所以 平面 ,因为 平面 , 所以 ,因为 为中点,所以 . 6 分
(2) 与 间的距离为 为 的高，所以其面积为 ，
由 (1),四面体的体积 ,
设平面 与四面体 各棱交于点 ，
由( 1 )可知，四边形 EFGH 是矩形， 10 分
设 到平面 的距离分别为 ,
所以 ,由 ,所以 ,
多面体 CDEFGH 的体积可以分为中间的三棱柱和两边的三棱锥, 整理后,
其体积 ,
则另一部分的体积 ,所以 . 17 分
19. (17分)
解: (1) 设 ,由 ,
所以有 ,则有 ,又 ,所以有 , 所以点 的轨迹 的方程: ; 5 分
(2)(i)当直线 的斜率存在时,设直线 ，
联系 ,则 ,
由题意， ，即 ，
,若入化简得 ,
所以有 ,
若 ，则直线 ，所以直线 过定点 ，
若 ,则直线 ,过点 ,不合题意,
所以直线 过定点 ,
当直线 的斜率不存在时, ,
由 有 ,得 (舍),
综上,直线 过定点 ,
由题意， ，所以 在以 为直径的圆上，故 的轨迹为 ；
11 分
(ii) 设直线 的斜率为 ,当 时,直线 斜率为 ,直线 斜率为 , 由题意知 ,所以 ,设直线 的斜率为 ,要使 与该圆相切,则满足直线 与 的夹角等于直线 与 的夹角,所以 ,
,因为 ,所以 或 ,
当 时, ,有 : 当 时,同理有 .
当 时, 与 重合, 和 满足题意,所以 或 3 . 17 分

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