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2026 届高三命题趋势预测(一) 数学试题
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为 120 分钟, 满分 150 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数 满足 ( 为虚数单位),则
A. B.
C. D.
2. 已知集合 ,则
A. B.{2} C. D.
3. 有 8 位评委给一名考生打分，满分为 100 分. 将 8 位评委的打分从低到高排列为 36,42， 51,60, 若这 8 个分数的极差等于中位数，则该组数据的第 60 百分位数是
A. 62 B. 63 C. 64 D. 65
4. 已知圆 ，直线 ，过直线 上的点 作圆 的切线 ( 为切点),则 的最小值为
A. B. C. 2 D. 4
5.某文艺演出共有六个节目，其中节目甲须被安排在前两个节目演出，节目乙、丙必须前后出场，则这六个节目不同的安排方法共有
A. 68 种 B. 72 种 C. 84 种 D. 96 种
6. 已知 的内角 的对边分别为 ,且 的平分线 与边 交于点 ,则
A. B. C. 2 D. 4
7. 已知函数 的最小值为 -10，则实数 的值是
A. -6 B. -4 C. -1 D. 4
8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线 在第一象限内的一点, 为 轴上的点, 垂直于 轴, ,且 为平面直角坐标系内一点,满足 ,则双曲线 的离心率为
A. B. 2 C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 如图，在正方体 中， ， ， 分别为 ， 的中点，则下列结论正确的是
A. 若平面 平面 ,则
B. 平面
C. 异面直线 与 所成的角为
D. 四棱锥 的体积为 8
10. 已知函数 ,则下列结论正确的是
A. 直线 是函数 的图象的一条对称轴
B. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数, 则 的最小值为
C. 函数 在区间 上有 3 个零点
D. 函数 在区间 上单调递增
11. 已知函数 若函数 有三个互不相等的零点 ,且 ,则下列结论正确的是
A. 实数 的取值范围是
B. 的单调递减区间为
C.
D. 函数 有 4 个零点
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知函数 ,且 在 上恒成立,则实数 的最小值为_____.
13. 已知一个随机试验中有两个事件 ，且 ，则 _____.
14. 如图，在四边形 中， ，且 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13 分) 已知李明每次投篮命中的概率都为 .
(1)若李明投篮 3 次，且李明投篮命中的次数为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)若李明与王俊进行投篮比赛，两人各投 3 次，王俊每次投篮命中的概率都为 ，且两人之间投篮互不影响，求李明比王俊投篮多命中 2 次的概率.
16. ( 15 分)已知数列 的前 项和为 ， ，且 .
(1)求数列 通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，且 ，求满足不等式 的最大整数 .
17.(15 分) 如图,在三棱台 中, 平面 , 为 的中点, ,且 .
(1)证明: 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.(17 分)已知定点 ， ，点 到点 的距离，即 ，且线段 的垂直平分线与线段 交于点 ,动点 的轨迹为 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)若斜率存在的直线 过点 且与轨迹 交于 两点， 与 的平分线交于点 ,且点 到直线 的距离为 ,求直线 的方程.
19.(17 分) 已知函数 .
(1)若函数 在 上单调递增，且 ，求角 的值;
(2)若 ，且 ，使得 ，求实数 的取值范围.
2026 届高三命题趋势预测(一) 数学参考答案及评分意见
1.A 由 ,得 ,
. 故选 A.
2.C ,
. 故选 C.
3.C : 数据 共有 8 个,为偶数个, 中位数是中间两个数 60 和 的平均数,即为 . 极差是最大值 98 减去最小值 36,即极差为 这 8 个分数的极差等于中位数, ,解得 这组数据为36,42,51,60,64,73,87,98. 计算 第 60 百分位数是第 5 个数,即 64. 故选 C.
4.C 直线 圆心 到直线 的距离为 .
又 为切线长,而 ,
当 取最小值 时, 的值最小,此时 . 故选 C.
5.C ∵节目甲被安排在前两个节目演出, 可分两种情况讨论: ① 节目甲被安排在第一个节目演出, 节目乙、丙必须前后出场，二可以把节目乙、丙当成一个整体，则此时共有四个元素全排列，有 种安排方法，而节目乙、丙须考虑两者的顺序,有 2 种情况,则有 种安排方法; ②节目甲安排在第二个节目演出, 节目乙、丙必须前后出场, 二. 可以把节目乙、丙当成一个整体, 则节目乙、丙前后出场的位置有 3 个, 且须考虑两者的顺序,有 2 种情况,将剩下的 3 个节目全排列,安排在其他三个位置,有 种安排方法,则此时有 种安排方法. 因此共有 种安排方法. 故选 C.
6.A 的平分线 与边 交于点 ，
,整理得 .
,即 ,
解得 或 (舍去). 故选 A.
7.B 设 ,则 ,函数 等价于函数 .
令 ,则该函数的图象开口向上,对称轴为直线 .
当 ,即 时, 在 上单调递增,此时无最值,不满足题意;
当 ,即 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,
或 (舍去). 故选 B.
8.D . 将其代入双曲线 的方程，得 . 设 ,则 .
设 ,解得 ,即 .
,即 ,得 ,
即 ,整理可得 ,
,解得 或 ,即 . 故选 D.
9.ACD 对于 分别为 的中点, . 又 平面 平面 .
又 平面 平面 平面 . 又 ,故 A 正确. 对于 ,设 的中点为 ,连接 ,则 .
不满足勾股定理,
与 不垂直,则 与平面 不垂直. 与平面 不垂直,故 错误. 对于 ,而 为等边三角形,
,即异面直线 与 所成的角为 ,故 正确.
对于 四棱锥 的高为 ,
四棱锥 的体积为 ,故 D 正确. 故选 ACD.
10. ABD . 对于 ,
直线 是函数 的图象的一条对称轴,故 正确.
对于 ,将函数 的图象向左平移 个单位长度后所得函数为
要使 为奇函数,
则 . 当 时, 取最小值 ,故 正确.
对于 ,当 时,令 ,则 ,
当 时,则 ,当 时,则 ,
当 为其他整数时, 在区间 上只有 2 个零点,故 C 错误.
对于 ,当 时,则 .
函数 在 上单调递增,
函数 在区间 上单调递增,故 正确. 故选 ABD.
11.BCD 作出函数 的大致图象,如图.
对于 函数 有三个互不相等的零点,
函数 与 的图象有三个不同的交点. 结合图象可得 ,故 A 不正确.
对于 ,由函数 的图象可知其单调递减区间为 ,故 正确.
对于 ,由函数 的图象可知 ,且 ,
,即 ,故 正确.
对于 ,设 ,则 . 令 ,由函数 的图象,得 或 .
当 时,即 ,则 ,解得 ;
当 时,即 ,所以 或 ,解得 ,或 或 ,
函数 有 4 个零点,故 D 正确. 故选 BCD.
12. -3 当 时, ,当且仅当 时等号成立, . 又 ,即 实数 的最小值为 -3 .
13. .
又 .
14. . 以 为坐标原点， 所在直线为 轴,过点 且垂直于 的直线为 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则 .
,
.
,整理得 .
,且 ,
,整理得 .
15. 解:(1)由题意， 的所有可能取值为 0,1,2,3, 1 分
5 分
的分布列为
0 1 2 3
27 64 27 64
. 7 分
(2)设“李明比王俊投篮多命中 2 次”为事件 ，“李明投篮命中 2 次且王俊投篮命中 0 次”为事件 ，“李明投篮命中 3 次且王俊投篮命中 1 次”为事件 , 9 分
则 ,
李明比王俊投篮多命中 2 次的概率为 . 13 分
16. 解: (1) . 2 分
又 , 4 分
数列 是首项为 ,公比为 3 的等比数列. 5 分
,即 . 7 分
(2) , 9 分
. 12 分
显然数列 单调递增, , 14 分
满足不等式 的最大整数 为 7 . 15 分
17.(1)证明: 该几何体为三棱台，且 .
又 为 的中点, 四边形 为平行四边形,
,又 . 3 分
平面 平面 . 4 分
平面 ,且 为相交直线,
平面 . 6 分
(2)解:由(1)知， 平面 平面 .
平面 平面 ,即 两两垂直.
以 为坐标原点,以 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ,
. 8 分
设平面 的法向量为 ,
则 即
令 ,则 . 10 分
设平面 的法向量为 ,
则 即
令 ,则 . 12 分
,
平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
18. 解: (1) 线段 的垂直平分线与线段 交于点 , 1 分
,
由椭圆的定义,动点 的轨迹是以 为焦点,长轴长为 4 的椭圆.
, 4 分
动点 的轨迹 的方程为 . 5 分
(2)设 ， 直线 的斜率存在时， 设直线 .
与椭圆方程联立,得 消去 ,整理得 . 7 分
直线 过椭圆内的定点 均能保证 ,
则 . 9 分
与 的平分线交于点 点 到 的距离均为 , 10 分
的面积为 ,
,即 . 12 分
又 ,
,整理得 ,
即 ,解得 , 15 分
直线 的方程是 或 ,即 或 .
综上,直线 的方程是 或 . 17 分
19. 解: (1) ,
. 2 分
在 上恒成立,且当 时, ,
在 上恒成立,即 . 4 分
. 5 分
又 . 7 分
(2) ,
则 .
. 9 分
若 ,使得 ,
① 当 ，即 时， 在 上单调递增，
则须 ，即 . 11 分
② 当 时，即 在 上单调递减，
则须 ,即 .
③ 当 时，即 . 13 分
设 ,则 . 由于 ,
该抛物线开口向上,顶点在 轴下方,方程 有两个根.
又 存在 ,使得 ,
即当 ; 当 时, ,
在 上单调递减在 上单调递增.
,
解得 . 16 分
综上,实数 的取值范围是 . 17 分

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