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2026 届高三毕业生第二次模拟考试 数学试卷
本试卷分第 1 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 第 I 卷第 1 页至第 3 页， 第 II 卷第 3 页至第 6 页. 考试结束后, 请将答题卡交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
第 1 卷(选择题，共 58 分)
注意事项:
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、 准考证号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只 有一项是符合题目要求的)
1. 设集合 ，集合 ，则
A. B.
C. D.
2. 棣莫弗公式 是由法国数学家棣莫弗发现的. 若复数 ,则
A. B.
C. D.
3. 设椭圆 的离心率为 分别为其左、右焦点,点 为椭圆 短轴的一个端点,且 的面积为 2,则椭圆 的方程为
A. B. C. D.
4. 下列说法中不正确的是
A. 一组数据47,48,49,53,54,56,58,59的上四分位数为 57
B. 在成对样本数据分析中相关系数 ,表示两个变量之间没有线性相关关系
C. 根据线性回归方程得到预测值为 时的观测值为 34，则残差为 0.007
D. 将总体划分为三层,通过分层抽样,得到三层的样本平均数和样本方差分别为 , 和 ，若 ，则总体方差
5. 函数 在区间 上的极小值点个数为
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
6. 已知各项均为整数的数列 中, ,前 10 项依次成等差数列,从第 9 项起依次成等比数列,则
A. B.
C. D.
7. 公园某处有一个半径为 40 米的圆形水池, 准备在水池中建两个喷泉. 如图 1,设该圆形水池的圆心为 两点为喷泉, 为该圆形水池边缘任意一点,要求 三点共线,且 . 若在该水池边缘任意一点 处观察喷泉,观察角度 的最大值不小于 ,则 这两个喷泉间距离的最小值为
图 1
A. 米 B. 米
C. 80 米 D. 40 米
8. 平行六面体 所有棱长都相等, ,点 在底面 的射影为 中点,且直线 与底面 夹角为 ,则三棱锥 的外接球被平面 截得的截面面积为
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知实数 ,则下列命题是真命题的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ，则 D. 若 且 ,则
10. 若数列 的前 项和为 ,且 ,在数列 的前 项中任取两项都是正数的概率记为 ,则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
11. 已知 是定义在 上的函数, ,用 表示 中最小者, 记为 ,则
A. 当函数 均为奇函数时, 为奇函数
B. 当函数 均为增函数时, 为增函数
C. 当函数 均有最小值时, 有最小值
D. 当函数 均有最大值时, 有最大值
第 II 卷 (非选择题, 共 92 分)
注意事项:
第 II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知 的展开式中， 项的系数为-10，则 _____.
13. 已知点 分别为双曲线 的左、右焦点, 为双曲线 右支上任意一点，点 的坐标为 ，则 的最小值为_____.
14. 已知 是边长为 7 的等边三角形 内一点 (含边), 1，则 的取值范围为_____.
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤).
15. (本小题满分 13 分)
在 中，设内角 的对边分别是 ，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的值.
16. (本小题满分 15 分)
已知动圆 过定点 ，且在 轴上截得的弦长为 8，设动圆圆心 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 ，过点 的直线 与 交于 两点，在 轴上是否存在点 ， 使得 为等边三角形？若存在，求出相应直线 的方程；若不存在，请说明理由.
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围.
18. (本小题满分 17 分)
如图 2,在圆柱 中, 是圆 的一条直径, 是圆柱 的母线,其中点 与 不重合, .
(1)若平面 和平面 的交线为 ，证明: 平面 ；
(2)设平面 、平面 和底面圆 所成的锐二面角分别为 和 ,若 ,求平面 和底面圆 所成的锐二面角 的正切值.
图 2
19. (本小题满分 17 分)
某分布式存储系统中,数据块容量上限为 ,数据块的初始数量为 . 系统运行遵循以下规则:
①在每一时间步，系统以概率 执行清理操作 (数据块的数量减 1)，以概率 1-p 执行写入操作 (数据块的数量加 1);
② 当数据块的数量为 0 (成功复位) 或为 (内存溢出) 时，系统运行立即终止.
记当数据块的数量为 时，系统最终以“成功复位”状态终止的概率为 .
(1)直接写出 的数值，并写出 的关系式；
(2)当 时，比较系统最终以 “成功复位” 与 “内存溢出” 状态终止的概率大小关系;
(3)已知:若随机变量 的取值不会影响随机变量 的概率分布列，则称 与 相互独立,且满足 . 记 为系统运行 步后的数据块的数量 (假设系统在此期间未终止). 当 时,若 与 无关,求正实数 的值.
2026 届高三毕业生第二次模拟考试 数学参考答案
第 I 卷(选择题，共 58 分)
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D D B A A
1. ,则 ,故选 A.
2. 由棣莫弗公式, ,故选 C.
3. 由椭圆离心率为 ，得 ，即 ，又因为 ，所以 ，又点 为椭圆短轴顶点,则 ，所以 ，即椭圆 的方程为 ， 故选 B.
4. 对于 A， ，上四分位数为 ，A 正确；对于 B，相关系数 的含义是两个变量没有线性相关关系,但可能存在非线性关系, 正确; 对于 ,残差 正确; 对于 ,分层抽样的总体方差不仅与各层样本方差有关,还与各层的样本量和层间均值差异有关,即使 ,总体方差也不等于 ,还需要考虑各层的样本量权重, D 不正确,故选 D.
5. 由函数 ,可得 ,令 ,即 ,可得 或 ,因为 ,可得 ,当 时, ,所以 单调递增; 当 时, ,所以 单调递减; 当 时, , 所以 单调递增; 当 时, ,所以 单调递增; 当 时, ,所以 , 单调递减; 当 时, ,所以 单调递增,所以 在 上递增,在 上递减,在 上递增,在 上递增,在 上递减,在 上递增,其中 两侧函数的单调性相同,可得 不是函数 的极值点,所以 在区间 的极小值点为 ,共有 2 个, 故选 D.
6. 由题意, 成等比数列, ,解得 或 ,又数列 的各项均为整数, 当 时, ,故选 B.
7. 根据圆的几何性质,当点 位于过 中点 (即圆心 ) 的垂线上时, 取得最大值,此时 为等腰三角形,设 ,则 . 在 中, ,可得 . 由余弦定理,在 中: ，题目要求 ，由于 在 上单调递减,故 ,所以 , ,解得 , 因为两喷泉间距 ,因此 米,故选 A.
8. 如图，设 中点为 ， ， ， ， ，即 ， ，则 ， . 又 平面 ， 平面 ， ，则 ,即 三棱锥 中, 均为直角三角形,且平面 平面 三棱锥 的外接球是以 为直径， 为球心，半径 ，设 到平面 的距离为 ，外接球被平面 截得的截面半径为 ,解得 , 截面半径 ，面积为 ，故选 A.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
题号 9 10 11
答案 BCD ABD BC
9. 对于 ,若 ,则 ,故 为假命题; 对于 , ,故 为真命题; 对于 ,则 ,故 为真命题; 对于 且 ,则 ,故 为真命题, 故选 BCD.
10. 数列 中, ,当 时, ,则 ,而 ,解得 ,所以数列 是首项为 1,公比为 -1 的等比数列, , 当 ， 时，数列 的前 项中，有 个正数， 个负数，任取两项都是正数的概率为 ，当 ， 时，数列 的前 项中,有 个正数, 个负数,任取两项都是正数的概率为 . 对于 正确; 对于
正确; 对于 错误; 对于 , 正确,故选 ABD.
11. 对于 ,设 ,则 即 ,此时 为偶函数, 故 A 错误; 对于 ,若 ,都有 ,则 为增函数; 若 , 都有 ,则 为增函数; 若 ,假设 时 时 ,则 在 上的最大值为 在 上的最小值为 ,且必有 ,此时 为增函数,故 正确; 对于 ,由 ,若 最小值为 最小值为 ,记 , ,有 ,则 ,且 使得 ,即 有最小值 ,故 正确; 对于 ,取 ,取 值, 故 D 错误, 故选 BC.
第 II 卷(非选择题，共 92 分)
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
题号 12 13 14
答案 4
12. 项系数为 ,解得 .
13. 由题可知双曲线 的实半轴长 ,设左焦点为 ,所以
,当且仅当 三点共线且 在点 和点 之间时取等号.
14. 由题 ,取 ,因为 ,所以 三点共线. 在 中, ,记 中 边上的高为 ,解得 , 即 的最小值为 ,当 与点 重合时, 的最大值为 5,所以
四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 13 分)
解: (1) 由 ,得到 , (1 分)
整理得到 , (2 分)
即 , (3 分)
又 ，则 ， (4 分)
得到 , (5 分)
又 ,解得 . (6 分)
(2)由(1)知 ，
由余弦定理得 ,
(8 分)
又 ,所以 , (9 分)
由正弦定理知 (其中 为 外接圆的半径),
(10 分)
得到 , (12 分)
所以 . (13 分)
16.(本小题满分 15 分)
解: (1) 设动圆圆心 ,半径为 ,动圆过定点 , (1 分) , (2 分)
又 圆在 轴上截得的弦长为 8,所以 , (4 分) 联立两式消去 得 ,
动圆圆心 的轨迹 的方程为 . (5 分)
(2)由题 ,设直线 , (6 分) 联立 ,
, (8 分)
中点为 ， (9 分)
假设 满足条件, ,且 为等边三角形,
,且 . (10 分)
①若 ，则直线 ， ， ， ，
存在 构成等边三角形; (12 分)
② 若 ，有题意得 ， ，
,
又 且 ,
,
,无解, (14 分)
综上,存在点 ,使得 为等边三角形,此时直线方程为 . (15 分)
17.(本小题满分 15 分)
解: (1) 当 时, ,
则 . (1 分)
令 ,即 ,解得 . (2 分)
当 时， 单调递减； (3 分)
当 时, 单调递增; (4 分)
单调递减区间为 ,单调递增区间为 . (5 分)
(2) . (6 分)
设 ,
则 在 恒成立等价于 在 恒成立. (7 分)
, (8 分)
又 ,当且仅当 时等号成立,
当 时, . (9 分)
① 当 ，即 时， ，
在 上单调递增,又 ,
,满足 在 上恒成立. (11 分)
② 当 ,即 时,
令 ,则 .
,
则 在 上单调递增.
又 ,当 时, ,
存在 ,使得 ,即 ,
当 时, 单调递减,则 ,
不满足 在 上恒成立. (14 分)
综上, 的取值范围为 . (15 分)
18. (本小题满分 17 分)
(1)证明: ，且 是圆 的一条直径，
是 的中点， 是 的中点， ， (1分) 又 平面 ，且 平面 ，
平面 , (3 分)
又 平面 ，平面 平面 ， (4 分)
由线面平行的性质定理可得, , (5 分)
又 平面 ，且 平面 ， 平面 . (7 分)
(2)解:连接 是圆 的一条直径，且 与 不重合， ,
又 是圆柱 的母线， 垂直于底面圆 所在的平面,
所以以 为坐标原点, 所在的直线分别为 轴, 轴, 轴,
建立空间直角坐标系 ,
设 ,则 , (8 分)
,
, (9 分)
设平面 的一个法向量 ,则
令 ,则 , (10 分)
设平面 的一个法向量 ,则 ,
令 ,则 , (11 分)
由题意可得底面圆 的一个法向量为 ,
所以 , (12 分)
同理 , (13 分)
因为 ,所以 ,即 ,
又 ，所以 ， ， (14 分)
所以 ,
所以 , 设平面 的一个法向量 ,则 ,
令 ,则 , (15 分)
所以 , (16 分)
所以 .
故平面 和底面圆 所成的锐二面角的正切值为 . (17 分)
19. (本小题满分 17 分)
解: (1) 由题意可知 , (2 分) 由全概率公式可得 . (4 分)
(2)当 时， ，
即 ,故数列 为等差数列. (5 分)
设其公差为 ,设其通项公式可得 ,
由 可得 ,所以 , (7 分)
又因为系统数据块的初始数量为 ,
所以系统最终以 “成功复位” 状态终止的概率为 ,
从而系统最终以 “内存溢出” 状态终止的概率为 ,
令 ,解得 , (8 分)
所以当 时,“成功复位”的概率大于 “内存溢出” 的概率,
同理可得,当 时,“成功复位”的概率等于 “内存溢出” 的概率, 当 时,“成功复位”的概率小于 “内存溢出” 的概率.
(9 分)
(3)设 为第 步数据块的数量的变化值， 、 、 、 相互独立，
且分布列均为 , (10 分)
由题意可知 , (11 分)
所以 , (12 分)
因为每步操作相互独立,所以第 步的变化值 与之前的累积状态 相互独立,
从而随机变量 与 相互独立,则 , (13 分)
因为 与 无关,所以 恒成立, (14 分)
所以 , (15 分)
事实上 ,故只需 ,
由 的分布列可知 , (16 分)
因式分解得 ,
又因为 ,所以 ,
所以当 时,若 与 无关,则 (17 分)

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