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正方形的判定专项训练(1)
夯实基础,稳扎稳打
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，
求证：四边形CEDF是正方形。
2．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，说明：四边形EGFH是正方形．
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA。求证：四边形AECF是正方形。
连续递推,豁然开朗
4．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACB的外角∠ACD，过点A作AM⊥CE垂足为M，AN⊥CF垂足为N，连接MN交AC于点O．
（1）求证：AC＝MN；（2）当线段AC和MN满足什么条件时，四边形AMCN为正方形．
5．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
正方形的判定专项训练(2)
夯实基础,稳扎稳打
1．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，将矩形ABCD沿DE折叠，点A的对称点F落在边CD上，连接EF．求证：四边形ADFE是正方形．
2.如图，在矩形ABCD中，∠ABC，∠DCB的平分线的交点E落在边AD上，
BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF是正方形。
3．如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．求证：四边形ABCD是正方形；
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。求证：四边形CEDF为正方形。
连续递推,豁然开朗
5．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE．（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；（2）当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形．
6.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长。
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。
请按照小萍同学的思路，探究并解答下列问题：
(1)分别以AB，AC为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC，相交于点G。求证：四边形AEGF是正方形。
(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程，求出AD的长。
参考答案--正方形的判定专项训练(1)
1.证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE=DF，∠DFC=∠DEC=90°。
又∵∠ACB=90°，∴四边形CEDF是矩形。又∵DE=DF，∴矩形CEDF是正方形。
2.【解答】证明：连接GH，∵G、F分别是BE、BC的中点，∴GF∥EC，
同理FH∥BE，∴四边形EGFH是平行四边形，
∵G、H分别是BE，CE的中点，∴GH∥BC，∵EF⊥BC，∴EF⊥GH，
又∵四边形EGFH是平行四边形，∴四边形EGFH是菱形，∵BE⊥EC，∴菱形EGFH是正方形．
3.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD。
又∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是菱形。
∵OE=OA=OF，∴OE=OF=OA=OC，即EF=AC，∴菱形AECF是正方形。
4.【解答】（1）证明：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACB的外角∠ACD，
∴，∴，
∵AM⊥CE垂足为M，AN⊥CF垂足为N，∴∠AMC＝∠ANC＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，∴AC＝MN；
（2）解：当AC⊥MN时，四边形AMCN为正方形，理由如下：
∵四边形AMCN是矩形，AC⊥MN，∴四边形AMCN为正方形．
5.【解答】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形；
②解：CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CEAB24，∴CE+CG＝4 是定值．
参考答案--正方形的判定专项训练(2)
1.【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°．由折叠，得∠A＝∠DFE＝90°
∴∠A＝∠ADF＝∠DFE＝90°．∴四边形AEFD是矩形．∵AE＝EF，∴四边形AEFD是正方形．
2.证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形。
∵在矩形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠BEC=90°，BE=CE，∴ BECF是正方形。
3.【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，
∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，∵DE＝BF，∴BO＝DO，
又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ADO＝45°，∴∠DAO＝∠ADO＝45°，
∵AO＝DO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形．
4.解：(1)如答图，过点D作DN⊥AB于点N。
∵∠C=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴四边形CEDF为矩形。
又易知DF=DN=DE，∴矩形CEDF为正方形。
5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．∴BC＝CD．
又∵CE＝BC，∴BE＝2BC，∴BE＝2CD；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BE，∵CE＝BC∴AD＝CE，AD∥CE∴四边形ACED是平行四边形．
∵∠ACB＝90°∴平行四边形ACED是矩形，∵CA＝CB，∴CA＝CE，∴矩形ACED是正方形．
6.解：(1)由题意可得△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC。
∵∠DAB＋∠DAC=∠BAC=45°，∴∠EAF=2∠DAB＋2∠DAC=90°。
∵AD⊥BC，∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，
∴四边形AEGF是矩形∵AE=AD，AF=AD，∴AE=AF∴矩形AEGF是正方形。
(2)∵AD=x，四边形AEGF是正方形，∴易知AE=EG=GF=x，∠EGF=90°。
∵BD=2，DC=3，∴BE=2，CF=3，∴BG=x－2，CG=x－3。
在Rt△BGC中，BG2＋CG2=BC2，
即(x－2)2＋(x－3)2=(2＋3)2，化简，得x2－5x－6=0，
解得x1=6，x2=－1(不合题意，舍去)，∴AD=6。
正方形的性质专项训练(1)
夯实基础,稳扎稳打
1.如图，是正方形对角线上一点，且，连接并延长，交于点，
求的度数．
2．如图，四边形分别是菱形与正方形．若，的度数
3．如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，求的度数．
如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形，若正方形的面积为36，
求的长
连续递推,豁然开朗
5．如图，大正方形中摆放了两个小正方形，设它们的面积分别为，求 之间的关系
6．如图，在中，，以，为边作正方形，点落在上．记正方形的面积为，的面积为，设，．若，求证: =
正方形的性质专项训练(2)
夯实基础,稳扎稳打
1．如图，点在正方形的内部，在对角线的上方，，求的度数
2．如图，正方形的对角线是菱形的一边，的度数
3..如图，在正方形外侧作等边，求的度数
4．如图，菱形的面积为，正方形的面积为求菱形的边长．
连续递推,豁然开朗
5．如图将边长为4的正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD的中点E处，求折痕的FG长度.
6． 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°， AC=4， BC=3， 分别以AC， AB为边向外作正方形ACDE， 正方形 ABMN， 连结NE， 求NE的长
参考答案----正方形的性质专项训练(1)
1．解：∵四边形是正方形∴，，
∵∴∴
2．解：∵为正方形与菱形的对角线，
∴．∵，∴．
∵菱形中，，∴．∴．
3．解：∵四边形是正方形，∴，
∵是等边三角形，∴，∴，，∴
4．解：∵四边形是正方形，，∴，
∵，∴，∵在中，点D是斜边的中点，∴．
5.解：如图所示，∵四边形是正方形，其余两个四边形也是正方形，
∴，，，，都是等腰直角三角形．
设正方形的边长为，则，∴，
则，∴，∴．∵是等腰直角三角形，∴，∴．由，，知，∴8S1=9S2．
6.解：设，则，∴在正方形中，，
，由正方形性质得，，
在和中，，
，即，
解得，，，，，
在中，，
，
，，，
解得，，，，，
参考答案--正方形的性质专项训练(2)
1解：依题意，设，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-x，∴∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=180°-x-(90°-x)=90°，
2．解：∵ 正方形 的对角线. ，
∵四边形是菱形，，
3.解：四边形是正方形，，，
是等边三角形，，，，，
4.解：如图，记的交点为，∵正方形的面积为，∴，，，，∴，，∵菱形的面积为，∴，，∴，，∴；
5．解：连接EF，AE，过点G作GH⊥AC于点H，则ABGH是矩形，∴GH=AB=AC，
∵E是CD的中点，∴CE=ED=2，由折叠可得EF=AF，AE⊥FG，设AF=EF=x，则CF=4-x，
在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，即22+(4-x)2=x2，解得x=2.5，∴CF=1.5，AF=2.5，
∵GH⊥AC，AE⊥FG，∴∠C=∠GHF=90°，∠CAE+∠AFG=∠CAE+∠AEC=90°，
∴ ∠AFG=∠AEC，∴△GFH≌△AEC，∴FH=CE=2，
∴BG=AH=AF-FH=2.5-2=0.5，，
6．解：过点N作NG⊥AC于点G，交NE于点H，如图所示，
∵ABMNO正方形∴∠BAN=90°，AB=AN∴∠BAC+∠NAG=90°
又∵∠BAC+∠ABC=90°∴∠ABC=∠NAG又∵∠G=∠ACB∴△ABC≌△NAG(SAS)
∴GN=AC=4，GA=BC=3∵ACDE为正方形∴AC=AE∴NG=AE
∵∠NHG=∠FHE，∠HAE=∠NGH∴△AEH≌△GNH(AAS)∴NH=EH，GH=AH=
∴NH=∴NE=.

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