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第21章 平行四边形
21.2.3 三角形的中位线
问题 平行四边形的性质和判定有哪些？
边：
角：
对角线：
B
O
D
A
C
① AB∥CD， AD∥BC
② AB = CD， AD = BC
③ AB∥CD， AB=CD
∠BAD = ∠BCD，
∠ABC = ∠ADC
AO = CO，DO = BO
判定
性质
知识回顾
1、理解并掌握三角形的中位线定理；
2、能熟练运用三角形的中位线定理解决问题；
学习目标
新授
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则线段DE就称为△ABC的中位线.
A
B
C
D
E
问题1 一个三角形有几条中位线？
有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.
问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
A
B
C
D
E
F



证明：
D
E
延长 DE 到 F，使 EF = DE．
连接 AF、CF、DC.
∵ AE = EC，DE = EF ，
∴ 四边形 ADCF 是平行四边形．
F
∴ 四边形 BCFD 是平行四边形，
∴ CF AD.
∴ CF BD.
又∵ ，
∴ DF BC．
∴ DE∥BC， ．
如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 边的中点. 求证：
证一证
D
E
证明：
延长DE到F，使EF=DE．连接FC
F
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴△ADE≌△CFE．
∴∠ADE=∠F
∵∠AED=∠CEF，AE=CE，
，AD=CF,
∴BD CF．
又∵ ，
∴DF BC ．
∴ DE∥BC， ．
∴CF AD ,
证法2：
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
三角形中位线定理：
几何语言：
归纳小结
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且DE= BC.
（ ∵AD=BD, AE=CE )
这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据.
D
E
提示：
①中位线DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形BFED和CFDE，四边形ADFE和DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
A
B
C
D
E
F



例题讲解
例1 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，
AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF=3，求AC的长.
解：∵D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠2＝∠3.
又∵AF平分∠CAB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DF＝3，
∴AC＝2AD＝2DF＝6.
1
2
3
例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，
∴∠BPN=∠MPD+(180° ∠NPB)=130°，
∴∠PMN=(180° 130°)÷ 2 =25°．
如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF. 求证：AB＝2OF.
练习
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CE，AB＝CD.
∵CE＝DC，
∴AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴点F是BC的中点．
又∵点O是AC的中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴AB＝2OF.
例4 如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA 中点．
求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
四边形问题
连接对角线
三角形问题
（三角形中位线定理）
分析：
小结
三角形的中位线
三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理
三角形的中位线定理的应用
练习
1. 如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=7,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,则四边形EFGH的周长为(　　)
A.12　　　 B.14　　　 C.24　　　 D.21
A
练习
2. 如图,顺次连接四边形ABCD四边的中点E,F,G,H,则四边形EFGH的形状一定是　 　.
平行四边形
3. 如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是(　　)
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变
D．线段EF的长先增大后减小
C
4.如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边AB、BC、AC的中点：
（1）若∠ADF=50°，则∠B= °；
（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，
则△ DEF的周长为 .
50
15
A
B
C
D
F
E
5. 如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 ，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为_____．
3
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线，
∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，
∴△EBC≌△FCB,
∴CE＝BF，
∴CD＝2CE.
F
练习
7. （1）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，则线段DE是△ABC的______。
（2）三角形中位线与中线的区别：中线连接______，中位线连接______。
参考答案：
(1) 中位线；(2) 顶点与对边中点；两边中点。
练习
8. （1）若△ABC中，DE是中位线，BC=10cm，则DE=______cm；
（2）若DE∥BC且DE=4cm，则BC=______cm。
参考答案：
(1) 5；(2) 8。
练习
9. 已知△DEF的周长为12 cm，若D、E、F分别是△ABC三边中点，则△ABC的周长为______ cm。
参考答案：
24。
练习
10. 判断题：
(1)三角形的中位线有且只有一条。（ ）
(2)三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分。（ ）
参考答案：(1) ；(2)
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