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第十六章 整式的乘法
16.3.2　完全平方公式
第1课时　完全平方公式
【情境问题】
前面我们学习了多项式与多项式的乘法，请计算 : (m+p)(n+q).
探究与应用
【探究】完全平方公式
【操作尝试】
探究与应用
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= .
p2-2p+1
（4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= .
m2-4m+4
② 左边如果为“+”号，右边全是“+”号，左边如果为“-”号，右边中间
一项的符号就为“-”号，其余都为“+”号.
① 右边第一项是左边括号中第一项的平方，右边最后一项是左边括号中第
二项的平方，中间一项是左边括号中第一项和第二项乘积的2倍.
【探究】完全平方公式
【尝试交流】
我们就利用简单的(a+b)2与(a-b)2进行验证，请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算.
探究与应用
【探究】完全平方公式
【概括新知】
探究与应用
完全平方公式
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”
【探究】完全平方公式
【尝试交流】
问题2 : 你能根据图中图形的面积说明完全平方公式吗
探究与应用
【探究】完全平方公式
探究与应用
几何解释:
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
【探究】完全平方公式
探究与应用
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
几何解释:
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
【理解应用】
探究与应用
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
=16m2
(1)(4m+n)2；
(a +b)2= a2 + 2 ab + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+8mn
+n2；
【理解应用】
探究与应用
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2
y2
=y2
-y
+
解： =
+
-2 y
(2)
【理解应用】
【变式】
计算 : (－2x+5y)2；
探究与应用
(－2x＋5y)2＝4x2－20xy＋25y2.
思路分析 : 本题改变了公式中a、b的符号。
处理方法之一 : 把式子变形为 (－2x+5y)2 =(5y－2x)2 后，直接用公式计算；
方法二 : 把式子变形为(－2x+5y)2=[(－2x)+5y]2后，直接用公式计算.
在此处应注意添括号的法则.
【理解应用】
探究与应用
思考:
(1)(a+b)2与(-a-b)2相等吗
(2)(a-b)2与(b-a)2相等吗
(3)(a-b)2与a2-b2相等吗
说明为什么
=
=
≠
【理解应用】
探究与应用
(1) 1022；
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
归纳总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
= (100 –1)2
=10000 -200+1
例3　已知a+b=-6，ab=8,求:
(1)a2+b2的值；(2)(a-b)2的值.
答案:
(1) a2+b2=（a+b)2-2ab
=36-16
=20
探究与应用
【拓展提升】
答案:　
(2)(a-b)2
=（a+b)2-4ab
=36-32
=4
【概况归纳】
探究与应用
【探究】完全平方公式
常见的完全平方公式的变形
完全平方公式 变形
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab　
②2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 ①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab　
②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2
③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
例4　运用乘法公式计算:
(1) (x＋y) (2x＋2y) (2)(a＋b) (-a-b).
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
答案:(1) 2x2+4xy＋2y2.
(2) -a2-2ab-b2.
【小结】
课堂小结与检测
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
【检测】
课堂小结与检测
1．计算(－1－x)2的结果是(　　)
A．1＋x2 B．1－2x＋x2
C．1－2x－x2 D．1＋2x＋x2
D
【检测】
课堂小结与检测
2.如图，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，可以得出一个等式为 ( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.a2-b2=(a+b)(a-b)
D.(a+b)2=(a-b)2+4ab
D
【 检测】
课堂小结与检测
3．化简：(1－x)2＋2x＝________．
4．已知a＋b＝2，ab＝－1，则a2＋b2＝________．
1＋x2
6
【 检测】
课堂小结与检测
5 计算：
(1)(-x+3y)2； (2)(－4y－ )2；
(3)(a-b) (b-a)
(3) -a2+2ab-b2.
解：(1) 9y2－6xy＋x2；
(2) 16y2＋2y＋ ；
【 检测】
课堂小结与检测
6 计算：
(1)
(2) 20252-4050×2024+20242.
答案 : (1) (2) 1
【 检测】
课堂小结与检测
7 计算：
已知 a+b=5，ab=3，求 a2+b2。
解 :a2+b2=（a+b）2 2ab=25 6=19
【 检测】
课堂小结与检测
8 计算：
求（4m+n）2的值。
解 :4m2+2 (4m) n+n2=16m2+8mn+n2
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