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2026年中考数学模拟试卷
班级：______________ 姓名：______________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.0，－1，4，－2这四个数中最小的是(　　)
A．0 B．－1 C．4 D．－2
1.D
【解析】4是正数，大于0；0大于负数；两个负数－2和－1中，－2的绝对值大，∴－1＞－2，故4＞0＞－1＞－2，最小的是－2．
2.2025年前两个月，安徽省“新三样”（电动汽车，锂离子蓄电池，光伏产品）合计出口131.9亿元，同比增长98.8%．其中数据“131.9亿”用科学记数法表示为（ ）
A．131.9×108 B．131.9×107
C．1.319×1011 D．1.319×1010
2.D
【解析】131.9亿＝13190000000＝1.319×1010．
3.如图是由9个相同的小正方体组成的几何体的俯视图，每个数字表示的是下方小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
3.C
【解析】从左面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别是2，3，1．
4.下列运算正确的是（ ）
A．4a－3a＝1 B．a4·a5＝a8
C．(a3)2＝a5 D．2a·4a＝8a2
4.D
【解析】A.4a－3a＝a，故该选项错误，不符合题意；B.a4·a5＝a9，故该选项错误，不符合题意；C.(a3)2＝a6，故该选项错误，不符合题意；D.2a·4a＝8a2，故该选项正确，符合题意．
5.若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　)
A.－1 B.1 C.－2或2 D.－3或1
5.A　
【解析】原方程化为x2＋(a＋1)x＝0，∵该方程有两个相等的实数根，∴(a＋1)2－4×1×0＝0，解得a1＝a2＝－1，故选A.
6.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，则∠B的度数是（ ）
A.108° B.72° C.36° D.24°
6.C
7.已知反比例函数y＝ (a为常数，且a≠0)和一次函数y＝x＋b(b为常数)，若a－b＝1，则它们在同一直角坐标系中的图象可能是(　　)
7.B　
【解析】∵a－b＝1，∴a＝b＋1，将a＝b＋1代入y＝ 可得y＝ ，与一次函数y＝x＋b联立，可得 ＝x＋b，整理得(1－x)(x＋b＋1)＝0，∵方程有一根为x＝1，∴一次函数与反比例函数图象有一个交点的横坐标为1，故选B.
8.如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A.AB∥DC，AD∥BC B.AB＝DC，AD＝BC C.AO＝CO，BO＝DO D.AB∥DC，AD＝BC
8.D
【解析】A选项，两边分别平行的四边形为平行四边形，B选项两边分别相等的四边形为平行四边形，C选项对角线互相平分的四边形为平行四边形，故选D.
9.若a、c为非零实数，则函数y＝ax2＋4x＋c与y＝－cx＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)
9.D
【解析】当a>0，c<0时，对称轴x＝－ ＝－ <0，－c>0，A、B选项均不符合；当a<0，c>0时，对称轴x＝－ ＝－ >0，－c<0，C选项不符合，D选项符合.
10.如图，矩形ABCD中，AB＝6， ，点E在线段BC上运动（含B，C两点），连接AE，以点A为旋转中心，将线段AE逆时针旋转60°到AF，连接EF，DF，则线段DF的最小值为（ ）
A．6 B．9
C．5 D．9
10.B
【解析】如答案图，作等边△ABG，连接FG，设直线FG交AD于点T，由题意可得，AD＝BC＝ ， ，∵△ABG是等边三角形，∴AG＝AB＝6，∠BAG＝60°，∴∠GAT＝∠BAD－∠BAG＝30°；∵AF＝AE，∠EAF＝60°，∠BAG＝60°，∴∠BAE＝∠GAF＝60°－∠EAG，∴△ABE≌△AGF(SAS)，∴∠AGF＝∠ABE＝90°，∵点G是定点，∴点F在直线GF上运动，∴当DF⊥GF时，DF有最小值，∴此时有DF∥AG，∴∠FDT＝∠GAT＝30°，∵ ，∴ ，∴DF＝DT cos∠FDT＝9，∴DF的最小值为9．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
11.计算： －20＝__________．
11.3　
【解析】原式＝4－1＝3.
12.中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”，如图所示．
问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M、N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为______丈．
12.8－2 　
【解析】如解图，过点O作OD⊥AC于点D，由题意得，∠OAD＝45°，∵OD＝2，∴AD＝OD＝2，∴AO＝ ＝ ＝2 ，∴BN＝AB－AO－ON＝10－2 －2＝8－2 .
解图
13.从”熔化”“燃烧”“遗传”“升华”4种现象中同时任选2种，都属于物理现象的概率是______．
13.
【解析】属于物理现象的有“熔化”“升华”两种，列表格如下，由表格可知，共有12种等可能的结果，从“熔化”“燃烧”“遗传”“升华”4种现象中同时任选2种，其中都属于物理现象的有2种，故都属于物理现象的概率是 ．
熔化 燃烧 遗传 升华
熔化 (熔化，燃烧) (熔化，遗传) (熔化，升华)
燃烧 (燃烧，熔化) (燃烧，遗传) (燃烧，升华)
遗传 (遗传，熔化) (遗传，燃烧) (遗传，升华)
升华 (升华，熔化) (升华，燃烧) (升华，遗传)
14.在一次数学游戏中，老师在A，B，C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a0，b0，c0，记为G0＝(a0，b0，c0)．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个(若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果)，记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束，否则继续重复上述操作．则n次操作后的糖果数记为Gn＝(an，bn，cn)．
(1)若G0＝(4，7，10)，则第______次操作后游戏结束；
(2)小明发现：若G0＝(4，8，18)，则游戏永远无法结束，那么G2026＝______．
14.(1)3；
(2)(11，9，10)．
【解析】（1）若G0＝(4，7，10)，第一次操作结果为G1＝(5，8，8)，第二次操作结果为G2＝(6，6，9)，第三次操作结果为G3＝(7，7，7)，∴经过次3操作后游戏结束；
（2）若G0＝(4，8，18)，则G1＝(5，9，16)，G2＝(6，10，14)，G3＝(7，11，12)，G4＝(8，12，10)，G5＝(9，10，11)，G6＝(10，11，9)，G7＝(11，9，10)，G8＝(9，10，11)，G9＝(10，11，9)，G10＝(11，9，10)，…，由此看出从G5开始3个一循环，(2026－4)÷3＝674，∴G2026与G7相同，也就是(11，9，10)．
解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分
15.先化简，再求值：( ＋ )· ，其中a＝－ .
15.解：原式＝( - )·
＝ ·
＝ ·
＝ .
当a＝－ 时，原式＝ ＝ ＝－1.
16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(2，－1)、B(1，－3)、C(3，－2)，△ABC与△A1B1C1位于不同象限且关于点O位似，且△ABC与△A1B1C1的面积比为1∶9.
(1)请在图中画出△A1B1C1，并求点B1的坐标；
(2)求△A1B1C1的面积．
16.解：(1)如图，△A1B1C1即为所作；
∵S△ABC∶S△A1B1C1＝1∶9，
∴△ABC与△A1B1C1的位似比为1∶3.
∵B(1，－3)，
∴B1(－3，9)；
答案图
(2)∵S△ABC＝2×2－ ×1×2－ ×1×2－ ×1×1＝ ，
∴S△A1B1C1＝
17.中华人民共和国成立76周年，为营造隆重热烈、喜庆祥和的氛围，天安门广场及长安街沿线布置花坛，以广场中心的“祝福祖国”巨型花果篮为主景，篮内主花材料选取了十种花卉和十种水果，象征十全十美，体现花团锦簇、硕果累累的美好寓意．某数学兴趣小组的同学利用假期开展了“测量巨型花果篮的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表：
课题 测量巨型花果篮的高度
测量方案 如图，AB代表巨型花果篮的高度，在地面C，D处用测角仪分别测得巨型花果篮顶端A的仰角α，β，并测得CD之间的距离，MC，ND均代表测角仪的高度．
说明：点A，B，C，D，M，N在同一竖直平面内， 点B，C，D在同一直线上
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角α的度数 30.3° 29.7° 30°
仰角β的度数 24.9° 25.1° 25°
C，D之间的直线距离 64.1m 63.9m 64.0m
测角仪的高度 1.5m
参考数据 sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47， ≈1.73
请根据上表计算巨型花果篮的高度AB(结果精确到0.1m)．
17.解：如答案图，连接MN，交AB于点E，
由题意得，CM＝DN＝1.5m，CD＝64.0m，∠C＝∠D＝∠CME＝∠ABC＝∠ABD＝∠END＝90°，
∴四边形CDNM，四边形CBEM，四边形DBEN 为矩形，
∴MN＝CD＝64.0m，BE＝CM＝1.5m，
在Rt△AME 中，∠AME＝30°， ，
∴ ，
在Rt△ANE 中，∠ANE＝25°， ，=∴ ，
∵MN＝ME+NE，
∴ ，
解得AE≈16.6m，
AB＝AE+BE≈16.6+1.5≈18.1(m)，
∴巨型花果篮的高度AB约为18.1m．
答案图
18.如图，一次函数与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于A(m，6)，B(n，3)，与x轴交于点C(6，0)，与y轴交于点D.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接OA，求S△AOD的面积.
18.解：(1)如解图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
由题意可知，AM＝6，BN＝3∴ ＝ ，∴CN＝MN，
又∵A(m，6)，B(n，3)都在反比例函数y＝ (x＞0)上，∴6m＝3n，∴ ＝ ＝ ，∴OM＝MN，
∴OM＝MN＝NC，
又∵OC＝6，∴OM＝2，即m＝2，∴点A的坐标为(2，6)，
将A(2，6)代入y＝ 中得，k＝12，∴反比例函数的解析式为y＝ (x＞0)；
(2)如解图，连接OA，由(1)易得，点B的坐标为(4，3)，设一次函数解析式为y＝ax＋b ，
将点A(2，6)，B(4，3)代入，得 ，解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝－ x＋9，∴点D的坐标为(0，9)，
∴OD＝9，S△AOD＝ ×9×2＝9.
解图
19.某农业研究机构为了提升稻米的品质，培育出了一种新型的水稻品种.研究机构对种植了该品种水稻的试验田进行了详细的调查.研究人员随机选取了1000株成熟的水稻植株，并统计了其每株水稻上的稻谷数量(数据均为正整数，单位：粒).以下是根据调查数据整理的部分信息：
①每株水稻上稻谷数量的频数分布直方图如图(稻谷数量用x表示，数据分成11组：0≤x＜40，40≤x＜80，80≤x＜120，120≤x＜160，160≤x＜200，200≤x＜240，240≤x＜280，280≤x＜320，320≤x＜360，360≤x＜400，400≤x≤440)；
平均数 中位数 众数
稻谷数量 (单位：粒) 144 a b
②120≤x＜160这一组的数据如下：
120，124，124，128，128，128，136，136，136，136，140，140，140，140，144，144，148，148，152，156；
③这1000株成熟的水稻植株每株水稻上稻谷数量的平均数、中位数、众数如上表.
根据以上信息，回答下列问题：
(1)a的值为______，并补全频数分布直方图；
(2)经统计某块试验田共有该品种水稻植株10万株且均已成熟，每千粒稻谷的总质量约为25.0克，估计这块试验田所产稻谷的总质量为多少千克？
(3)现有下面四个结论：①b的值一定在80≤x＜120这一组；②b的值可能在160≤x＜200这一组；③b的值不可能在200≤x＜240这一组；④b的值不可能在360≤x＜400这一组.其中所有正确结论的序号是______.
19.解：(1)132，补全的频数分布直方图如答案图所示；
答案图
【解法提示】1000-(87+57+20+336+76+35+2+15+5+17)=350(株)，∵87+57+350=494(株)<500(株)，87+57+350+20=514(株)>501(株)，∴中位数在120≤x＜160中，∵将这1000个数据按从小到大排列后第500个数据为128，第501个数据为136，∴a= =132(粒).
(2)1×105×144÷103×25=3.6×105(克)，3.6×105克=360千克；
答：估计这块试验田所产稻谷的总质量为360千克；
(3)②④.
【解法提示】结合(1)中频数分布直方图可知，80≤x＜120这组的频数是350，在80≤x＜120中一共有40个数字，当每个数字出现8次时，总的频数为320<350，∴一个数据若是众数，则最少出现9次，∴b的值有可能在任一频数不小于9的组别中，∴b不一定在80≤x＜120这一组，①错误；b可能在160≤x＜200这一组，②正确；b可能在200≤x＜240这一组，③错误；b不可能在360≤x＜400这一组，④正确.
20.如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，点F是⊙O上一点，连接BF，CF，DF，∠BFD＝60°.
(1)求证：DF平分∠BFC；
(2)设AB交DF于点G，且DE＝GE，求∠DCF的度数．
20.(1)证明：如答案图，连接AD，
∵∠BFD＝60°，
∴∠BAD＝∠BFD＝60°，
∵AB⊥CD，
∴∠AED＝90°， ＝ ，
∴∠ADE＝30°， ＝2 ，
∴∠CFD＝2∠ADC＝60°，
∴∠CFD＝∠BFD，
∴DF平分∠BFC；
答案图
(2)解：如答案图，连接BC，
∵DE＝GE，AB⊥CD，
∴∠EDG＝∠EGD＝45°，
∴∠CBF＝∠CDF＝45°，
由(1)知DF平分∠BFC，
∴∠BFC＝2∠BFD＝120°，
∴∠BCF＝180°－∠BFC－∠CBF＝15°，
∵∠BCD＝∠BFD＝60°，
∴∠DCF＝∠BCD＋∠BCF＝75°.
答案图
21.数学兴趣小组开展探究活动，主题是“四边形内n个点可把四边形分割成不重叠三角形数量”问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下：
示意图
n 1 2 3 4
不重叠三角形数量 4 6 8 ______
（1）把上面的表格补充完整；
（2）四边形内n个点把四边形分割成不重叠三角形数量可用含n的代数式表示为______；
（3）兴趣小组灵活运用数学知识，探究归纳出了m（m≥3）边形的内部的n个点，把m边形分割成互不重叠的小三角形个数的一般规律，分析过程如下：
①m（m≥3）边形的内部的n个点，把m边形分割成互不重叠的x个三角形；
②三角形的内角和为180°，x个三角形的总内角和可以表示为180x°；
③m边形的内角和可以表示为______°；
④m边形内部的每个点都对应一个周角，n个点对应n个周角，其度数可以表示为360n°；
⑤这x个三角形正好拼成了内部有n个点的m边形，所以这x个三角形的总内角和又可以看成是m边形的内角和加上n个周角的和，即______；
⑥综上可得，x＝______．
阅读以上内容，请在③，⑤，⑥的横线上填写所缺内容．
21.解：（1）10；
（2）2n+2；
【解法提示】
n 1 2 3 4 … n
不重叠三角形数量 4 6 8 10 … 2n+2
∴四边形内n个点把四边形分割成不重叠三角形的数量为2n+2；
（3）∵多边形内角和为（n-2）180°，
∴m边形的内角和可以表示为（m-2）180°，
∵周角＝360°，
∴m边形的内角和加上n个周角的和＝（m-2）180°+360n°，
∵三角形内角和为180°，
∴ ．
22.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝DF，AE、AF分别与BD交于点G、H，过点G作GN⊥AF，垂足为M，交AD于点N.
(1)求证：AH＝GN；
(2)若∠EAF＝45°，求证： ＝ ；
(3)如图2，过点G作GQ⊥AD，垂足为Q，交AF于点P.若GM＝3MN，求 的值．
22.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°.
∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵GN⊥AF，∴∠AMN＝90°，∴∠MAN＋∠MNA＝90°，
∵∠BAE＋∠GAN＝∠BAD＝90°，∴∠GAN＝∠GNA，∴AG＝GN，
∵∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABD＋∠BAE＝∠ADB＋∠DAF，
即∠AGH＝∠AHG，∴AG＝AH，∴AH＝GN；
(2)证明：如解图，连接AC，
∵在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，∠EAF＝45°，∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAG＝∠CAF，
∵在正方形ABCD中，∠ABG＝∠ACF＝45°，∴△ABG∽△ACF，
∴ ＝ ，由(1)知AG＝AH，∴ ＝ ；
(3)解：由(1)知，AG＝GN，
∵GQ⊥AD，∴AQ＝NQ，∠AQG＝∠NQG，
设AQ＝NQ＝a，MN＝b，∵GM＝3MN，
∴AN＝2a，GM＝3b，GN＝4b，
∵GN⊥AF，∴∠AMG＝∠AMN＝90°，∴∠GQN＝∠AMN＝90°，
∵∠GNQ＝∠ANM，∴△GNQ∽△ANM，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
∵∠GPM＝∠APQ，∠AQP＝∠GMP＝90°，∴△APQ∽△GPM，
∴ ＝ ＝ ＝ .
解图
23.抛物线y1＝－ x2＋k和直线y2＝－ x＋2k(k＞0)位于同一坐标系，直线y2分别与x轴、y轴交于点A、B.
(1)若k＝2，判定点P( k，1)是否在抛物线y1上，请说明理由；
(2)若抛物线y1与直线y2只有一个交点，求k的值；
(3)当k＝1时，平移抛物线y1，使得新抛物线y3经过点A和点B，求y3－y2的最大值．
23.解：(1)当k＝2时，把点P的横坐标x＝2 代入抛物线y1＝－ x2＋2中，
得y1＝－ ×(2 )2＋2＝1，∴点P在抛物线y1上；
(2)由题意，联立 ，得－ x2＋k＝－ x＋2k，
整理得x2－6x＋12k＝0，
∵抛物线y1与直线y2只有一个交点，
∴b2－4ac＝(－6)2－4×12k＝0，解得k＝ ；
(3)当k＝1时，y2＝－ x＋2，
∴点A和点B的坐标分别为(4，0)、(0，2).
设平移后得到的新抛物线解析式为y3＝－ x2＋bx＋c，代入点A、B的坐标，
得 ，解得 ，∴y3＝－ x2－ x＋2，
∴y3－y2＝－ x2－ x＋2－(－ x＋2)＝－ (x2－4x)＝－ (x－2)2＋ .
∵－ ＜0，∴y3－y2有最大值，最大值为 .
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2026年中考数学模拟试卷
详解详析
一、选择题
1.D
【解析】4是正数，大于0；0大于负数；两个负数－2和－1中，－2的绝对值大，∴－1＞－2，故4＞0＞－1＞－2，最小的是－2．
2.D
【解析】131.9亿＝13190000000＝1.319×1010．
3.C
【解析】从左面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别是2，3，1．
4.D
【解析】A.4a－3a＝a，故该选项错误，不符合题意；B.a4·a5＝a9，故该选项错误，不符合题意；C.(a3)2＝a6，故该选项错误，不符合题意；D.2a·4a＝8a2，故该选项正确，符合题意．
5.A　
【解析】原方程化为x2＋(a＋1)x＝0，∵该方程有两个相等的实数根，∴(a＋1)2－4×1×0＝0，解得a1＝a2＝－1，故选A.
6.C
7.B　
【解析】∵a－b＝1，∴a＝b＋1，将a＝b＋1代入y＝ 可得y＝ ，与一次函数y＝x＋b联立，可得 ＝x＋b，整理得(1－x)(x＋b＋1)＝0，∵方程有一根为x＝1，∴一次函数与反比例函数图象有一个交点的横坐标为1，故选B.
8.D
【解析】A选项，两边分别平行的四边形为平行四边形，B选项两边分别相等的四边形为平行四边形，C选项对角线互相平分的四边形为平行四边形，故选D.
9.D
【解析】当a>0，c<0时，对称轴x＝－ ＝－ <0，－c>0，A、B选项均不符合；当a<0，c>0时，对称轴x＝－ ＝－ >0，－c<0，C选项不符合，D选项符合.
10.B
【解析】如答案图，作等边△ABG，连接FG，设直线FG交AD于点T，由题意可得，AD＝BC＝ ， ，∵△ABG是等边三角形，∴AG＝AB＝6，∠BAG＝60°，∴∠GAT＝∠BAD－∠BAG＝30°；∵AF＝AE，∠EAF＝60°，∠BAG＝60°，∴∠BAE＝∠GAF＝60°－∠EAG，∴△ABE≌△AGF(SAS)，∴∠AGF＝∠ABE＝90°，∵点G是定点，∴点F在直线GF上运动，∴当DF⊥GF时，DF有最小值，∴此时有DF∥AG，∴∠FDT＝∠GAT＝30°，∵ ，∴ ，∴DF＝DT cos∠FDT＝9，∴DF的最小值为9．
答案图
二、填空题
11.3　
【解析】原式＝4－1＝3.
12.8－2 　
【解析】如解图，过点O作OD⊥AC于点D，由题意得，∠OAD＝45°，∵OD＝2，∴AD＝OD＝2，∴AO＝ ＝ ＝2 ，∴BN＝AB－AO－ON＝10－2 －2＝8－2 .
解图
13.
【解析】属于物理现象的有“熔化”“升华”两种，列表格如下，由表格可知，共有12种等可能的结果，从“熔化”“燃烧”“遗传”“升华”4种现象中同时任选2种，其中都属于物理现象的有2种，故都属于物理现象的概率是 ．
熔化 燃烧 遗传 升华
熔化 (熔化，燃烧) (熔化，遗传) (熔化，升华)
燃烧 (燃烧，熔化) (燃烧，遗传) (燃烧，升华)
遗传 (遗传，熔化) (遗传，燃烧) (遗传，升华)
升华 (升华，熔化) (升华，燃烧) (升华，遗传)
14.(1)3；
(2)(11，9，10)．
【解析】（1）若G0＝(4，7，10)，第一次操作结果为G1＝(5，8，8)，第二次操作结果为G2＝(6，6，9)，第三次操作结果为G3＝(7，7，7)，∴经过次3操作后游戏结束；
（2）若G0＝(4，8，18)，则G1＝(5，9，16)，G2＝(6，10，14)，G3＝(7，11，12)，G4＝(8，12，10)，G5＝(9，10，11)，G6＝(10，11，9)，G7＝(11，9，10)，G8＝(9，10，11)，G9＝(10，11，9)，G10＝(11，9，10)，…，由此看出从G5开始3个一循环，(2026－4)÷3＝674，∴G2026与G7相同，也就是(11，9，10)．
三、解答题
15.解：原式＝( - )·
＝ ·
＝ ·
＝ .
当a＝－ 时，原式＝ ＝ ＝－1.
16.解：(1)如图，△A1B1C1即为所作；
∵S△ABC∶S△A1B1C1＝1∶9，
∴△ABC与△A1B1C1的位似比为1∶3.
∵B(1，－3)，
∴B1(－3，9)；
答案图
(2)∵S△ABC＝2×2－ ×1×2－ ×1×2－ ×1×1＝ ，
∴S△A1B1C1＝
17.解：如答案图，连接MN，交AB于点E，
由题意得，CM＝DN＝1.5m，CD＝64.0m，∠C＝∠D＝∠CME＝∠ABC＝∠ABD＝∠END＝90°，
∴四边形CDNM，四边形CBEM，四边形DBEN 为矩形，
∴MN＝CD＝64.0m，BE＝CM＝1.5m，
在Rt△AME 中，∠AME＝30°， ，
∴ ，
在Rt△ANE 中，∠ANE＝25°， ，=∴ ，
∵MN＝ME+NE，
∴ ，
解得AE≈16.6m，
AB＝AE+BE≈16.6+1.5≈18.1(m)，
∴巨型花果篮的高度AB约为18.1m．
答案图
18.解：(1)如解图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
由题意可知，AM＝6，BN＝3∴ ＝ ，∴CN＝MN，
又∵A(m，6)，B(n，3)都在反比例函数y＝ (x＞0)上，∴6m＝3n，∴ ＝ ＝ ，∴OM＝MN，
∴OM＝MN＝NC，
又∵OC＝6，∴OM＝2，即m＝2，∴点A的坐标为(2，6)，
将A(2，6)代入y＝ 中得，k＝12，∴反比例函数的解析式为y＝ (x＞0)；
(2)如解图，连接OA，由(1)易得，点B的坐标为(4，3)，设一次函数解析式为y＝ax＋b ，
将点A(2，6)，B(4，3)代入，得 ，解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝－ x＋9，∴点D的坐标为(0，9)，
∴OD＝9，S△AOD＝ ×9×2＝9.
解图
19.解：(1)132，补全的频数分布直方图如答案图所示；
答案图
【解法提示】1000-(87+57+20+336+76+35+2+15+5+17)=350(株)，∵87+57+350=494(株)<500(株)，87+57+350+20=514(株)>501(株)，∴中位数在120≤x＜160中，∵将这1000个数据按从小到大排列后第500个数据为128，第501个数据为136，∴a= =132(粒).
(2)1×105×144÷103×25=3.6×105(克)，3.6×105克=360千克；
答：估计这块试验田所产稻谷的总质量为360千克；
(3)②④.
【解法提示】结合(1)中频数分布直方图可知，80≤x＜120这组的频数是350，在80≤x＜120中一共有40个数字，当每个数字出现8次时，总的频数为320<350，∴一个数据若是众数，则最少出现9次，∴b的值有可能在任一频数不小于9的组别中，∴b不一定在80≤x＜120这一组，①错误；b可能在160≤x＜200这一组，②正确；b可能在200≤x＜240这一组，③错误；b不可能在360≤x＜400这一组，④正确.
20.(1)证明：如答案图，连接AD，
∵∠BFD＝60°，
∴∠BAD＝∠BFD＝60°，
∵AB⊥CD，
∴∠AED＝90°， ＝ ，
∴∠ADE＝30°， ＝2 ，
∴∠CFD＝2∠ADC＝60°，
∴∠CFD＝∠BFD，
∴DF平分∠BFC；
答案图
(2)解：如答案图，连接BC，
∵DE＝GE，AB⊥CD，
∴∠EDG＝∠EGD＝45°，
∴∠CBF＝∠CDF＝45°，
由(1)知DF平分∠BFC，
∴∠BFC＝2∠BFD＝120°，
∴∠BCF＝180°－∠BFC－∠CBF＝15°，
∵∠BCD＝∠BFD＝60°，
∴∠DCF＝∠BCD＋∠BCF＝75°.
答案图
21.解：（1）10；
（2）2n+2；
【解法提示】
n 1 2 3 4 … n
不重叠三角形数量 4 6 8 10 … 2n+2
∴四边形内n个点把四边形分割成不重叠三角形的数量为2n+2；
（3）∵多边形内角和为（n-2）180°，
∴m边形的内角和可以表示为（m-2）180°，
∵周角＝360°，
∴m边形的内角和加上n个周角的和＝（m-2）180°+360n°，
∵三角形内角和为180°，
∴ ．
22.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°.
∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵GN⊥AF，∴∠AMN＝90°，∴∠MAN＋∠MNA＝90°，
∵∠BAE＋∠GAN＝∠BAD＝90°，∴∠GAN＝∠GNA，∴AG＝GN，
∵∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABD＋∠BAE＝∠ADB＋∠DAF，
即∠AGH＝∠AHG，∴AG＝AH，∴AH＝GN；
(2)证明：如解图，连接AC，
∵在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，∠EAF＝45°，∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAG＝∠CAF，
∵在正方形ABCD中，∠ABG＝∠ACF＝45°，∴△ABG∽△ACF，
∴ ＝ ，由(1)知AG＝AH，∴ ＝ ；
(3)解：由(1)知，AG＝GN，
∵GQ⊥AD，∴AQ＝NQ，∠AQG＝∠NQG，
设AQ＝NQ＝a，MN＝b，∵GM＝3MN，
∴AN＝2a，GM＝3b，GN＝4b，
∵GN⊥AF，∴∠AMG＝∠AMN＝90°，∴∠GQN＝∠AMN＝90°，
∵∠GNQ＝∠ANM，∴△GNQ∽△ANM，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∴ ＝ ，
∵∠GPM＝∠APQ，∠AQP＝∠GMP＝90°，∴△APQ∽△GPM，
∴ ＝ ＝ ＝ .
解图
23.解：(1)当k＝2时，把点P的横坐标x＝2 代入抛物线y1＝－ x2＋2中，
得y1＝－ ×(2 )2＋2＝1，∴点P在抛物线y1上；
(2)由题意，联立 ，得－ x2＋k＝－ x＋2k，
整理得x2－6x＋12k＝0，
∵抛物线y1与直线y2只有一个交点，
∴b2－4ac＝(－6)2－4×12k＝0，解得k＝ ；
(3)当k＝1时，y2＝－ x＋2，
∴点A和点B的坐标分别为(4，0)、(0，2).
设平移后得到的新抛物线解析式为y3＝－ x2＋bx＋c，代入点A、B的坐标，
得 ，解得 ，∴y3＝－ x2－ x＋2，
∴y3－y2＝－ x2－ x＋2－(－ x＋2)＝－ (x2－4x)＝－ (x－2)2＋ .
∵－ ＜0，∴y3－y2有最大值，最大值为 .
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2026年中考数学模拟试卷
班级：______________ 姓名：______________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.0，－1，4，－2这四个数中最小的是(　　)
A．0 B．－1 C．4 D．－2
2.2025年前两个月，安徽省“新三样”（电动汽车，锂离子蓄电池，光伏产品）合计出口131.9亿元，同比增长98.8%．其中数据“131.9亿”用科学记数法表示为（ ）
A．131.9×108 B．131.9×107
C．1.319×1011 D．1.319×1010
3.如图是由9个相同的小正方体组成的几何体的俯视图，每个数字表示的是下方小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
4.下列运算正确的是（ ）
A．4a－3a＝1 B．a4·a5＝a8 C．(a3)2＝a5 D．2a·4a＝8a2
5.若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　)
A.－1 B.1 C.－2或2 D.－3或1
6.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，则∠B的度数是（ ）
A.108° B.72° C.36° D.24°
7.已知反比例函数y＝ (a为常数，且a≠0)和一次函数y＝x＋b(b为常数)，若a－b＝1，则它们在同一直角坐标系中的图象可能是(　　)
8.如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A.AB∥DC，AD∥BC B.AB＝DC，AD＝BC
C.AO＝CO，BO＝DO D.AB∥DC，AD＝BC
9.若a、c为非零实数，则函数y＝ax2＋4x＋c与y＝－cx＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)
10.如图，矩形ABCD中，AB＝6， ，点E在线段BC上运动（含B，C两点），连接AE，以点A为旋转中心，将线段AE逆时针旋转60°到AF，连接EF，DF，则线段DF的最小值为（ ）
A．6 B．9 C．5 D．9
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
11.计算： －20＝__________．
12.中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”，如图所示．
问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M、N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为______丈．
13.从”熔化”“燃烧”“遗传”“升华”4种现象中同时任选2种，都属于物理现象的概率是______．
14.在一次数学游戏中，老师在A，B，C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a0，b0，c0，记为G0＝(a0，b0，c0)．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个(若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果)，记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束，否则继续重复上述操作．则n次操作后的糖果数记为Gn＝(an，bn，cn)．
(1)若G0＝(4，7，10)，则第______次操作后游戏结束；
(2)小明发现：若G0＝(4，8，18)，则游戏永远无法结束，那么G2026＝______．
解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分
15.先化简，再求值：( ＋ )· ，其中a＝－ .
16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(2，－1)、B(1，－3)、C(3，－2)，△ABC与△A1B1C1位于不同象限且关于点O位似，且△ABC与△A1B1C1的面积比为1∶9.
(1)请在图中画出△A1B1C1，并求点B1的坐标；
(2)求△A1B1C1的面积．
17.中华人民共和国成立76周年，为营造隆重热烈、喜庆祥和的氛围，天安门广场及长安街沿线布置花坛，以广场中心的“祝福祖国”巨型花果篮为主景，篮内主花材料选取了十种花卉和十种水果，象征十全十美，体现花团锦簇、硕果累累的美好寓意．某数学兴趣小组的同学利用假期开展了“测量巨型花果篮的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表：
课题 测量巨型花果篮的高度
测量方案 如图，AB代表巨型花果篮的高度，在地面C，D处用测角仪分别测得巨型花果篮顶端A的仰角α，β，并测得CD之间的距离，MC，ND均代表测角仪的高度．
说明：点A，B，C，D，M，N在同一竖直平面内， 点B，C，D在同一直线上
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角α的度数 30.3° 29.7° 30°
仰角β的度数 24.9° 25.1° 25°
C，D之间的直线距离 64.1m 63.9m 64.0m
测角仪的高度 1.5m
参考数据 sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47， ≈1.73
请根据上表计算巨型花果篮的高度AB(结果精确到0.1m)．
18.如图，一次函数与反比例函数y＝ (x＞0)的图象交于A(m，6)，B(n，3)，与x轴交于点C(6，0)，与y轴交于点D.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接OA，求S△AOD的面积.
19.某农业研究机构为了提升稻米的品质，培育出了一种新型的水稻品种.研究机构对种植了该品种水稻的试验田进行了详细的调查.研究人员随机选取了1000株成熟的水稻植株，并统计了其每株水稻上的稻谷数量(数据均为正整数，单位：粒).以下是根据调查数据整理的部分信息：
①每株水稻上稻谷数量的频数分布直方图如图(稻谷数量用x表示，数据分成11组：0≤x＜40，40≤x＜80，80≤x＜120，120≤x＜160，160≤x＜200，200≤x＜240，240≤x＜280，280≤x＜320，320≤x＜360，360≤x＜400，400≤x≤440)；
平均数 中位数 众数
稻谷数量 (单位：粒) 144 a b
②120≤x＜160这一组的数据如下：
120，124，124，128，128，128，136，136，136，136，140，140，140，140，144，144，148，148，152，156；
③这1000株成熟的水稻植株每株水稻上稻谷数量的平均数、中位数、众数如上表.
根据以上信息，回答下列问题：
(1)a的值为______，并补全频数分布直方图；
(2)经统计某块试验田共有该品种水稻植株10万株且均已成熟，每千粒稻谷的总质量约为25.0克，估计这块试验田所产稻谷的总质量为多少千克？
(3)现有下面四个结论：①b的值一定在80≤x＜120这一组；②b的值可能在160≤x＜200这一组；③b的值不可能在200≤x＜240这一组；④b的值不可能在360≤x＜400这一组.其中所有正确结论的序号是______.
20.如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，点F是⊙O上一点，连接BF，CF，DF，∠BFD＝60°.
(1)求证：DF平分∠BFC；
(2)设AB交DF于点G，且DE＝GE，求∠DCF的度数．
21.数学兴趣小组开展探究活动，主题是“四边形内n个点可把四边形分割成不重叠三角形数量”问题．指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下：
示意图
n 1 2 3 4
不重叠三角形数量 4 6 8 ______
（1）把上面的表格补充完整；
（2）四边形内n个点把四边形分割成不重叠三角形数量可用含n的代数式表示为______；
（3）兴趣小组灵活运用数学知识，探究归纳出了m（m≥3）边形的内部的n个点，把m边形分割成互不重叠的小三角形个数的一般规律，分析过程如下：
①m（m≥3）边形的内部的n个点，把m边形分割成互不重叠的x个三角形；
②三角形的内角和为180°，x个三角形的总内角和可以表示为180x°；
③m边形的内角和可以表示为______°；
④m边形内部的每个点都对应一个周角，n个点对应n个周角，其度数可以表示为360n°；
⑤这x个三角形正好拼成了内部有n个点的m边形，所以这x个三角形的总内角和又可以看成是m边形的内角和加上n个周角的和，即______；
⑥综上可得，x＝______．
阅读以上内容，请在③，⑤，⑥的横线上填写所缺内容．
22.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝DF，AE、AF分别与BD交于点G、H，过点G作GN⊥AF，垂足为M，交AD于点N.
(1)求证：AH＝GN；
(2)若∠EAF＝45°，求证： ＝ ；
(3)如图2，过点G作GQ⊥AD，垂足为Q，交AF于点P.若GM＝3MN，求 的值．
23.抛物线y1＝－ x2＋k和直线y2＝－ x＋2k(k＞0)位于同一坐标系，直线y2分别与x轴、y轴交于点A、B.
(1)若k＝2，判定点P( k，1)是否在抛物线y1上，请说明理由；
(2)若抛物线y1与直线y2只有一个交点，求k的值；
(3)当k＝1时，平移抛物线y1，使得新抛物线y3经过点A和点B，求y3－y2的最大值．
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