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第十一章 不等式与不等式组
11.1 不等式
回顾旧知
1. 什么是等式？什么是方程？
2. 什么是方程的解？一元一次方程求解的依据是什么？
5. 等式的性质有哪些？
3. 什么是数轴？数轴上的点与实数之间有什么关系？
4. 实数的大小与实数在数轴上所对应的点的位置有什么关系？
新课引入
一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6:00时汽车距前方的A地
210km，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
汽车要在8:00之前驶过A地. 设车速是xkm/h，
从时间上看，就是以xkm/h的速度行驶210km的时间不到2h，可以表示为
从路程上看，就是以xkm/h的速度行驶2h的路程要超过210km，可以表示为2x>210 ②
如这样用符号"<"或">"表示不等关系的式子，叫作不等式. 像a≠3这样用"≠"表示不等关系的式子，也是不等式. 我们常用不等式来表示不等关系.
合作探究
用不等式表示下列不等关系：
(1) a与15的和大于27； (2) b的一半与3的差是负数； (3) -4与m的积不大于8；
(4) 经检测，某公园的环境噪声在50dB(分贝)以下；
(5) 铜陵市有公交车1200辆，其中新能源公交车所占比例超过66%；
(6) 某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333hm2猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍.
(1) a+15>27 (2) (3) -4m≤8
(4) 设该公园的环境噪声为xdB，则 x<50 (5) 设新能源公交车有x辆，则 x>1200×66%
(6) 设这个县原有猕猴桃种植面积为x hm2，则 1333>18x
用不等式表示下列数量关系：
(1) x的5倍大于－7；
(2) a与b的和的一半小于－1；
(3) 长、宽分别为x cm，y cm的长方形的面积小于边长为a cm的正方形的面积.
合作探究
讨论含有字母的不等式，如 2x>210
给出字母x的一些数值，
发现字母的有些数值可以使得不等式 2x>210成立，如x=111，106，139，等等；
有些数值则使得不等式 2x>210不成立. 如 x=103，95，80，等等.
使得不等式成立的未知数的值叫作不等式的解.
如 x=110，106，130都是不等式的解. x=104，100，80都不是不等式的解.
下列数中哪些是不等式 3x+4≤x+12的解？哪些不是？
-4，-2.5，0，1，2.5，4，4.1，4.3，4.9，8，100.
继续讨论不等式 2x>210
合作探究
给出x的一些数值，判断哪些是不等式 2x>210的解. 填写下表，并观察不等式 2x>210的解，都满足什么条件？
x ... 90 100 104 104.9 105 105.1 106 110 130 ...
2x ... ...
我们发现，当x>105时，不等式2x>210总成立；而当x<105或者x=105时，不等式不成立. 这就是说，任何一个大于105的数都是不等式2x>210的解，任何一个小于或等于105的数都不是不等式2x>210的解.
由此可知：在前面的问题中，汽车要在8:00之前驶过A地，车速应大于105km/h.
合作探究
继续讨论不等式 2x>210
通常情形下，一元一次方程只有一个解，如2x=210有且只有一个解，就是x=105.
但是，不等式与方程不同，由前面的探究显然可知：不等式2x>210的解有无数个.
一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 求不等式解集的过程叫作解不等式.
如：x>105是不等式2x>210的解集.
不等式的解和不等式的解集一样吗？彼此之间有什么联系？举例说明.
不等式的解与解不等式一样吗？
分组讨论下面两个问题：
请直接说出下列不等式的解集：
(1) x+3>6 (2) 2x<8 (3) x-2>0
合作探究
如何在数轴上表示 x>3
实数与数轴上的点一一对应. 给出一个实数，在数轴上必定有一个点与之对应，给出数轴上的一个点，必定有一个实数与之对应.
数轴上的点从左到右的位置顺序对应着点所对应的实数从小到大的大小顺序. 简单来说，就是数轴上左边的点所对应的实数必定小于右边的点所对应的实数.
x>3说明实数x所对应的点在
3所对应的点的右边.
3不在x>3的范围内，标注为空心圆券
例如：x≤5在数轴上的表示.
方向向右
方向向左
5标注为实心点
小试牛刀
1. 直接说出下列各不等式的解集，并把各自的解集在数轴上表示出来.
(1) x+2>6 (2) 2x<-8 (3) x-2>0.1 (4) x≥8
2. 用数轴表示不等式x＜2的解集正确的是(　A　)
小试牛刀
4. 思考：已知解集为x>2并且x≤6.2，且x≠4. 在数轴上把这个解集表示出来.
3. 已知关于 x的不等式的解集用数轴表示如图所示，你能写出此解集吗
合作探究
对于一些简单的不等式，可以直接得到它的解集，如x+3>6，2x<8等等. 但是，对于很多复杂的不等式，求解就比较困难.
类似于解方程需要依据等式的性质，解不等式也要依据不等式的性质.
关于不等式的两个基本事实：
(1) 交换不等式的两边，不等号的方向改变：
如果a>b，那么b2，可得 2(2) 不等关系可以传递：
如果a>b，b>c，那么a>c. 例如：由 m>n，n>6，可得 m>6 .
合作探究
用">"或"<"填空，并观察不等号
的方向是否改变，总结其中的规律：
(1) 7>2 (2) -3<4
7+3 2+3 -3+5 4+5
7+0 2+0 -3+0 4+0
7+(-4) 2+(-4) -3+(-9) 4+(-9)
不等式两边加同一个数，不等号的方向 ；不等式的两边减同一个数，不等号的方向 .
由于加、减法可以相互转化，所以不等式两边加同一个数和不等式两边减同一个数其实是一样的.
不等式的性质1 不等式的两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
如果 a>b，那么 a±c>b±c.
向右平移c个单位
水果店的小王从水果批发市场购进100kg梨
和84kg苹果，在卖出akg梨和akg苹果后，
又购进了梨和苹果各bkg，
请用"＜"或 "＞"填空：
100-a 84-a 100-a+b 84-a+b
合作探究
用">"或"<"填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律：
(1) 9>2 (2) -2<6
9×3 2×3 -2×5 6×5
9×(-4) 2×(-4) -2×(-9) 6×(-9)
不等式两边乘同一个数，不等号的方向 ；不等式的两边乘同一个数，不等号的方向 .
由于除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，并且这个数的倒数和它的符号相同，因而上述结论对于不等式两边除以同一个不为0的数的情形仍然成立.
已知苹果的价格是 a元/kg，梨的价格是 b元/kg，且a＞b. 小李买了苹果和梨各9kg ，则买哪种水果花钱较多 用不等号填空：9a 9b.
在某次月考中，甲、乙两同学的总得分分别为a，b，其中a＜b. 已知该次月考共考了七门科目，各科目都是百分制. 则哪位同学的平均分高
用不等号填空：a÷7 b÷7.
合作探究
不等式的性质2 不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
如果 a>b，c>0，那么 ac>bc (或 ).
不等式的性质3 不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
如果 a>b，c<0，那么 ac已知m>n，用不等号填空，并说明依据：
(1) m-5 n-5 (2) 6m 6n (3)
(4) m+3n 4n (5) 2m-5 2n-5 (6) -3.5n+1 -3.5m+1
小试牛刀
1. 已知a＞b，比较下列两个式子的大小，并说明依据.
(1) a + 3与 b + 3 ； (2) -2a与 -2b.
2. 已知实数 a，b满足 a＋1＞b＋1，则下列选项错误的是( )
A. a＞b B. a＋2＞b＋2 C. a－3＞b－3 D. 2a＞3b
3. 若x＞-2，则下列不等式中错误的是(　D　)
A. 3x>-6 B. x+9>7 C. D. -7x>14
4. 由ac>bc得到a6. 用不等号填空：若x(1) xc2 yc2 (2) (3) x(c2+1) y(c2+1)
5. 已知m>3，利用不等式的性质写出下列代数式的取值范围：
(1) m+5 (2) (3) -2m (4) 3m-4
合作探究
利用不等式的性质解下列不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来：
(1) 3x<2x+1 (2) (3) -4x>3
(1) 根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以
3x-2x<2x+1-2x x<1
(2) 根据不等式的性质2，不等式两边乘 ，不等号的方向不变，所以
x>75
(3) 根据不等式的性质3，不等式两边除以-4，不等号的方向改变，所以
-4x÷(-4)<3÷(-4) x<
解关于x的不等式，就是依据不等式的性质，将不等式逐步化为x>m(或x合作探究
"≥"、"≤"也是不等号.
如：x≤4表示x<4或者x=4，读作x小于等于4，也就是x不大于4.
x≥0表示x>0或者x=0，读作x大于等于0，也就是x不小于0(x是非负数).
"a≥b"及"a≤b"形式的不等式，同样具有不等式的类似性质，可利用不等式的性质进行类似的变形.
看右图，设汽车在此行车道行驶时，车速v(km/h)应该满足的条件：
. 或者表示为 .
回到本节开始的问题，如果汽车所行驶的道路最高限速是120km/h，那么车速x(km/h)应满足什么条件？
如图，一个长方体形状的鱼缸长10dm，宽3.5dm，高7dm. 若鱼缸内已有水的高度为1dm，现准备向鱼缸内继续注水. 用V(dm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示.
合作探究
某日铜陵市的最低气温是19℃，最高气温是28℃，用不等式表示这天的
气温t(℃)的变化范围.
小试牛刀
1. 利用不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
(1) x-1≥2；　　　(2) 1-x≥3； (3) 2x≥-3； (4)
2. 当x满足条件 时，代数式 的值为非负数.
4. 陶瓷和陶器被誉为"土与火的艺术"，陶瓷的制作工艺
离不开人们对火焰的利用和温度的控制. 我国古代窑工根
据火焰的不同色调，就可以推测窑内的大致温度，其对照情况如右表所示. 设窑内温度为t℃.
(1) 用不等式表示当火焰色调为"暗赤至樱桃红"时，窑内温度的范围；
(2) 烧制某瓷器时，窑内温度的范围是1260≤t≤1310，窑内火焰的色调是怎样的？
火焰色调 温度t(℃)
最初赤色 475
最初赤色至暗赤 475~650
暗赤至樱桃红 650~750
樱桃红至鲜红 750~820
鲜红至橘黄 820~900
橘黄至黄色 900~1090
黄色至浅黄色 1090~1320
浅黄色至白色 1320~1540
灰白色 1540以上
3. 一瓶装饮料的标签上标注其容量为(560±3)ml，设这瓶未开盖的饮料的实际容量为V(ml)，且这瓶饮料合格，那么V的范围是 .
再 见

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