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21．2.2　平行四边形的判定
知识点1?　两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1．在四边形ABCD中，AD∥BC.要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件( )
A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠B＋∠A＝180° D．∠A＋∠D＝180°
小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是( )
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
3．(河北邢台任泽区期中)如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示．已知∠ABD＝118°，∠GFE＝62°，BD∥CE∥GF.求证：四边形BCED是平行四边形.
　
知识点2?　两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4．下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB＝AD，CD＝BC
B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝AD，∠B＝∠D
D．AB＝CD，AD＝BC
5．若一个四边形的边长依次为a，b，c，d，且(a－c)2＋|b－d|＝0，则这个四边形为 .
知识点3?　两组对角分别相等的四边形是平行四边形
6．(河北期末)如图，甲、乙二人给出了条件来证明四边形ABCD为平行四边形，下列判断正确的是( )
甲：AB∥CD，AD＝BC；乙：∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶1∶2
A．甲可以，乙不可以
B．甲不可以，乙可以
C．两人都可以
D．两人都不可以
7．在下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
知识点4?　对角线互相平分的四边形是平行四边形
8．(河北中考)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3.
∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，
∴①______．
又∠4＝∠5，MA＝MC，
∴△MAD≌△MCB(②______).
∴MD＝MB.∴四边形ABCD是平行四边形．
若以上解答过程正确，①②应分别为( )
A．∠1＝∠3，AAS
B．∠1＝∠3，ASA
C．∠2＝∠3，AAS
D．∠2＝∠3，ASA
9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.求证：
(1)OD＝OB.
(2)四边形ABCD是平行四边形．
知识点5?　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
10．(河北邯郸期末)根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是( )
如图，给出了四边形ABCD的部分数据，若使得四边形ABCD为平行四边形，还需要一条线段的长度是3，这条线段是( )
A．AB B．BC
C．CD D．BD
易错易混点　不能在网格中准确画出平行四边形
12．(河北石家庄桥西区校级一模)在如图的网格中，以格点A，B，C，D，E，F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
13．(广西贵港港北区期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，M是BC上一点，且BM＝9 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t(s)，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是( )
A． B．3 C．3或 　D．或
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝ 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
15．如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，DE平分∠ADC.
(1)如图1，若∠A＝90°，∠B＝100°，∠ADE＝40°，求∠C的度数．
(2)如图2，点F在CD上，BF∥DE，AD＝AE.求证：四边形BFDE为平行四边形．
　
如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B－C的方向以每秒2个单位长度的速度运动．
(1)若动点M，N同时出发，经过几秒第一次相遇？
(2)若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在△ABC的边上是否存在一点D，使得以点A，M，N，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间t及点D的具体位置；若不存在，请说明理由．
【母题P62练习T2】如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：四边形AFCE是平行四边形.
【变式】(福建泉州晋江市期末)如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，BE＝DF，AE＝CF.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
(几何直观)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
(1)若PE⊥BC，求BQ的长；
(2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．21．2.2　平行四边形的判定
知识点1?　两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1．在四边形ABCD中，AD∥BC.要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件(D)
A．∠A＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠B＋∠A＝180° D．∠A＋∠D＝180°
小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是(B)
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
3．(河北邢台任泽区期中)如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示．已知∠ABD＝118°，∠GFE＝62°，BD∥CE∥GF.求证：四边形BCED是平行四边形.
　
∵CE∥GF，∴∠CEF＋∠GFE＝180°.
∵∠GFE＝62°，∴∠CEF＝180°－∠GFE＝118°.
∵BD∥CE，∠ABD＝118°，∴∠ACE＝∠ABD＝118°，
∴∠ACE＝∠CEF＝118°，∴BC∥DE，
即四边形BCED是平行四边形．
知识点2?　两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4．下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是(D)
A．AB＝AD，CD＝BC
B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝AD，∠B＝∠D
D．AB＝CD，AD＝BC
5．若一个四边形的边长依次为a，b，c，d，且(a－c)2＋|b－d|＝0，则这个四边形为平行四边形.
知识点3?　两组对角分别相等的四边形是平行四边形
6．(河北期末)如图，甲、乙二人给出了条件来证明四边形ABCD为平行四边形，下列判断正确的是(B)
甲：AB∥CD，AD＝BC；乙：∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶1∶2
A．甲可以，乙不可以
B．甲不可以，乙可以
C．两人都可以
D．两人都不可以
7．在下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(D)
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
知识点4?　对角线互相平分的四边形是平行四边形
8．(河北中考)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3.
∵∠CAN＝∠ABC＋∠3，∠CAN＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，
∴①______．
又∠4＝∠5，MA＝MC，
∴△MAD≌△MCB(②______).
∴MD＝MB.∴四边形ABCD是平行四边形．
若以上解答过程正确，①②应分别为(D)
A．∠1＝∠3，AAS
B．∠1＝∠3，ASA
C．∠2＝∠3，AAS
D．∠2＝∠3，ASA
9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.求证：
(1)OD＝OB.
(2)四边形ABCD是平行四边形．
(1)∵O是AC中点，∴OA＝OC.
∵AE＝CF，∴OE＝OF.
∵DF∥BE，∴∠OEB＝∠OFD.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF(AAS)，∴OD＝OB；
(2)∵OA＝OC，OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形．
知识点5?　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
10．(河北邯郸期末)根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是(C)
如图，给出了四边形ABCD的部分数据，若使得四边形ABCD为平行四边形，还需要一条线段的长度是3，这条线段是(B)
A．AB B．BC
C．CD D．BD
易错易混点　不能在网格中准确画出平行四边形
12．(河北石家庄桥西区校级一模)在如图的网格中，以格点A，B，C，D，E，F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为(B)
A．2 B．3
C．4 D．5
13．(广西贵港港北区期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8 cm，BC＝12 cm，M是BC上一点，且BM＝9 cm，点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t(s)，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是(D)
A． B．3 C．3或 　D．或
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝1或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
15．如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，DE平分∠ADC.
(1)如图1，若∠A＝90°，∠B＝100°，∠ADE＝40°，求∠C的度数．
(2)如图2，点F在CD上，BF∥DE，AD＝AE.求证：四边形BFDE为平行四边形．
　
(1)∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.
∵∠A＝90°，∠B＝100°，∠ADE＝40°，
∴∠ADC＝2∠ADE＝80°，
∴∠C＝360°－∠A－∠B－∠ADC＝360°－90°－100°－80°＝90°.
(2)∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.
∵∠ADE＝∠CDE，∴∠AED＝∠CDE，
∴AB∥CD.
∵点E在AB上，点F在CD上，∴EB∥FD.
∵BF∥DE，∴四边形BFDE为平行四边形．
如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B－C的方向以每秒2个单位长度的速度运动．
(1)若动点M，N同时出发，经过几秒第一次相遇？
(2)若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在△ABC的边上是否存在一点D，使得以点A，M，N，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间t及点D的具体位置；若不存在，请说明理由．
(1)第一次相遇时间＝＝(s)；
答：若动点M，N同时出发，经过 s两点第一次相遇；
(2)如图2，当点M在线段AB上，点N在AC上时：∵四边形ANDM为平行四边形，∴DM＝AN，DM∥AN.
∵△ABC为等边三角形，△BMD和△NCD是等边三角形，
∴BM＋CN＝CN＋AN＝8，∴2t＋3t＝8，
∴t＝，此时BD＝；
如图3，当点M在线段AC上，点N在AB上时，
同理，△BND和△MCD是等边三角形，
AM＝3t－8，AN＝2t－8，
∴AM＋AN＝AC＝8，3t－8＋2t－8＝8，t＝，此时BD＝.
如图4，当点M在线段BC上，点N在AB上时，
同理，△BMN和△MCD是等边三角形，
CM＝3t－16，AN＝2t－8，∴CM＝AN.
3t－16＝2t－8，t＝8＞7.5(不合题意，舍去).
综上所述，运动了 s或 s时，A，M，N，D四点能构成平行四边形，此时点D在BC上，且BD＝或.
图1
　图2
　图3
　图4
【母题P62练习T2】如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：四边形AFCE是平行四边形.
∵AE⊥BD，BD⊥CF，∴AE∥CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBF.
∵AE⊥BD，BD⊥CF，AD＝BC，
∠ADB＝CBF，∴△BCF≌△DAE，∴AE＝CF.
∵AE∥CF，AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．
【变式】(福建泉州晋江市期末)如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，BE＝DF，AE＝CF.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AB＝CD，∠BAC＝∠DCF，
∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
(几何直观)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
(1)若PE⊥BC，求BQ的长；
(2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(1)作AM⊥BC于点M，设AC交PE于点N.如图所示．
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴∠C＝45°＝∠B，
∴AB＝AC，
∴BM＝CM，∴AM＝BC＝5.
∵AD∥BC，∴∠PAN＝∠C＝45°.
∵PE⊥BC，∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5－t.
∵CE＝CQ－QE＝2t－2，∴5－t＝2t－2，
解得t＝，所以BQ＝BC－CQ＝10－2×＝；
(2)存在，t＝4或12.理由如下：
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP＝BE，
∴t＝10－2t＋2或t＝2t－2－10，
解得t＝4或12，
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12.

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