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21．2.1　平行四边形及其性质
知识点1?　平行四边形的定义
1．(吉林期中)如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合部分构成一个四边形，则判定这个四边形是平行四边形的理由是两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
2．如图，在 ABCD中，EF∥AD，MN∥AB，那么图中共有9个平行四边形．
知识点2?　平行四边形的性质
3．在 ABCD中，已知∠A－∠B＝20°，则∠C＝(C)
A．60° B．80° C．100° D．120°
在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AD＝5，AC＝10，BD＝6，△BOC的周长为(A)
A．13 B．16
C．18 D．21
(河北承德期末)如图，在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E.
(1)求证：CD＝CE；
(2)若点E是BC的中点，∠C＝110°，求∠DAE的度数．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADE＝∠DEC.
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠DEC＝∠EDC，∴CD＝CE；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠B＋∠BAD＝180°.
∵∠C＝110°，
∴∠B＝180°－110°＝70°.
∵BE＝CE，CE＝CD，∴AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA＝(180°－70°)÷2＝55°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝110°－55°＝55°.
知识点3?　平行线间的距离
6．(河北邯郸二模)如图，已知点A在直线a上，C，B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a，b两直线的距离可以是(D)
A．8 B．6 C．5 D．4
7．如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠ABC＝135°，AB＝5.求l1和l2之间的距离．
如图，过点B作BD⊥l2于点D.
∵直线l1∥l2，BD⊥l2，
∴∠BDA＝∠DBC＝90°.
∵∠ABC＝135°，
∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝45°，
∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD.
在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∴2BD2＝52，∴BD＝，即l1和l2之间的距离为.
易错易混点　确定两平行线间的距离易忽略分类讨论的情况
8.已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为5 cm，b与c之间的距离为3 cm，则a与c之间的距离是(C)
A．2 cm B．8 cm
C．2 cm或8 cm D．以上都不对
9.(河北秦皇岛山海关区一模)如图，在平行四边形内部选取一点O，使得OA＋OB＋OC＋OD最小，则点O的位置在(C)
A．AC边上靠近A
B．AC边上靠近C
C．AC与BD的交点
D．A，B，C，D中任意一点
如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积是(C)
A．12 B．16 C．24 D．32
如图，将 ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是(4，0)，点C的坐标是(1，3)，则点B的坐标是(5，3)．
如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F.
(1)若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数；
(2)求证：AE＝CF.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAM＝∠AMB.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAM＝∠DAM，
∴∠AMB＝∠BAM.
∵∠ABC＝70°，∠AMB＋∠BAM＋∠ABC＝180°，
∴∠AMB＝(180°－∠ABC)＝×(180°－70°)＝55°；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABE＝∠CDF.
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE＝CF.
13．(河北期末)如图，在 ABCD中，G，H分别是AC的三等分点，GE∥BC交AB于点E，HF∥AD交CD于点F.
(1)求证：△AEG≌△CFH；
(2)若EG＝2，∠ACB＝60°，∠BAC＝45°，求AC的长．
(1)∵G，H分别是AC的三等分点，
∴AG＝GH＝HC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠EAG＝∠FCH.
∵GE//BC，∴∠EGH＝∠GHF，
∴∠AGE＝∠CHF，
∴△AEG≌△CFH(ASA)；
(2)如图，过点E作EN⊥AC于点N，
∵GE//BC，
∴∠ACB＝∠AGE＝60°.
∵EN⊥AC，∴∠GEN＝30°，
∴NG＝GE＝1，EN＝NG＝.
∵∠BAC＝45°，EN⊥AC，
∴AN＝EN＝，∴AG＝＋1.
∵G，H分别是AC的三等分点，
∴AC＝3AG＝3＋3.
【母题P58例2】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OE＝OF.
∵在 ABCD中，AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.
又OA＝OC，∴△AOE≌△COF.
∴OE＝OF.
【变式】(河北廊坊香河县期末)已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，BE＝DF，求证：AE∥CF.
在平行四边形ABCD中，
∵AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF.
∵BE＝DF，∴DE＝BF.
在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF.
14．(推理能力)问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.
答案：EF＝2.
探究：(1)把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
(2)把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
(1)①如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE.
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD＝5.
同理BC＝CF＝5.
∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝DE＋CF＝10.
　
②如图2所示：
∵点E与点C重合，易证DE＝DC＝AD＝5，
CF＝BC＝5，
∴点F与点D重合，
∴EF＝DC＝5；
(2)分三种情况：
①如图3所示：同(1)得AD＝DE＝CF.
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴＝；
　　
②如图4所示：同(1)得AD＝DF＝CE.
∵DE＝FE＝CF，
∴＝；
图5
③如图5所示：
同(1)得AD＝DE＝CF.
∵DF＝DC＝CE，
∴＝2.
综上所述，的值为或或2.21．2.1　平行四边形及其性质
知识点1?　平行四边形的定义
1．(吉林期中)如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合部分构成一个四边形，则判定这个四边形是平行四边形的理由是 ．
2．如图，在 ABCD中，EF∥AD，MN∥AB，那么图中共有 个平行四边形．
知识点2?　平行四边形的性质
3．在 ABCD中，已知∠A－∠B＝20°，则∠C＝( )
A．60° B．80° C．100° D．120°
在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AD＝5，AC＝10，BD＝6，△BOC的周长为( )
A．13 B．16
C．18 D．21
(河北承德期末)如图，在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E.
(1)求证：CD＝CE；
(2)若点E是BC的中点，∠C＝110°，求∠DAE的度数．
知识点3?　平行线间的距离
6．(河北邯郸二模)如图，已知点A在直线a上，C，B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a，b两直线的距离可以是( )
A．8 B．6 C．5 D．4
7．如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠ABC＝135°，AB＝5.求l1和l2之间的距离．
易错易混点　确定两平行线间的距离易忽略分类讨论的情况
8.已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为5 cm，b与c之间的距离为3 cm，则a与c之间的距离是( )
A．2 cm B．8 cm
C．2 cm或8 cm D．以上都不对
9.(河北秦皇岛山海关区一模)如图，在平行四边形内部选取一点O，使得OA＋OB＋OC＋OD最小，则点O的位置在( )
A．AC边上靠近A
B．AC边上靠近C
C．AC与BD的交点
D．A，B，C，D中任意一点
如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积是( )
A．12 B．16 C．24 D．32
如图，将 ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是(4，0)，点C的坐标是(1，3)，则点B的坐标是 ．
如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F.
(1)若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数；
(2)求证：AE＝CF.
13．(河北期末)如图，在 ABCD中，G，H分别是AC的三等分点，GE∥BC交AB于点E，HF∥AD交CD于点F.
(1)求证：△AEG≌△CFH；
(2)若EG＝2，∠ACB＝60°，∠BAC＝45°，求AC的长．
【母题P58例2】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OE＝OF.
【变式】(河北廊坊香河县期末)已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，BE＝DF，求证：AE∥CF.
14．(推理能力)问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长.
答案：EF＝2.
探究：(1)把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
(2)把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．

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