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21．1.2　多边形及其内角和
知识点1?　多边形及其相关概念
1．(山东滨州滨城区校级月考)下列多边形中，不是凸多边形的是( )
2．(河北邯郸涉县期末)若一个n边形从一个顶点最多能引出4条对角线，则n的值为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
3．从一个八边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以分割成 个三角形．
知识点2?　正多边形
4．下列图形为正多边形的是( )
5．(江苏宿迁宿城区期末)若正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是 ．
知识点3?　多边形的内角和与外角和
6．一个多边形的外角和是内角和的2倍，这个多边形的边数是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
7．十二边形的内角和比外角和多( )
A．1 620° B．1 440°
C．1 260° D．1 800°
8．图1所示是厨房三角落地置物架，图2是置物架搁物板示意图，其中∠A＝∠B＝∠E＝90°，∠C＝∠D，则∠C的度数是 °.
　
9．(河北邢台沙河市期末)已知一个多边形的内角和是外角和的3倍．
(1)求这个多边形的边数；
(2)若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是 ．
易错易混点　斜面问题中因漏解而致错
10．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是 ．
11．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8 mm，则正六边形ABCDEF的边长为( )
　
A．2 mm
B．2 mm
C．2 mm
D．4 mm
12．如图所示为用镜子拼成的正八边形，点B为AF上一点，现从点B射出一束光线，经过两次反射后，到达AG边上的E点，若∠ABC＝65°，则∠AED＝ °.
13．(广东深圳宝安区校级开学)从六边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m＋n＝ ．
14．(河北保定安国市期末)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
【母题P53习题21.1T7】如图，五边形ABCDE的各内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求x的值．
【变式】完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中∠1＋∠2＝160°，则∠C＋∠D＋∠E＝( )
A．300°　　　　　B．340°
C．200° D．260°
15．(运算能力)(湖南衡阳雁峰区校级月考)如图，在四边形ABCD中，BE和DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，BE与DF相交于点G，若∠BAD＝α，∠BCD＝β.
(1)如图1，若α＋β＝168°，求∠MBC＋∠NDC的度数；
(2)如图1，若∠BGD＝35°，试猜想α，β所满足的数量关系式，并说明理由；
(3)如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．
　21．1.2　多边形及其内角和
知识点1?　多边形及其相关概念
1．(山东滨州滨城区校级月考)下列多边形中，不是凸多边形的是(B)
2．(河北邯郸涉县期末)若一个n边形从一个顶点最多能引出4条对角线，则n的值为(B)
A．8 B．7 C．6 D．5
3．从一个八边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以分割成6个三角形．
知识点2?　正多边形
4．下列图形为正多边形的是(D)
5．(江苏宿迁宿城区期末)若正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是6．
知识点3?　多边形的内角和与外角和
6．一个多边形的外角和是内角和的2倍，这个多边形的边数是(D)
A．6 B．5 C．4 D．3
7．十二边形的内角和比外角和多(B)
A．1 620° B．1 440°
C．1 260° D．1 800°
8．图1所示是厨房三角落地置物架，图2是置物架搁物板示意图，其中∠A＝∠B＝∠E＝90°，∠C＝∠D，则∠C的度数是135°.
　
9．(河北邢台沙河市期末)已知一个多边形的内角和是外角和的3倍．
(1)求这个多边形的边数；
(2)若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是135°．
(1)设这个多边形为n边形，
由题意，得(n－2)×180°＝360°×3，
解得n＝8，即这个多边形是八边形；
易错易混点　斜面问题中因漏解而致错
10．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是5，6，7．
如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7.
　　
11．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8 mm，则正六边形ABCDEF的边长为(D)
　
A．2 mm
B．2 mm
C．2 mm
D．4 mm
12．如图所示为用镜子拼成的正八边形，点B为AF上一点，现从点B射出一束光线，经过两次反射后，到达AG边上的E点，若∠ABC＝65°，则∠AED＝70°.
如图，
设CD上方的正八边形的顶点依次为H，I，J，BC与DE的交点为K.由题意，知八边形是正八边形，
∴∠CHI＝∠HIJ＝∠IJD＝∠BAE＝135°.
设∠BCD＝x，∠CDE＝y，
由光的反射定理，可知∠DCH＝(180°－∠BCD)＝90°－x，∠CDJ＝(180°－∠CDE)＝90°－y.
∵多边形CHIJD是五边形，
∴∠CHI＋∠HIJ＋∠IJD＋∠DCH＋∠CDJ＝540°，即3×135°＋90°－x＋90°－y＝540°，化简，得x＋y＝90°，
∴∠CKD＝180°－(∠BCD＋∠CDE)＝180°－(x＋y)＝90°，
∴∠BKE＝∠CKD＝90°.
∵多边形AEKB是四边形，
∴∠AEK＝360°－(∠BKE＋∠BAE＋∠ABC)＝360°－(90°＋135°＋65°)＝70°，即∠AED＝70°.
13．(广东深圳宝安区校级开学)从六边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m＋n＝7．
14．(河北保定安国市期末)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
(1)∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3……90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°＋2＝2＋2＝4.
答：甲同学说的边数n是4；
(2)依题意，有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，
解得x＝2，故x的值是2.
【母题P53习题21.1T7】如图，五边形ABCDE的各内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求x的值．
因为五边形的内角和是(5－2)×180°＝540°，
则每个内角的度数为540°÷5＝108°，∴∠E＝∠C＝∠EDC＝108°.
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形内角和定理，可知
∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝(180°－108°)÷2＝36°，
∴x＝∠EDC－∠1－∠3＝108°－36°－36°＝36°.
【变式】完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中∠1＋∠2＝160°，则∠C＋∠D＋∠E＝(B)
A．300°　　　　　B．340°
C．200° D．260°
15．(运算能力)(湖南衡阳雁峰区校级月考)如图，在四边形ABCD中，BE和DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，BE与DF相交于点G，若∠BAD＝α，∠BCD＝β.
(1)如图1，若α＋β＝168°，求∠MBC＋∠NDC的度数；
(2)如图1，若∠BGD＝35°，试猜想α，β所满足的数量关系式，并说明理由；
(3)如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．
　
(1)∵在四边形ABCD中，∠BAD＋∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＝360°，
∴∠ABC＋∠ADC＝360°－(α＋β).
∵∠MBC＋∠ABC＝180°，∠NDC＋∠ADC＝180°，
∴∠MBC＋∠NDC＝180°－∠ABC＋180°－∠ADC＝360°－(∠ABC＋∠ADC)＝360°－[360°－(α＋β)]＝α＋β.
∵α＋β＝168°，
∴∠MBC＋∠NDC＝168°；
(2)β－α＝70°.
理由：如图1，连接BD.
图1
由(1)，得∠MBC＋∠NDC＝α＋β.
∵BE，DF分别平分四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG＝∠MBC，∠CDG＝∠NDC，
∴∠CBG＋∠CDG＝∠MBC＋∠NDC＝(∠MBC＋∠NDC)＝(α＋β).
在△BCD中，∠BDC＋∠CBD＝180°－∠BCD＝180°－β.
在△BDG中，∠BGD＝35°，∠GBD＋∠GDB＋∠BGD＝180°，
∴∠CBG＋∠CBD＋∠CDG＋∠BDC＋∠BGD＝180°，
∴(∠CBG＋∠CDG)＋(∠BDC＋∠CBD)＋∠BGD＝180°，
∴(α＋β)＋180°－β＋35°＝180°，∴β－α＝70°；
(3)BE∥DF.
理由：如图2，延长BC交DF于点H.
图2
由(1)，得∠MBC＋∠NDC＝α＋β.
∵BE，DF分别平分四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE＝∠MBC，∠CDH＝∠NDC，
∴∠CBE＋∠CDH＝∠MBC＋∠NDC＝(∠MBC＋∠NDC)＝(α＋β).
∵∠BCD＝∠CDH＋∠DHB，
∴∠CDH＝∠BCD－∠DHB＝β－∠DHB，
∴∠CBE＋∠CDH＝∠CBE＋β－∠DHB＝(α＋β).
∵α＝β，∴∠CBE＋β－∠DHB＝(β＋β)＝β，
∴∠CBE＝∠DHB，∴BE∥DF.

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