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20．2　勾股定理的逆定理及其应用
知识点1?　互逆命题
1．下列命题的逆命题为真命题的是(D)
A．如果a＝b，那么a2＝b2
B．无理数是无限小数
C．对顶角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
2．(江苏无锡中考)请写出命题“如果a＞b，那么 b－a＜0”的逆命题：如果b－a＜0，那么a＞b．
知识点2?　勾股定理的逆定理
3．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是(C)
A．a＝2，b＝4，c＝5 B．a＝，b＝，c＝
C．a＝3，b＝4，c＝ D．a＝5，b＝13，c＝14
4．如图，在网格图(每个小方格均是边长为1的正方形)中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是(D)
A．C1 B．C2 C．C3 D．C4
5．(河北沧州东光县校级期中)阅读以下解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：因为a2c2－b2c2＝a4－b4，①
所以c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，②
所以c2＝a2＋b2.③
所以△ABC为直角三角形．④
(1)上述解题过程从哪一步开始出现错误？该步的序号为③；
(2)错误的原因是不能确定a2－b2是不是0；
(3)本题正确的结论是什么？并说明理由．
△ABC是等腰三角形或直角三角形．
理由如下：
因为a2c2－b2c2＝a4－b4，所以c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，所以(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，所以a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．
知识点3?　勾股数
6．下列各组数中，是勾股数的为(A)
A．8，15，17 B．0.3，0.4，0.5
C．4，5，6 D．1，2，
7．(河北石家庄新华区校级开学)观察下列几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；按此规律，当直角三角形的较短直角边长是11时，较长直角边长是60；当直角三角形的较短直角边长是2n＋1(n为正整数)时，较长直角边长是2n2＋2n．
设勾股数中最小数是a，最大数是c，中间数是b，由几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41可以看出，c＝b＋1，a2＝b＋c，
则直角三角形的较短直角边长是11时，112＝121，则较长直角边长是60；
当直角三角形的较短直角边长是2n＋1(n为正整数)时，(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1，则较长直角边长是2n2＋2n.
知识点4?　勾股定理逆定理的应用
8．(云南昆明寻甸县期中)甲、乙、丙三人分别在操场上的点O，A，B处，其两两之间的距离如图所示．若乙在甲的北偏西50°方向，则丙在甲的什么方向？(B)
A．南偏西50°
B．南偏西40°
C．西南方向
D．北偏东50°
9．如图，一块四边形空地，已知AB＝3 m，BC＝4 m，CD＝12 m，DA＝13 m，且AB⊥BC，
(1)求这块空地的面积；
(2)若在这块空地上种植草皮，每平方米需要100元，问需要投入多少资金种植草皮？
(1)在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝52，∴AC＝5.
在△DAC中，CD2＝122，AD2＝132，而122＋52＝132，
即AC2＋CD2＝AD2，∴∠DCA＝90°，△DAC为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△BAC＋S△DAC＝·BC·AB＋DC·AC＝×4×3＋×12×5＝36(m2)；
答：空地ABCD的面积为36 m2.
(2)总投入资金为36×100＝3 600元，
答：需要投入3 600元资金种植草皮．
易错易混点　不能利用勾股定理的逆定理辨别航行方向
10.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40 m/min，甲客轮用15 min到达点A，乙客轮用20 min到达点B，若A，B两点的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是(C)
A．北偏西30° B．南偏西30°
C．南偏东60° D．南偏西60°
11．已知a，b，c是△ABC的三边，下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是(D)
A．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
B．∠A＝∠B＝2∠C
C．a∶b∶c＝2∶2∶3
D．a＝1，b＝2，c＝
12．(河北邢台模拟)如图是由小正方形拼成的网格，A，B两点均在格点上，C，D两点均为小正方形一边的中点，直线AB与直线CD交于点E，则∠BED＝(C)
A．60° B．75°
C．90° D．105°
如图，平移CD至FG处，则F，G均在正方形格点上，连接GB.
设小正方形的边长为1，由勾股定理，得
BF2＝12＋22＝5，GF2＝12＋22＝5，BG2＝12＋32＝10，
∴BF2＋GF2＝5＋5＝10＝BG2，
∴∠BFG＝90°.
由条件，可知CD∥GF，
∴∠BEC＝∠BFG＝90°，
∴∠BED＝90°.
13．(河北期末)我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，c(a＜b＜c)，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足b＝－1，c＝＋1，则a，b，c是一组勾股数．
(1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是b＝24，c＝26；
(2)请再举一例证明猜想成立．
(2)当a＝4时，则b＝－1＝3，c＝＋1＝5，
∵42＋32＝52，即a2＋b2＝c2，
∴a，b，c是一组勾股数(答案不唯一).
14．如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库．从A村修建了两条笔直公路通往高速公路，分别是公路AB和AD，AB＝10 km，BD＝6 km，AD＝8 km.
(1)公路AD是否为村庄A到高速公路的最近道路？请通过计算说明理由；
(2)通过无人机测得AC＝BC，求村庄A到县城C的直线距离AC的长．
(1)公路AD为村庄A到高速公路的最近路．理由如下：
∵82＋62＝102，∴AD2＋BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∴公路AD为村庄A到高速公路的最近路；
(2)设AC＝x km，则CD＝BC－BD＝AC－BD＝(x－6)km，
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2＝AD2＋CD2，
即x2＝82＋(x－6)2，解得x＝，即村庄A到县城C的直线距离AC的长为 km.
15．如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15 m，CD＝8 m，AD＝17 m.从点A修了一条垂直BC的小路AE(垂足为E)，E恰好是BC的中点，且AE＝12 m.
(1)求边BC的长；
(2)连接AC，判断△ADC的形状；
(3)求这块空地的面积．
(1)∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°.
在Rt△ABE中，∵AB＝15 m，AE＝12 m，
∴BE＝＝＝9 (m).
∵E是BC的中点，∴BC＝2BE＝18 m；
(2)∵AE⊥BC，E是BC的中点，
∴AC＝AB＝15 m.∵AD＝17 m，CD＝8 m，
∴CD2＋AC2＝AD2，∴∠ACD＝90°，
∴△ADC是直角三角形；
(3)由(2)可知，△ADC是直角三角形，AC＝15 m，
∴S△ACD＝AC·CD＝×15×8＝60 (m2)，
由(1)可知，BC＝18 m，
∴S△ABC＝BC·AE＝×18×12＝108 (m2)，
∴这块空地的面积为S△ABC＋S△ADC＝108＋60＝168 (m2).
【母题P36例2】如图，港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5 h后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
根据题意，PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30.
因为242＋182＝302，即PQ2＋PR2，所以∠QPR＝90°，
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°。因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．
【变式】(河北保定定州市期中)如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿哪个方向航行吗？
BM＝8×2＝16(海里)，BP＝15×2＝30(海里)，
在△BMP中，BM2＋BP2＝256＋900＝1 156，PM2＝1 156，
BM2＋BP2＝PM2，∴∠MBP＝90°，180°－90°－60°＝30°，
故乙船沿南偏东30°方向航行．
16．(运算能力)(湖北恩施州校级月考)能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，勾股数组公式为a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
当n＝1时，a＝(m2－1)①，b＝m②，c＝(m2＋1)③.
∵直角三角形有一边长为5，
∴分三种情况：
①当a＝5时，(m2－1)＝5，∴m2＝11，此时b不是正整数，舍去；
②当b＝5时，即m＝5，把m＝5代入①③，得a＝12，c＝13；
③当c＝5时，(m2＋1)＝5，∴m2＝9，解得m＝±3.
∵m＞0，∴m＝3.将m＝3代入①②，得a＝4，b＝3，
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4.20．2　勾股定理的逆定理及其应用
知识点1?　互逆命题
1．下列命题的逆命题为真命题的是( )
A．如果a＝b，那么a2＝b2
B．无理数是无限小数
C．对顶角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
2．(江苏无锡中考)请写出命题“如果a＞b，那么 b－a＜0”的逆命题： ．
知识点2?　勾股定理的逆定理
3．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是( )
A．a＝2，b＝4，c＝5 B．a＝，b＝，c＝
C．a＝3，b＝4，c＝ D．a＝5，b＝13，c＝14
4．如图，在网格图(每个小方格均是边长为1的正方形)中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是( )
A．C1 B．C2 C．C3 D．C4
5．(河北沧州东光县校级期中)阅读以下解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
解：因为a2c2－b2c2＝a4－b4，①
所以c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，②
所以c2＝a2＋b2.③
所以△ABC为直角三角形．④
(1)上述解题过程从哪一步开始出现错误？该步的序号为 ；
(2)错误的原因是 ；
(3)本题正确的结论是什么？并说明理由．
知识点3?　勾股数
6．下列各组数中，是勾股数的为( )
A．8，15，17 B．0.3，0.4，0.5
C．4，5，6 D．1，2，
7．(河北石家庄新华区校级开学)观察下列几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；按此规律，当直角三角形的较短直角边长是11时，较长直角边长是 ；当直角三角形的较短直角边长是2n＋1(n为正整数)时，较长直角边长是 ．
知识点4?　勾股定理逆定理的应用
8．(云南昆明寻甸县期中)甲、乙、丙三人分别在操场上的点O，A，B处，其两两之间的距离如图所示．若乙在甲的北偏西50°方向，则丙在甲的什么方向？( )
A．南偏西50°
B．南偏西40°
C．西南方向
D．北偏东50°
9．如图，一块四边形空地，已知AB＝3 m，BC＝4 m，CD＝12 m，DA＝13 m，且AB⊥BC，
(1)求这块空地的面积；
(2)若在这块空地上种植草皮，每平方米需要100元，问需要投入多少资金种植草皮？
易错易混点　不能利用勾股定理的逆定理辨别航行方向
10.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40 m/min，甲客轮用15 min到达点A，乙客轮用20 min到达点B，若A，B两点的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )
A．北偏西30° B．南偏西30°
C．南偏东60° D．南偏西60°
11．已知a，b，c是△ABC的三边，下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是( )
A．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
B．∠A＝∠B＝2∠C
C．a∶b∶c＝2∶2∶3
D．a＝1，b＝2，c＝
12．(河北邢台模拟)如图是由小正方形拼成的网格，A，B两点均在格点上，C，D两点均为小正方形一边的中点，直线AB与直线CD交于点E，则∠BED＝( )
A．60° B．75°
C．90° D．105°
13．(河北期末)我们知道，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．通过观察常见勾股数“6，8，10”“8，15，17”……猜想一组正整数a，b，c(a＜b＜c)，当最小数a为偶数时，另两个正整数b和c满足b＝－1，c＝＋1，则a，b，c是一组勾股数．
(1)根据猜想，一组正整数中，最小数a为10，则另两个数分别是b＝ ，c＝ ；
(2)请再举一例证明猜想成立．
14．如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库．从A村修建了两条笔直公路通往高速公路，分别是公路AB和AD，AB＝10 km，BD＝6 km，AD＝8 km.
(1)公路AD是否为村庄A到高速公路的最近道路？请通过计算说明理由；
(2)通过无人机测得AC＝BC，求村庄A到县城C的直线距离AC的长．
15．如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15 m，CD＝8 m，AD＝17 m.从点A修了一条垂直BC的小路AE(垂足为E)，E恰好是BC的中点，且AE＝12 m.
(1)求边BC的长；
(2)连接AC，判断△ADC的形状；
(3)求这块空地的面积．
【母题P36例2】如图，港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口1.5 h后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？
【变式】(河北保定定州市期中)如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿哪个方向航行吗？
16．(运算能力)(湖北恩施州校级月考)能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，勾股数组公式为a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．

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