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19．2　二次根式的乘法与除法
第1课时　二次根式的乘法
知识点1?　二次根式的乘法法则
1．(河北秦皇岛青龙县期末)计算×的结果为( )
A． B．7 C．3 D．
2．下面是小明和小亮的计算过程，下列判断正确的是( )
小明：×＝＝＝＝3；
小亮：2×()＝2×＝2××＝2()2×＝10.
A．只有小明的做法正确
B．两人的做法都不正确
C．小明在计算时用到了·＝(a≥0，b≥0)
D．小亮在计算时用到了＝a(a≥0)
3．(江苏月考)若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是 (写出一个符合条件的即可).
4．计算：
(1)×；(2)×.
知识点2?　积的算数平方根
5．(河北邯郸广平县一模)与计算结果相同的是( )
A．3＋2 B．3－2 C．3×2 D．3÷2
6．式子＝·成立的x的取值范围是( )
A．x≥1 B．x＞1
C．－1≤x≤1 D．－1＜x＜1
7．＝ ．
8．(河北沧州吴桥县月考)化简：
(1)；(2).
易错易混点　错用乘法法则出错
9.(山东淄博淄川区期末)下列各式化简正确的是( )
A．＝9
B．＝×＝6
C．＝2
D．＝＝
10．下列运算正确的是( )
A．×＝ B．9×＝
C．×＝12 D．×＝6
11．(河北保定雄县月考)若·的值是整数，则n的值可以是( )
A．25 B．20
C．15 D．2
12．直角三角形的两条直角边长分别为 cm， cm，则这个直角三角形的面积为 cm2.
13．(河北模拟)计算×的结果为 ，这个数落在了数轴上的 段．
14．(1)用“＞”“＜”“＝”填空：4＋3 2，1＋ 2，5＋5 2.
(2)由(1)中各式猜想m＋n与2(m≥0，n≥0)的大小，并说明理由．
(3)请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200 m2的花圃，所用的篱笆至少需要 m.
【母题P7练习T1】计算：
(1)×；(2)×；
(3)2×；(4)×.
【变式】计算：
(1)2×(－3)；
(2)×2× ；
(3)×18× .
15．(抽象能力)你能找出规律吗？
(1)计算：×＝ ，＝ ；×＝ ，＝ ．
(2)请按找到的规律计算：
①×；②×.
(3)已知a＝，b＝，用含a，b的式子表示.
第2课时　二次根式的除法
知识点1?　二次根式的除法法则
1．计算：＝ ．
2．计算：(1)÷；(2) .
知识点2?　商的算数平方根
3．(天津南开区期末)下列各式计算正确的是( )
A．＝
B．＝2
C．＝2
D．÷＝＝
4．(湖北黄石月考)等式＝成立的条件是 ．
5．(河北保定竞秀区校级月考)化简：
(1)；(2)；(3).
知识点3?　最简二次根式
6．下列二次根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
7．把下列二次根式化成最简二次根式：
(1)；(2)；(3)；(4).
易错易混点　忽视二次根式的被开方数为非负数
8．(江苏南京建邺区校级月考)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①＝；②×＝1；③÷＝－b.其中正确的是( )
A.①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．计算÷×的结果是( )
A. B． C．18 D．
10．(福建泉州安溪县校级月考)有一个体积为120 cm3的长方体，它的高为2 cm，长为3 cm，则这个长方体的宽为 cm.
11．(河北唐山期末)下面是小明和大刚分别计算：×，的做法．
小明的做法：
解：×＝＝＝6，＝＝＝3.
大刚的做法：
解：×＝×3＝6，＝＝3.
两人的做法是否都正确？并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目：
(1)3×；(2).
12．(安徽阜阳太和县期末)对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“ ”如下：a b＝，如3 2＝＝.
(1)填空：5 4＝ ．
(2)若12 4＝(x－1)，求x的值．
【母题P11习题19.2T7】计算：
(1)×；(2)×；
(3)×÷；(4)×.
【变式】计算：
(1)×÷；(2)÷×.
13．(推理能力)观察下列各式及其验证过程：
2＝，
验证：2＝＝＝＝；
3＝，
验证：3＝＝＝＝.
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果，并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式，并给出证明．19．2　二次根式的乘法与除法
第1课时　二次根式的乘法
知识点1?　二次根式的乘法法则
1．(河北秦皇岛青龙县期末)计算×的结果为(D)
A． B．7 C．3 D．
2．下面是小明和小亮的计算过程，下列判断正确的是(C)
小明：×＝＝＝＝3；
小亮：2×()＝2×＝2××＝2()2×＝10.
A．只有小明的做法正确
B．两人的做法都不正确
C．小明在计算时用到了·＝(a≥0，b≥0)
D．小亮在计算时用到了＝a(a≥0)
3．(江苏月考)若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是(答案不唯一)(写出一个符合条件的即可).
4．计算：
(1)×；(2)×.
(1)×＝3.
(2)×＝＝＝6.
知识点2?　积的算数平方根
5．(河北邯郸广平县一模)与计算结果相同的是(C)
A．3＋2 B．3－2 C．3×2 D．3÷2
6．式子＝·成立的x的取值范围是(A)
A．x≥1 B．x＞1
C．－1≤x≤1 D．－1＜x＜1
7．＝．
8．(河北沧州吴桥县月考)化简：
(1)；(2).
(1)＝＝×＝2；
(2)＝＝6.
易错易混点　错用乘法法则出错
9.(山东淄博淄川区期末)下列各式化简正确的是(D)
A．＝9
B．＝×＝6
C．＝2
D．＝＝
10．下列运算正确的是(D)
A．×＝ B．9×＝
C．×＝12 D．×＝6
11．(河北保定雄县月考)若·的值是整数，则n的值可以是(B)
A．25 B．20
C．15 D．2
12．直角三角形的两条直角边长分别为 cm， cm，则这个直角三角形的面积为cm2.
13．(河北模拟)计算×的结果为2，这个数落在了数轴上的④段．
14．(1)用“＞”“＜”“＝”填空：4＋3＞2，1＋＞2，5＋5＝2.
(2)由(1)中各式猜想m＋n与2(m≥0，n≥0)的大小，并说明理由．
(3)请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200 m2的花圃，所用的篱笆至少需要40m.
(2)m＋n≥2(m≥0，n≥0).理由如下：
当m≥0，n≥0时，∵(－)2≥0，
∴()2－2·＋()2≥0，
∴m－2＋n≥0，∴m＋n≥2.
(3)设花圃的长为a m，宽为b m，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200.
根据(2)的结论，可得a＋2b≥2＝2＝2＝2×20＝40，
∴篱笆至少需要40 m．
【母题P7练习T1】计算：
(1)×；(2)×；
(3)2×；(4)×.
(1)×＝；
(2)×＝×2＝2×3＝6；
(3)2×＝2×××＝＝2；
(4)×＝12×＝＝2.
【变式】计算：
(1)2×(－3)；
(2)×2× ；
(3)×18× .
(1)2×(－3)＝2×(－3)×＝－6＝－4；
(2)×2× ＝2××＝；
(3)×18× ＝×18××＝＝.
15．(抽象能力)你能找出规律吗？
(1)计算：×＝12，＝12；×＝30，＝30．
(2)请按找到的规律计算：
①×；②×.
(3)已知a＝，b＝，用含a，b的式子表示.
(2)①×＝＝＝25；
②×＝＝＝4；
(3)当a＝，b＝时，
＝＝××＝3ab.
第2课时　二次根式的除法
知识点1?　二次根式的除法法则
1．计算：＝3．
2．计算：(1)÷；(2) .
(1)原式＝＝＝3；(2)原式＝＝.
知识点2?　商的算数平方根
3．(天津南开区期末)下列各式计算正确的是(D)
A．＝
B．＝2
C．＝2
D．÷＝＝
4．(湖北黄石月考)等式＝成立的条件是6＜x≤9．
5．(河北保定竞秀区校级月考)化简：
(1)；(2)；(3).
(1)原式＝；(2)原式＝＝；
(3)原式＝＝＝.
知识点3?　最简二次根式
6．下列二次根式中，最简二次根式是(B)
A． B． C． D．
7．把下列二次根式化成最简二次根式：
(1)；(2)；(3)；(4).
(1)＝＝2；(2)＝＝3；
(3)＝＝；(4)＝＝.
易错易混点　忽视二次根式的被开方数为非负数
8．(江苏南京建邺区校级月考)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①＝；②×＝1；③÷＝－b.其中正确的是(B)
A.①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．计算÷×的结果是(B)
A. B． C．18 D．
10．(福建泉州安溪县校级月考)有一个体积为120 cm3的长方体，它的高为2 cm，长为3 cm，则这个长方体的宽为2cm.
11．(河北唐山期末)下面是小明和大刚分别计算：×，的做法．
小明的做法：
解：×＝＝＝6，＝＝＝3.
大刚的做法：
解：×＝×3＝6，＝＝3.
两人的做法是否都正确？并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目：
(1)3×；(2).
两人的做法都正确，
(1)3×＝3××＝9；
(2)＝＝＝.
12．(安徽阜阳太和县期末)对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“ ”如下：a b＝，如3 2＝＝.
(1)填空：5 4＝3．
(2)若12 4＝(x－1)，求x的值．
(2)∵12 4＝＝＝，
∴＝(x－1)，解得x＝.
【母题P11习题19.2T7】计算：
(1)×；(2)×；
(3)×÷；(4)×.
(1)原式＝＝1.2；(2)原式＝＝；
(3)原式＝÷＝＝15；(4)原式＝＝.
【变式】计算：
(1)×÷；(2)÷×.
(1)原式＝＝8；
(2)原式＝÷×3＝××3＝9.
13．(推理能力)观察下列各式及其验证过程：
2＝，
验证：2＝＝＝＝；
3＝，
验证：3＝＝＝＝.
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果，并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式，并给出证明．
(1)4＝.
验证：4＝＝＝＝.
(2)n＝.
证明如下：
n＝＝＝＝.

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