资源简介

19．1　二次根式及其性质
第1课时　二次根式的概念
知识点1?　二次根式的定义
1．下列各选项是二次根式的是(D)
A．10 B．
C． D．
2．若是二次根式，则x应满足(A)
A．x≥2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≠2
3．若是一个二次根式，求(x－2 026)x的值．
∵是一个二次根式，
∴－(2 025－x)2≥0，
∴(2 025－x)2≤0，
∴(2 025－x)2＝0，解得x＝2 025，
∴(x－2 026)x＝(2 025－2 026)2 025＝(－1)2 025＝－1.
知识点2?　二次根式有意义的条件
4．(河北廊坊广阳区二模)若二次根式有意义，则x的取值范围是(C)
A．x≥0 B．x＞0
C．x≤ D．x＜
5．(四川广元中考)若式子有意义，则实数x的取值范围是x＞3．
6．当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；(2)；(3)；(4).
(1)x≥0.(2)∵－x≥0，∴x≤0.
(3)∵x＋2≥0，∴x≥－2.
(4)∵1－2x≥0，∴x≤.
知识点3?　二次根式的实际应用
7．(河北唐山路南区期中)两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，可得到一个大正方形，则大正方形的边长为．
8．(广东中山期中)一个长方形的面积为150 cm2，它的长和宽之比为5∶3，求这个长方形的长和宽．
设这个长方形的长为5x cm，宽为3x cm.
则5x·3x＝150，15x2＝150，x＝±.
∵x＞0，∴x＝，5x＝5，3x＝3，
答：这个长方形的长和宽分别为5 cm，3 cm.
易错易混点　忽视分式有意义的条件
9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(D)
A．x≠－3 B．x≥－3
C．x≤－3 D．x＞－3
10．(河北廊坊安次区期末)已知n是正整数，是整数，则n的最小值为(A)
A．2 B．3 C．4 D．5
11．若x＞5时，二次根式(k为常数)有意义，则k的取值范围是(D)
A．k≤－5 B．k＜－5
C．k＞－5 D．k≥－5
12．(河北保定满城区期末)若式子有意义，则x的取值范围为(D)
A．x≥2 B．x≠3
C．x≤2或x≠3 D．x≥2且x≠3
13．(河北张家口宣化区期末)已知y＝＋－3，则2xy的值为－15．
14．当x取什么实数时，式子＋2的值最小？求出这个最小值．
∵≥0，∴＋2≥2，
∴当x＝时，式子＋2的值最小，最小值是2.
15．已知a，b满足等式b＝＋－9.
(1)求出a，b的值分别是多少？
(2)试求－＋的值．
(1)由题意，得2a－6≥0且9－3a≥0，
解得a≥3且a≤3，所以a＝3，b＝－9；
(2)－＋
＝－＋
＝6－9－3＝－6.
【母题P3练习T2】当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；(2)；(3).
(1)a≥1；(2)a≤5；(3)a为任意实数．
【变式】若a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足等式2＋3＝b－4，试求此等腰三角形的周长．
根据题意，得3a－6≥0且2－a≥0，
解得a≥2且a≤2，
∴a＝2，b＝4，
①当a＝2是腰长时，三角形的三边长分别为2，2，4，
∵2＋2＝4，∴不能组成三角形，
②当a＝2是底边长时，三角形的三边长分别为2，4，4，
能组成三角形，周长＝2＋4＋4＝10，
∴此等腰三角形的周长为10.
16．(运算能力)(河北张家口宣化区期末)先阅读，后回答问题：x为何值时，有意义？
解：要使该二次根式有意义，需x(x－3)≥0，由乘法法则得或.
解得x≥3或x≤0.
∴当x≥3或x≤0时，有意义．
体会解题思想后，请你解答：x为何值时，有意义？
要使该二次根式有意义，需≥0，
由乘法法则，得或
解得x≥1或x＜－2，
当x≥1或x＜－2时，有意义．
第2课时　二次根式的性质
知识点1?　二次根式的性质()2＝a(a≥0)
1．计算：()2＝(C)
A． B．2
C．6 D．36
2．已知|m|＝4，()2＝2，且mn＜0，则m－n的值为(D)
A．2 B．6
C．－2 D．－6
3．计算：(1)()2；(2)(2)2；(3)()2.
(1)()2＝；(2)(2)2＝22×5＝20；
(3)()2＝.
知识点2?　二次根式的性质＝a(a≥0)
4．(河北保定曲阳县期末)若＝x－3，则x的取值范围是(B)
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
5．下列各式正确的是(C)
A．＝±6 B．±＝6
C．＝－3 D．＝－
6．(湖北宜昌伍家岗区模拟)计算|3－|＋的结果是π－．
7．
(河北唐山滦南县期中)在数轴上表示a，b，c三数点的位置如图所示，化简：|c|－＋－|a－b|.
由数轴，可知c＜0，c＋a＜0，b＞0，a－b＜0，
则|c|－＋－|a－b|
＝－c＋c＋a＋b＋a－b＝2a.
知识点3?　二次根式的非负性
8．(福建龙岩连城县模拟)已知a，b，c为正整数且满足＝＋，则a，b，c的大小关系为a＝b＝c．
∵a，b，c为正整数且满足＝＋，∴a－b≥0，b－c≥0，c－b≥0，∴a≥b≥c，c≥b，∴b＝c，
∴＝0，∴a＝b，即a＝b＝c.
9．(广东湛江月考)已知|a－2|＋＋(c－4)2＝0，求a－b＋c的算术平方根．
∵|a－2|＋＋(c－4)2＝0，
∴a－2＝0，b－3＝0，c－4＝0，
解得a＝2，b＝3，c＝4，
∴a－b＋c＝2－3＋4＝3，
故a－b＋c的算术平方根为.
易错易混点　对二次根式的性质掌握不熟练
10．(河北期末)对于式子m＋，有下面结论：
甲：当m＝3时，原式＝4；
乙：当m＜2时，原式＝3.
其中说法正确的是(A)
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
11．已知1＜m＜5，化简：＋|m－5|的结果为(B)
A．3 B．4 C．5 D．6
12．(贵州黔东南州月考)实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简－＋b的结果是(A)
A．1 B．b＋1 C．2a D．1－2a
13．(河北沧州黄骅市期末)已知a，b，c为三角形的三边，则＋＋＝a＋b＋c．
14．(山东泰安月考)【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
5＋2＝(2＋3)＋2＝()2＋()2＋2×＝(＋)2；
8＋2＝(1＋7)＋2＝12＋()2＋2×1×＝(1＋)2.
【类比归纳】
(1)小华仿照小明的方法将4＋2化成了(1＋)2，则x＝3，＝1＋．
(2)请运用小明的方法化简.
(1)原式＝(1＋3)＋2＝12＋()2＋2×1×＝(1＋)2，∴x＝3，
∴＝＝1＋；
(2)＝＝＝＝2－.
15．(河北一模)如图是一个正方体展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数．
(1)试确定a和b的值；
(2)求的值．
(1)由图可知－1与2a＋3相对，b与a相对，
∵正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，
∴2a＋3－1＝0①，b＋a＝0②，由①得a＝－1，
把a＝－1代入②，得b＝，∴a＝－1，b＝；
(2)由(1)可知a＝－1，b＝，
∴＝＝＝＝2.
【母题P4练习T2】化简：
(1)；(2)；
(3)－；(4).
(1)0.3　(2)　(3)－π　(4)
【变式】计算：
(1)；(2)；(3).
(1)＝1.5.(2)＝.(3)＝3-1＝.
16．(推理能力)(江西宜春期末改编)【课本再现】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即＝0.所以被开方数a为非负数.
【探究新知】
(1)若()2＝a，则a的取值范围是a≥0．
【知识应用】
(2)若|a＋b＋1|＋＝0，求(a＋b)2 025的值.
【拓展应用】
(3)若|2 024－a|＋＝a，求a－2 0242的值．
(2)由|a＋b＋1|＋＝0，
得解得
∴(a＋b)2 025＝(－2＋1)2 025＝(－1)2 025＝－1.
(3)∵|2 024－a|＋＝a，
∴a－2 025≥0，则a≥2 025，∴2 024－a＜0，
则原方程可化为a－2 024＋＝a，
∴＝2 024，则a＝2 0242＋2 025，
∴a－2 0242＝2 025.19．1　二次根式及其性质
第1课时　二次根式的概念
知识点1?　二次根式的定义
1．下列各选项是二次根式的是( )
A．10 B．
C． D．
2．若是二次根式，则x应满足( )
A．x≥2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≠2
3．若是一个二次根式，求(x－2 026)x的值．
知识点2?　二次根式有意义的条件
4．(河北廊坊广阳区二模)若二次根式有意义，则x的取值范围是( )
A．x≥0 B．x＞0
C．x≤ D．x＜
5．(四川广元中考)若式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
6．当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；(2)；(3)；(4).
知识点3?　二次根式的实际应用
7．(河北唐山路南区期中)两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，可得到一个大正方形，则大正方形的边长为 ．
8．(广东中山期中)一个长方形的面积为150 cm2，它的长和宽之比为5∶3，求这个长方形的长和宽．
易错易混点　忽视分式有意义的条件
9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x≠－3 B．x≥－3
C．x≤－3 D．x＞－3
10．(河北廊坊安次区期末)已知n是正整数，是整数，则n的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
11．若x＞5时，二次根式(k为常数)有意义，则k的取值范围是( )
A．k≤－5 B．k＜－5
C．k＞－5 D．k≥－5
12．(河北保定满城区期末)若式子有意义，则x的取值范围为( )
A．x≥2 B．x≠3
C．x≤2或x≠3 D．x≥2且x≠3
13．(河北张家口宣化区期末)已知y＝＋－3，则2xy的值为 ．
14．当x取什么实数时，式子＋2的值最小？求出这个最小值．
15．已知a，b满足等式b＝＋－9.
(1)求出a，b的值分别是多少？
(2)试求－＋的值．
【母题P3练习T2】当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；(2)；(3).
【变式】若a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足等式2＋3＝b－4，试求此等腰三角形的周长．
16．(运算能力)(河北张家口宣化区期末)先阅读，后回答问题：x为何值时，有意义？
解：要使该二次根式有意义，需x(x－3)≥0，由乘法法则得或.
解得x≥3或x≤0.
∴当x≥3或x≤0时，有意义．
体会解题思想后，请你解答：x为何值时，有意义？
第2课时　二次根式的性质
知识点1?　二次根式的性质()2＝a(a≥0)
1．计算：()2＝( )
A． B．2
C．6 D．36
2．已知|m|＝4，()2＝2，且mn＜0，则m－n的值为( )
A．2 B．6
C．－2 D．－6
3．计算：(1)()2；(2)(2)2；(3)()2.
知识点2?　二次根式的性质＝a(a≥0)
4．(河北保定曲阳县期末)若＝x－3，则x的取值范围是( )
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
5．下列各式正确的是( )
A．＝±6 B．±＝6
C．＝－3 D．＝－
6．(湖北宜昌伍家岗区模拟)计算|3－|＋的结果是 ．
7．
(河北唐山滦南县期中)在数轴上表示a，b，c三数点的位置如图所示，化简：|c|－＋－|a－b|.
知识点3?　二次根式的非负性
8．(福建龙岩连城县模拟)已知a，b，c为正整数且满足＝＋，则a，b，c的大小关系为 ．
9．(广东湛江月考)已知|a－2|＋＋(c－4)2＝0，求a－b＋c的算术平方根．
10．(河北期末)对于式子m＋，有下面结论：
甲：当m＝3时，原式＝4；
乙：当m＜2时，原式＝3.
其中说法正确的是( )
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
11．已知1＜m＜5，化简：＋|m－5|的结果为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
12．(贵州黔东南州月考)实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简－＋b的结果是( )
A．1 B．b＋1 C．2a D．1－2a
13．(河北沧州黄骅市期末)已知a，b，c为三角形的三边，则＋＋＝ ．
14．(山东泰安月考)【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
5＋2＝(2＋3)＋2＝()2＋()2＋2×＝(＋)2；
8＋2＝(1＋7)＋2＝12＋()2＋2×1×＝(1＋)2.
【类比归纳】
(1)小华仿照小明的方法将4＋2化成了(1＋)2，则x＝ ，＝ ．
(2)请运用小明的方法化简.
15．(河北一模)如图是一个正方体展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数．
(1)试确定a和b的值；
(2)求的值．
【母题P4练习T2】化简：
(1)；(2)；
(3)－；(4).
【变式】计算：
(1)；(2)；(3).
16．(推理能力)(江西宜春期末改编)【课本再现】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即＝0.所以被开方数a为非负数.
【探究新知】
(1)若()2＝a，则a的取值范围是 ．
【知识应用】
(2)若|a＋b＋1|＋＝0，求(a＋b)2 025的值.
【拓展应用】
(3)若|2 024－a|＋＝a，求a－2 0242的值．

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