资源简介

21．3.3　正方形
知识点1?　正方形的性质
1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是(D)
A．四条边相等，四个角相等
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
2．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是(C)
　　A．4 B．2
C．1 D．
如图，直线l1∥l2，等边三角形ABC和正方形BDEF在它们之间，点A，C在 l1上，点D，E在l2上，点B为公共顶点，则∠ABF的度数为120°．
知识点2?　正方形的判定
4．(河北沧州南皮县三模)已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件(B)
A．AB＝BC B．∠ABC＝90°
C．∠ADB＝30° D．AC＝AB
5．(河北邢台二模)下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是(B)
6．如图，在矩形ABCD中，有以下结论：
①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD会变成正方形．正确的结论是①②③⑤．
已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE.
(1)当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
(2)当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形.
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO.∵AC⊥BD，∴BC＝CD.
∵BC＝CE，∴BC＝CE＝CD，即BE＝2CD；
(2)∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝180°－∠ACB＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵BC＝CE，∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形．
∵AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是正方形.
易错易混点　对正方形的判定掌握不熟练
8．(河北模拟)八年级的数学学习中，有如下问题：如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
嘉嘉说：添加AC⊥BD；
淇淇说：添加AC＝BD；
请判断以下结论正确的是(C)
A．嘉嘉说得对
B．淇淇说得对
C．嘉嘉和淇淇合在一起才对
D．无法判断
9．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为点F，则DF的长为(D)
A．2＋2 B．5－
C．3－ D．＋1
如图，过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H.
∵DF⊥BC，∴∠GFH＝∠AHF＝∠AGF＝90°，
∴四边形AGFH是矩形，∴FH＝AG.
∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，BC＝AB＝2，
∴∠BAG＝∠BAC＝30°，BG＝BC＝1，
∴AG＝＝＝，∴FH＝AG＝.
∵在正方形ABED中，AD＝AB＝2，∠BAD＝90°，
∴∠DAH＋∠HAB＝90°，∠HAB＋∠BAG＝90°，
则∠DAH＝∠BAG＝30°，
∴DH＝AD＝1，∴DF＝FH＋DH＝＋1.
10．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动(不与点A，B重合)，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG.则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为(1＋)a；③BE2＋DG2＝EG2；④当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是①④．
11．(河北唐山路南区期中)已知在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O.
(1)若BF⊥AE，
①求证：BF＝AE；
②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明；
(2)若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长．
(1)①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠C＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
∵BF⊥AE，∴∠CBF＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CBF.
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴BF＝AE；
②OD＝AB.
证明：延长AD，交射线BM于点G，如图1，
图1　　　　
∵△ABE≌△BCF，∴BE＝CF.
∵E为BC的中点，∴CF＝BE＝BC＝DC，∴CF＝DF.
∵DG∥BC，∴∠DGF＝∠CBF.
在△DGF和△CBF中，
∴△DGF≌△CBF，∴DG＝BC，∴DG＝AD.
∵BF⊥AE，∴OD＝AG＝AD＝AB；
(2)①若点F在CD上，如图2①，
图2①　　　　
在Rt△ABE和Rt△BCF中，∴Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，
∴∠BAE＝∠CBF.∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠CBF＋∠AEB＝90°，
∴∠AOB＝90°.∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，∴AE＝＝2.
∵S△ABE＝AB·BE＝AE·BO，∴BO＝＝＝.
图2②
②若点F在AD上，如图2②，
在Rt△ABE和Rt△BAF中，∴Rt△ABE≌Rt△BAF(HL)，
∴∠BAE＝∠ABF，∴OB＝OA.
∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∠ABF＋∠EBF＝90°，
∴∠AEB＝∠EBF，∴OB＝OE，∴OA＝OB＝OE.
∵∠ABE＝90°，AB＝4，BE＝2，∴AE＝＝2，∴BO＝AE＝.
综上所述，BO的长为或.
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，四边形BCED为平行四边形，DE，AC相交于点F，连接DC，AE.
(1)判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
(2)若AB＝16，AC＝12，求四边形ADCE的面积；
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请给予证明．
(1)四边形ADCE是菱形．理由如下：
∵四边形BCED为平行四边形，
∴CE∥BD，BC∥DE，CE＝BD.
∵点D为AB中点，∴AD＝BD，
∴CE∥AD，CE＝AD，∴四边形ADCE为平行四边形．
又∵BC∥DE，∴∠AFD＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥DE，∴四边形ADCE为菱形；
(2)在Rt△ABC中，AB＝16，AC＝12，∴BC＝4.
∵四边形BCED是平行四边形，∴DE＝BC＝4.
由(1)知四边形ADCE是菱形，
∴四边形ADCE的面积＝AC×DE＝24；
(3)满足AC＝BC时，四边形ADCE是正方形．
证明：∵AC＝BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°.
∵四边形ADCE为菱形，∴四边形ADCE为正方形.
【母题P76例5】求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD.∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
【变式】如图，正方形ABCD的边长为2，P为对角线BD上动点，过P作 PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为(A)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．2 B．4 C． D．1
连接PC，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，且边长为2，
∴BC＝2，∠BCD＝∠ABC＝90°，∠BCD＝45°.
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形PECF是矩形，∴EF＝PC，
要求EF的最小值，只需求出PC的最小值即可，
∵点P在BD上，根据“垂线段最短”可知：当PC⊥BD时，PC为最短，当PC⊥BD时，由于∠BCD＝45°，∴△PBC为等腰直角三角形，即PB＝PC，
在Rt△PBC中，PB＝PC，BC＝2，由勾股定理，得PB2＋PC2＝BC2，
∴2PC2＝(2)2，∴PC＝2(舍去负值)，即PC的最小值为2，
∴EF的最小值为2.
13．(推理能力)(河北邢台内丘县期末)如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB＝2，CE＝2，求CG的长；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．
　
(1)如图1，过点E作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，∴∠EQF＝∠EPD.
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠DCA＝∠BCA，EQ＝EP.
∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED.
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD(ASA)，
∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；
(2)如图2，∵在正方形ABCD中AB＝BC＝2，
∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝4.
∵CE＝2，∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
易知CG＝2；
(3)①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝∠DAE＋∠ADE＝45°＋40°＝85°.
∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝∠DEF－∠DEC＝90°－85°＝5°.
∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝180°－∠CEF－∠ECF＝180°－5°－45°＝130°；
②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，设EF与DC相交于点G.
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∠DGE＝∠FGC，∠EDC＋∠DGE＝90°，∠EFC＋∠FGC＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°.
综上所述，∠EFC＝130°或40°.
　　
　　　21．3.3　正方形
知识点1?　正方形的性质
1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是( )
A．四条边相等，四个角相等
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
2．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是( )
　　A．4 B．2
C．1 D．
如图，直线l1∥l2，等边三角形ABC和正方形BDEF在它们之间，点A，C在 l1上，点D，E在l2上，点B为公共顶点，则∠ABF的度数为 ．
知识点2?　正方形的判定
4．(河北沧州南皮县三模)已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件( )
A．AB＝BC B．∠ABC＝90°
C．∠ADB＝30° D．AC＝AB
5．(河北邢台二模)下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是( )
6．如图，在矩形ABCD中，有以下结论：
①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD会变成正方形．正确的结论是 ．
已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE.
(1)当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
(2)当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形.
易错易混点　对正方形的判定掌握不熟练
8．(河北模拟)八年级的数学学习中，有如下问题：如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
嘉嘉说：添加AC⊥BD；
淇淇说：添加AC＝BD；
请判断以下结论正确的是( )
A．嘉嘉说得对
B．淇淇说得对
C．嘉嘉和淇淇合在一起才对
D．无法判断
9．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为点F，则DF的长为( )
A．2＋2 B．5－
C．3－ D．＋1
10．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动(不与点A，B重合)，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG.则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为(1＋)a；③BE2＋DG2＝EG2；④当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是 ．
11．(河北唐山路南区期中)已知在正方形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点B作射线BM交正方形的一边于点F，交AE于点O.
(1)若BF⊥AE，
①求证：BF＝AE；
②连接OD，确定OD与AB的数量关系，并证明；
(2)若正方形的边长为4，且BF＝AE，求BO的长．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，四边形BCED为平行四边形，DE，AC相交于点F，连接DC，AE.
(1)判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
(2)若AB＝16，AC＝12，求四边形ADCE的面积；
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请给予证明．
【母题P76例5】求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD.∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
【变式】如图，正方形ABCD的边长为2，P为对角线BD上动点，过P作 PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A．2 B．4 C． D．1
13．(推理能力)(河北邢台内丘县期末)如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB＝2，CE＝2，求CG的长；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．
　

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