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21．3.2　菱形
第1课时　菱形的定义与性质
知识点1?　菱形的定义
1．(陕西西安新城区校级期末)在 ABCD中，添加下列条件，能判定 ABCD是菱形的是(A)
A．AB＝AD B．AC＝BD
C．∠ABC＝90° D．AB＝CD
2．在四边形ABCD中，AB綉CD，AD＝CD，则四边形ABCD是菱形．
知识点2?　菱形的性质
3．(河北石家庄桥西区期末)已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长为(B)
A．30 B．20
C．15 D．12
4．如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，当四边形ECDF为菱形时，则a的值为(B)
A．1 B．2
C．3 D．4
5．(河北唐山迁安市二模)已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是(D)
6．如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE＝AD，连接EC.若∠ADE＝36°，求∠BCE的度数．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠BCD，CD∥AB.
∵DE＝AD，∠ADE＝36°，
∴DE＝CD，∠A＝∠DEA＝×(180°－∠ADE)＝×(180°－36°)＝72°，∴∠BCD＝∠A＝72°.
∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠DEA＝72°.
∵DE＝DC，
∴∠DCE＝×(180°－∠CDE)＝×(180°－72°)＝54°，
∴∠BCE＝∠DCB－∠DCE＝72°－54°＝18°.
知识点3?　菱形的面积
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F分别是AD，CD边的中点，连接EF，若EF＝3，OB＝4，则菱形ABCD的面积是(A)
A．24 B．20
C．12 D．6
8．(河北沧州运河区校级期末)如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为(C)
A．48 B．24 C．12 D．6
易错易混点　不能正确利用菱形的性质
9．(河北唐山丰南区期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.
(1)若∠BAD＝60°，则∠ADC＝60°，△BAD是等边三角形(按边分类)；
(2)如图，点E是BD上一点，则AE与CE有怎样的数量关系？并证明．
(2)AE＝CE，证明如下：
∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴AE＝CE.
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足．若AC＝6，BD＝8，则FG的长为(C)
A．7 B．10 C．2.5 D．5
如图，连接OE.
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，AC⊥BD.
在Rt△AOD中，AD＝＝＝5.
又∵E是边AD的中点，
∴OE＝AD＝×5＝2.5.
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO＝∠EGO＝∠GOF＝90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG＝OE＝2.5.
如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE且AE≠ED，连接EF，其中DE＝BF，BE＝BC，过点C作CH∥AE交BE于点H.则图中与∠BAE相等(∠BAE除外)的角有(B)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴的正半轴上移动，点A，C之间的距离为4，连接OC.下列关于结论①、②的判断正确的是(B)
①∠BAD的度数为100°；②线段OC长度的最大值为2＋2.
A．①、②都对 B．①错②对
C．①对②错 D．①、②都错
如图，连接AC.由题意，得AB＝BC＝AC＝4＝AD＝DC，
∴△ABC和△ADC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，∴∠BAD＝120°，故①错；
取AD的中点E，连接CE，OE，
∴DE＝OE＝AD＝×4＝2，
CE⊥AD，∴CE＝＝＝2.
∵OE＝2，∴OC≤OE＋CE＝2＋2，
∴当C，O，E三点共线时，OC取得最大值，最大值为2＋2，故②对．
如图，E是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接AE，若AD＝DE，∠AEB＝105°，则∠BAE的度数为45°.
14．(河北保定定州市期末)如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°，且边EF与直线DC相交于点F.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求证：AE＝EF
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝8，AC⊥BD，BD＝2OB.
∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BA＝8，BO＝AB＝4，∴BD＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×8×8＝32；
(2)连接EC，如图．
∵BD垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA.
∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，
∴∠EAC＋∠DAC＝∠ECA＋∠DCA，
∴∠DCE＝∠DAE.
∵∠AEF＝120°，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＋∠F＝360°－∠AEF－∠ADC＝180°.
∵∠ECD＋∠ECF＝180°，
∴∠F＝∠ECF，∴EF＝EC，
∴EF＝AE.
15．如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，CB延长线交于点G，连接BD.
(1)求证：四边形EGBD是平行四边形．
(2)连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝6，求AG的长．
(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝AB，∴ED∥BC，∠AEF＝∠G.
∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠G＝∠AFE.
又∵∠AFE＝∠GFB，∴∠G＝∠GFB，
∴GB＝FB.
∵AD＝AB，AE＝AF，∴ED＝BF，∴GB＝ED，
∴四边形EGBD是平行四边形．
(2)过点A作AH⊥BC于点H，连接AG，如图，
由(1)，可得GE∥BD.
∵∠FGB＝30°，GE∥BD，
∴∠DBC＝30°，
∴∠ABH＝2∠DBC＝60°.
∵GB＝AE＝6，∴AB＝AD＝12.∵∠ABH＝90°，
∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝6，∴GH＝12，
在Rt△ABH中，AH＝＝6，
在Rt△AGH中，AG＝＝6.
【母题P73练习T1】四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AO＝4.求AC，BD的长以及菱形ABCD的面积．
如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且OA＝OC，OB＝OD.
又∵AB＝5，AO＝4，
∴在Rt△AOB中，
OB＝＝＝3，
∴BD＝2OB＝2×3＝6，
AC＝2OA＝2×4＝8，
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×8×6＝24.
【变式】(河北期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝－1，BD＝＋1，请分别求菱形ABCD的面积和周长．
∵AC＝－1，BD＝＋1，
∴菱形ABCD的面积＝·AC·BD＝×(－1)×(＋1)＝1.
OB⊥OC，OC＝，OB＝，
BC＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长为4.
16．(几何直观)(河北承德宽城县期末)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M，N分别是边BC，CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN.
(1)△AMN 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
(2)在M，N运动的过程中，四边形CMAN的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由．
(1)△AMN是等边三角形，
证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACD＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN.
在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN(ASA)，
∴AM＝AN.
∵∠MAN＝60°，
∴△AMN是等边三角形；
(2)四边形CMAN的面积不发生变化．理由如下：
∵△BAM≌△CAN，
∴S△BAM＝S△CAN，
∴四边形AMCN的面积
＝S△ACD＝×2×＝，
∴四边形AMCN的面积不发生变化．
第2课时　菱形的判定
知识点1?　有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．(河北石家庄栾城区一模)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB
C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC
2．(河北沧州青县校级一模)如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABF交AE于点D，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠CBD.
又∵BD平分∠ABF，∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD.
同理，AB＝BC，∴AD＝BC.
又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．
3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC.求证：四边形AEBO是菱形．
∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴OA＝OB，
∴四边形AEBO是菱形．
知识点2?　对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．如图，在 ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出 ABCD是菱形，那么这个条件可以是(C)
A．AB＝CD B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB⊥BC
(河北秦皇岛青龙县期末)已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD，BC分别交于点M，N，求证：四边形ANCM是菱形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.
∵O为对角线AC的中点，∴OA＝OC.
∵∠AOM＝∠CON，∴△AOM≌△CON(ASA)，∴AM＝CN.
∵AM∥CN，∴四边形ANCM是平行四边形．
∵AC⊥MN，∴平行四边形ANCM是菱形．
知识点3?　四条边相等的四边形是菱形
6．(江苏盐城阜宁县期中)如图，已知点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是(A)
A．AB＝CD B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AD＝BC
7．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AB＝4，BC＝10，求AE的长．
(1)∵O是AC的中点，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，EA＝EC，OA＝OC.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO.
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE(AAS)，∴FA＝EC，
∴AE＝EC＝CF＝FA，∴四边形AECF为菱形；
(2)设AE＝CE＝x，则BE＝10－x，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2，
即42＋(10－x)2＝x2，解得x＝5.8，即AE＝5.8.
易错易混点　不能正确运用菱形的判定方法
8．(河北石家庄模拟)在小正方形组成的网格图中，四边形ABCD的顶点都在格点上，如图所示．则下列结论错误的是(C)
A．AD∥BC
B.DC∥AB
C．四边形ABCD是菱形
D．将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合
9．如图，在平行四边形ABCD中，作AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F，要使四边形CDFE是菱形，则平行四边形ABCD应具备的条件是(C)
A．∠ABC＝60°
B．四边形ABEF是菱形
C．AD＝2CD
D．AB＝BE
10．如图，在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正确的方案是(B)
A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙
C．只有甲、乙 D．只有甲
11．(河北石家庄三模)如图，已知平行四边形ABCD，要求利用所学知识在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD，BC于E，F两点，则四边形AFCE是菱形． 乙：分别作∠A与∠B的平分线AE，BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．
下列判断正确的是(A)
A．甲、乙均正确 B．甲错误，乙正确
C．甲正确，乙错误 D．甲、乙均错误
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作 CDEB，当AD＝时， CDEB为菱形.
13．(河北承德平泉市期末)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图叠放.
(1)判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
(2)求四边形AGCH的面积．
(1)四边形AGCH是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AFCE是矩形，
∴∠B＝∠F＝90°，AD∥BC，AF∥CE，
∴四边形AGCH是平行四边形．
∵S平行四边形AGCH＝GC·AB＝AG·CF，AB＝CF，
∴GC＝AG，∴平行四边形AGCH是菱形；
(2)由①可知，GC＝AG，
设GC＝AG＝x，则BG＝8－x，
在Rt△ABG中，AB＝4，
由勾股定理，得42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，∴GC＝5，
∴S菱形AGCH＝GC·AB＝5×4＝20.
【母题P75练习T2】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
由题意，可知两张等宽的纸条是长方形纸条，∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AN⊥DC交于点M，作AN⊥BC交于点N.
∵两纸条等宽，∴AM＝AN.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABN＝∠ADM.
∵AM⊥DC，AN⊥BC，
∴∠ANB＝∠AMD＝90°.
在△ABN和△ADM中，
∴△ABN≌△ADM(AAS)，∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
【变式】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)连接AF，CE.当BD与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？请说明理由．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.
∵∠ADB＋∠ADE＝180°，∠CBD＋∠CBF＝180°，
∴∠ADE＝∠CBF.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；
(2)当AC⊥BD时，四边形AFCE是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，
∴AC⊥BD.∵△ADE≌△CBF，
∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形．
∵AC⊥BD，∴ AFCE是菱形．
14．(运算能力)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接DE，BF，AF.
(1)求证：四边形DEBF是菱形；
(2)若AD∥EF，AD＋AB＝12，BD＝4，求AF的长．
(1)∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴BE＝DF.
∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形．
∵EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形；
(2)如图，过点F作FG⊥AB于点G.
∵AD∥EF，EF⊥BD，∴∠ADB＝90°.
在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2.
∵AD＋AB＝12，BD＝4，∴AD2＋(4)2＝(12－AD)2，解得AD＝4，
∴AB＝8，∴∠ABD＝30°.
∵四边形DEBF是菱形，∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，∴BF＝BE.
∵OB＝OD，EF∥AD，∴AE＝BE＝4.
∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2.
在Rt△BGF中，BF＝BE＝4，BG＝2，
∴FG＝＝2.
在Rt△AGF中，AG＝AE＋EG＝6，
AF＝＝＝4.21．3.2　菱形
第1课时　菱形的定义与性质
知识点1?　菱形的定义
1．(陕西西安新城区校级期末)在 ABCD中，添加下列条件，能判定 ABCD是菱形的是( )
A．AB＝AD B．AC＝BD
C．∠ABC＝90° D．AB＝CD
2．在四边形ABCD中，AB綉CD，AD＝CD，则四边形ABCD是 ．
知识点2?　菱形的性质
3．(河北石家庄桥西区期末)已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长为( )
A．30 B．20
C．15 D．12
4．如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，当四边形ECDF为菱形时，则a的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．(河北唐山迁安市二模)已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是( )
6．如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE＝AD，连接EC.若∠ADE＝36°，求∠BCE的度数．
知识点3?　菱形的面积
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E，F分别是AD，CD边的中点，连接EF，若EF＝3，OB＝4，则菱形ABCD的面积是( )
A．24 B．20
C．12 D．6
8．(河北沧州运河区校级期末)如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为( )
A．48 B．24 C．12 D．6
易错易混点　不能正确利用菱形的性质
9．(河北唐山丰南区期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.
(1)若∠BAD＝60°，则∠ADC＝ ，△BAD是 三角形(按边分类)；
(2)如图，点E是BD上一点，则AE与CE有怎样的数量关系？并证明．
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足．若AC＝6，BD＝8，则FG的长为( )
A．7 B．10 C．2.5 D．5
如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE且AE≠ED，连接EF，其中DE＝BF，BE＝BC，过点C作CH∥AE交BE于点H.则图中与∠BAE相等(∠BAE除外)的角有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴的正半轴上移动，点A，C之间的距离为4，连接OC.下列关于结论①、②的判断正确的是( )
①∠BAD的度数为100°；②线段OC长度的最大值为2＋2.
A．①、②都对 B．①错②对
C．①对②错 D．①、②都错
如图，E是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接AE，若AD＝DE，∠AEB＝105°，则∠BAE的度数为 °.
14．(河北保定定州市期末)如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°，且边EF与直线DC相交于点F.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求证：AE＝EF
15．如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，CB延长线交于点G，连接BD.
(1)求证：四边形EGBD是平行四边形．
(2)连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝6，求AG的长．
【母题P73练习T1】四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AO＝4.求AC，BD的长以及菱形ABCD的面积．
【变式】(河北期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝－1，BD＝＋1，请分别求菱形ABCD的面积和周长．
16．(几何直观)(河北承德宽城县期末)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点M，N分别是边BC，CD上的两个动点，∠MAN＝60°，连接MN.
(1)△AMN 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
(2)在M，N运动的过程中，四边形CMAN的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由．
第2课时　菱形的判定
知识点1?　有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．(河北石家庄栾城区一模)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB
C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC
2．(河北沧州青县校级一模)如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABF交AE于点D，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中AE∥BD，BE∥AC.求证：四边形AEBO是菱形．
知识点2?　对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．如图，在 ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出 ABCD是菱形，那么这个条件可以是( )
A．AB＝CD B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB⊥BC
(河北秦皇岛青龙县期末)已知：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD，BC分别交于点M，N，求证：四边形ANCM是菱形.
知识点3?　四条边相等的四边形是菱形
6．(江苏盐城阜宁县期中)如图，已知点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是( )
A．AB＝CD B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AD＝BC
7．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AB＝4，BC＝10，求AE的长．
易错易混点　不能正确运用菱形的判定方法
8．(河北石家庄模拟)在小正方形组成的网格图中，四边形ABCD的顶点都在格点上，如图所示．则下列结论错误的是( )
A．AD∥BC
B.DC∥AB
C．四边形ABCD是菱形
D．将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合
9．如图，在平行四边形ABCD中，作AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F，要使四边形CDFE是菱形，则平行四边形ABCD应具备的条件是( )
A．∠ABC＝60°
B．四边形ABEF是菱形
C．AD＝2CD
D．AB＝BE
10．如图，在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正确的方案是( )
A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙
C．只有甲、乙 D．只有甲
11．(河北石家庄三模)如图，已知平行四边形ABCD，要求利用所学知识在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD，BC于E，F两点，则四边形AFCE是菱形． 乙：分别作∠A与∠B的平分线AE，BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．
下列判断正确的是( )
A．甲、乙均正确 B．甲错误，乙正确
C．甲正确，乙错误 D．甲、乙均错误
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作 CDEB，当AD＝ 时， CDEB为菱形.
13．(河北承德平泉市期末)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图叠放.
(1)判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
(2)求四边形AGCH的面积．
【母题P75练习T2】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
【变式】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)连接AF，CE.当BD与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？请说明理由．
14．(运算能力)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接DE，BF，AF.
(1)求证：四边形DEBF是菱形；
(2)若AD∥EF，AD＋AB＝12，BD＝4，求AF的长．

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