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21．3.1　矩形
第1课时　矩形的定义与性质
知识点1?　矩形的定义
(江苏无锡宜兴市月考)如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是(B)
A．∠ABD＝∠CBD
B．∠ABC＝90°
C．AC⊥BD
D．AB＝BC
2．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，且AB⊥BC，则四边形ABCD是矩形．
知识点2?　矩形的性质
3．(河北保定定州市模拟)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为(B)
A．4 B．4 C．3 D．5
　　
4．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(2，4)，则AC的长是(D)
A．2 B．4
C．2 D．2
如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE(ASA)，∴FA＝CD.
又∵FA∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形；
(2)BC＝2CD.
理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°.
∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCD＝45°.
∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE.
∵E是AD的中点，∴AD＝2DE，∴AD＝2CD.
∵AD＝BC，∴BC＝2CD.
知识点3?　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，嘉嘉利用刻度直尺(单位： cm)测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为(A)
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，求CD的长．
∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE＝5，∴DE＝AC＝5，∴AC＝10.
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，
则根据勾股定理，得CD＝＝＝8.
易错易混点　对矩形的性质理解不透彻
如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是(C)
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线BD的长度变大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝3.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形的顶点A在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动．已知M是边AB的中点，连接OM，DM.下列判断正确的是(A)
结论Ⅰ：在移动过程中，OM的长度不变；
结论Ⅱ：当∠OAB＝45°时，四边形OMDA是平行四边形．
A．结论Ⅰ、Ⅱ都对
B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
C．只有结论Ⅰ对
D．只有结论Ⅱ对
10．如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为(C)
A．10 B．8＋2
C．8＋2 D．14
　　　
11．(河北唐山二模)如图，在矩形ABCD中，动点E，F分别从点D，B同时出发，沿DA，BC向终点A，C移动．要使四边形AECF为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是(A)
甲：点E，F的运动速度相同；乙：AF＝CE
A．甲、乙都可行
B．甲、乙都不可行
C．甲可行，乙不可行
D．甲不可行，乙可行
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝110°，M是CD的中点，∠ACD的度数为55°，∠DOM的度数为35°.
(河北邯郸期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长BD至点E，延长DB至点F，使BF＝DE.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若∠ECA＝90°，∠CEF＝30°，试判断BD与EF之间的数量关系，并说明理由．
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BF＝DE.∴OF＝OE，∴四边形AFCE是平行四边形；
(2)BD＝EF.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝AO＝CO.
∵∠ACE＝90°，∠CEF＝30°，
∴OC＝OE，∴OD＝OE.
∵OF＝OE，∴OB＝OF，
∴OB＋OD＝F＋E＝(OF＋OE)＝EF，
即BD＝EF.
【母题P69例1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4.求矩形ABCD的对角线的长.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分．∴OA＝OB.
又∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形．
∴OA＝AB＝4.∴AC＝BD＝2OA＝8.
【变式】(河北廊坊三河市期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E.
(1)求证：DB＝DE；
(2)若∠AOB＝60°，BD＝4，求四边形BCDE　的面积.
(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AC＝BD，AB∥CD.
又DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形，
∴DE＝AC，CD＝AE，∴DE＝BD；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝BO＝2.
又∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝2＝CD＝AE，
∴AD＝＝＝2，
∴四边形BCDE的面积＝×2×2＋2×2＝6.
14．(推理能力)如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变．
观察：线段EB由AB旋转得到，即EB＝AB.那么FC＝CD，EF＝AD；
发现：EF∥AD，请证明这一结论；
计算：已知BC＝20，DC＝60，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H.求BE与CF之间的距离．
观察：CD　AD
发现：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.
∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，
∴BE＝CF，EF＝BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD；
计算：如图，过点C作CG⊥BE于点G，
∵DC＝AB＝BE＝60 (cm)，H是CD的中点，
∴CH＝DH＝30 (cm)，
在Rt△BHC中，BH＝＝
＝10(cm)，
∵CG⊥BE，∴BH·CG＝BC·CH，
×10×CG＝×20×30，
∴CG＝(cm)，
∴BE与CF之间的距离为 cm.
第2课时　矩形的判定
知识点1?　有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．(甘肃武威中考)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是∠A＝90°(答案不唯一)．
　　
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件AB⊥BC(答案不唯一)，使四边形BEFD为矩形．
3．如图，在 ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，点F在CD上，且CF＝AE.求证：四边形DEBF是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC.
∵AE＝CF，∴AB－AE＝DC－CF，即EB＝DF.
又∵AB∥DC，∴四边形DEBF是平行四边形．
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴ DEBF是矩形．
知识点2?　对角线相等的平行四边形是矩形
4．已知在四边形ABCD中，AC＝BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是(C)
A．AC⊥BD
B．∠ABC＝90°
C．AC与BD互相平分
D．AB＝BC
5．(河北石家庄栾城区期末)四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝60°，则AB∶AC＝1∶2．
6．现有一个零件，如图1.嘉嘉和琪琪分析零件所标数据后，嘉嘉认为此零件是矩形，琪琪认为此零件不是矩形，你同意谁的说法，借助图2进行说明．
同意嘉嘉的说法．
理由如下：由图可知OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，OA＋OC＝OB＋OD，
即AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
知识点3?　有三个角是直角的四边形是矩形
7．(河北石家庄一模)依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是(A)
8．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足.
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是矩形．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC.
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)；
(2)∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°，
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
易错易混点　对矩形的判定掌握不熟练
9．在木艺活动课上，老师拿出了一块平行四边形木板，以下测量方案中，能确定这块木板是矩形的是(A)
A．测量对角线相等
B．测量一组邻边相等
C．测量两组对边相等
D．测量对角线互相垂直
10．(河北石家庄赵县校级二模)在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD是矩形的是(C)
A．AD＝BC且AC＝BD
B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C
D．AB∥CD且AC2＝AB2＋BC2
11．(河北张家口期末)如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB，∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE，AF，在下列结论中：
①OE＝OF；
②CE＝CF；
③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；
④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．
其中正确的是(A)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．①④ B．①②
C．①②③ D．②③④
12．(浙江湖州德清县期末)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，要使四边形DBCE成为矩形，可添加一个条件是CD＝BE或∠ADB＝90°或CE⊥DE．(只要写出一个条件即可)
13．(河北廊坊期末)在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－1)、点B(2，3)、点C(2，－1)，在平面直角坐标系中找一点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形为矩形，则BD的长为4，点D的坐标为(－2，3).
14．(江苏镇江句容市期末)如图，在 ABCD中，E是AD的中点，连接BE，BE，CD的延长线相交于点F，连接AF，BD.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若∠BEA＋2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠FDE.
∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，
在△BEA和△FED中，
∴△BEA≌△FED(ASA)，∴AB＝DF，
又AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠C.
∵∠BEA＋∠BAE＋∠ABE＝180°，∠BEA＋2∠C＝180°，
∴∠BAE＝∠ABE，∴BE＝AE.
由(1)知，四边形ABDF是平行四边形，∴BE＝BF.
∵AE＝AD，∴BF＝AD，∴平行四边形ABDF是矩形．
【母题P71练习T2】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB＝2.求 ABCD的面积.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，BO＝BD，∴AC＝2AO，BD＝2BO.
∵△OAB是等边三角形，
∴AO＝BO，∠BAC＝60°，∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝4.
在Rt△ABC中，由勾股定理，可得BC＝＝＝2，
∴S ABCD＝AB·BC＝2×2＝4.
【变式】(河南南阳月考)在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解：
已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC.
小壮说：若OA＝OB，则四边形ABCD为矩形；
小刚说：若∠ABC＝∠BCD，则四边形ABCD为矩形．
小强说：若∠1＝2∠2，则四边形ABCD为矩形．
请对三人的说法任选其一进行判断并证明.
小壮的说法是正确的(三人的观点都正确，可任选其一判断).理由如下：
证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠2，∠ADB＝∠CBD.
又∵OA＝OC，∴△AOD≌△COB，∴OD＝OB＝BD.
又∵OA＝OC＝AC，∴四边形ABCD为平行四边形．
∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形.
若选择小刚：
证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠2，∠ADB＝∠CBD.
又∵OA＝OC，∴△AOD≌△COB，∴OD＝OB，
∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵∠ABC＝∠BCD，∴2∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形；
若选择小强：
证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠2，∠ADB＝∠CBD.
又∵OA＝OC，∴△AOD≌△COB，∴OD＝OB，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵∠1＝∠2＋∠OBD，∠1＝2∠2，∴∠2＝∠OBD，
∴OB＝OC，∴OA＝OD，∴OA＋OC＝OB＋OD，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．
15．(推理能力)(吉林长春绿园区校级开学)如图，在△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝3，CF＝4，则EF的长5；
(3)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论．
(1)∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，
∴OE＝OC，OC＝OF，
∴OE＝OF；
(2)∵CE平分ACB，CF平分ACD，
∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，
∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACF＝(∠ACB＋∠ACD)＝90°，
EF＝＝＝5；
(3)当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
理由如下：∵AO＝CO，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECA＋∠ACF＝∠BCD，
∴∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．21．3.1　矩形
第1课时　矩形的定义与性质
知识点1?　矩形的定义
(江苏无锡宜兴市月考)如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( )
A．∠ABD＝∠CBD
B．∠ABC＝90°
C．AC⊥BD
D．AB＝BC
2．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，且AB⊥BC，则四边形ABCD是 ．
知识点2?　矩形的性质
3．(河北保定定州市模拟)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为( )
A．4 B．4 C．3 D．5
　　
4．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(2，4)，则AC的长是( )
A．2 B．4
C．2 D．2
如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
知识点3?　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，嘉嘉利用刻度直尺(单位： cm)测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为( )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，求CD的长．
易错易混点　对矩形的性质理解不透彻
如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下列判断错误的是( )
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线BD的长度变大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝3.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形的顶点A在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动．已知M是边AB的中点，连接OM，DM.下列判断正确的是( )
结论Ⅰ：在移动过程中，OM的长度不变；
结论Ⅱ：当∠OAB＝45°时，四边形OMDA是平行四边形．
A．结论Ⅰ、Ⅱ都对
B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
C．只有结论Ⅰ对
D．只有结论Ⅱ对
10．如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为( )
A．10 B．8＋2
C．8＋2 D．14
　　　
11．(河北唐山二模)如图，在矩形ABCD中，动点E，F分别从点D，B同时出发，沿DA，BC向终点A，C移动．要使四边形AECF为平行四边形，甲、乙分别给出了一个条件，下列判断正确的是( )
甲：点E，F的运动速度相同；乙：AF＝CE
A．甲、乙都可行
B．甲、乙都不可行
C．甲可行，乙不可行
D．甲不可行，乙可行
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝110°，M是CD的中点，∠ACD的度数为 ，∠DOM的度数为 .
(河北邯郸期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长BD至点E，延长DB至点F，使BF＝DE.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若∠ECA＝90°，∠CEF＝30°，试判断BD与EF之间的数量关系，并说明理由．
【母题P69例1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4.求矩形ABCD的对角线的长.
【变式】(河北廊坊三河市期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E.
(1)求证：DB＝DE；
(2)若∠AOB＝60°，BD＝4，求四边形BCDE　的面积.
14．(推理能力)如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变．
观察：线段EB由AB旋转得到，即EB＝AB.那么FC＝ ，EF＝ ；
发现：EF∥AD，请证明这一结论；
计算：已知BC＝20，DC＝60，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H.求BE与CF之间的距离．
第2课时　矩形的判定
知识点1?　有一个角是直角的平行四边形是矩形
1．(甘肃武威中考)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 ．
　　
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件 ，使四边形BEFD为矩形．
3．如图，在 ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，点F在CD上，且CF＝AE.求证：四边形DEBF是矩形．
知识点2?　对角线相等的平行四边形是矩形
4．已知在四边形ABCD中，AC＝BD，再补充一个条件使得四边形ABCD是矩形，这个条件可以是( )
A．AC⊥BD
B．∠ABC＝90°
C．AC与BD互相平分
D．AB＝BC
5．(河北石家庄栾城区期末)四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝60°，则AB∶AC＝ ．
6．现有一个零件，如图1.嘉嘉和琪琪分析零件所标数据后，嘉嘉认为此零件是矩形，琪琪认为此零件不是矩形，你同意谁的说法，借助图2进行说明．
知识点3?　有三个角是直角的四边形是矩形
7．(河北石家庄一模)依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是( )
8．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足.
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是矩形．
易错易混点　对矩形的判定掌握不熟练
9．在木艺活动课上，老师拿出了一块平行四边形木板，以下测量方案中，能确定这块木板是矩形的是( )
A．测量对角线相等
B．测量一组邻边相等
C．测量两组对边相等
D．测量对角线互相垂直
10．(河北石家庄赵县校级二模)在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A．AD＝BC且AC＝BD
B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C
D．AB∥CD且AC2＝AB2＋BC2
11．(河北张家口期末)如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB，∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE，AF，在下列结论中：
①OE＝OF；
②CE＝CF；
③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；
④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．
其中正确的是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A．①④ B．①②
C．①②③ D．②③④
12．(浙江湖州德清县期末)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，要使四边形DBCE成为矩形，可添加一个条件是 ．(只要写出一个条件即可)
13．(河北廊坊期末)在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－1)、点B(2，3)、点C(2，－1)，在平面直角坐标系中找一点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形为矩形，则BD的长为 ，点D的坐标为 .
14．(江苏镇江句容市期末)如图，在 ABCD中，E是AD的中点，连接BE，BE，CD的延长线相交于点F，连接AF，BD.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
(2)若∠BEA＋2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形．
【母题P71练习T2】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB＝2.求 ABCD的面积.
【变式】(河南南阳月考)在学完矩形的判定后，善于钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解：
已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC.
小壮说：若OA＝OB，则四边形ABCD为矩形；
小刚说：若∠ABC＝∠BCD，则四边形ABCD为矩形．
小强说：若∠1＝2∠2，则四边形ABCD为矩形．
请对三人的说法任选其一进行判断并证明.
15．(推理能力)(吉林长春绿园区校级开学)如图，在△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝3，CF＝4，则EF的长 ；
(3)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论．

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