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21．2.3　三角形的中位线
知识点1?　三角形的中位线定理
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，D，E分别是AC，AB的中点，则DE的长是(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．5 B．6 C．7 D．8
2．(河北石家庄期末)在周长为600 m的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为300m.
3．(湖南长沙期中)如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO，AB的中点为C(1，n)，D(4，m)，则点B的坐标为(6，0).
知识点2?　三角形的中位线与平行四边形
4．(新疆乌鲁木齐米东区期末)如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是(C)
A．10 B．12 C．14 D．16
5．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长为(C)
A．6 B．9 C．11 D．13
如图，四边形ABCD为平行四边形，线段AC为对角线，点E，F分别为线段BC，AD的中点，连接EF交AC于点O.
(1)求证：四边形AECF为平行四边形；
(2)若OF＝3，求CD的长．
(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，
∴AF＝AD，CE＝BC，∴AF＝CE.
∵AF∥CE，∴四边形AECF为平行四边形；
(2)由(1)，知四边形AECF为平行四边形，
∴OA＝OC.∵AF＝DF，
∴OF为△ACD的中位线，∴CD＝2OF＝2×3＝6.
易错易混点　不能正确理解三角形中位线导致出现错误
如图，已知四边形ABCD中，点R，P分别是边DC，BC上的点，点E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，下列结论成立的是(C)
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长的变化情况不能确定
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BCD的平分线与边AD相交于点F，E是CF中点，若AB＝6，AD＝8，则OE的长为(A)
A．1 B．2 C．3 D．4
(河北石家庄裕华区校级三模)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，CD平分∠ACB，点E为AB的中点，经过点E作FG⊥CD于点F，交BC于点G，则EG＝．
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线DP与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为1.5．
11．(河北沧州盐山县期末)如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上一点，且CF＝3BF，连接DB，EF.若∠ACB＝90°，AC＝12，DE＝4.
(1)求证：DE＝BF；
(2)求四边形DEFB的周长．
(1)∵D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC.
∵CF＝3BF，∴BF＝BC，∴DE＝BF；
(2)∵D是AC的中点，AC＝12，∴CD＝6.
∵DE＝4，∴BC＝8.
由勾股定理，得DB＝＝＝10，
∵DE＝BF，DE∥BC，∴四边形DBFE为平行四边形，
∴四边形DEFB的周长＝2×(4＋10)＝28.
【母题P65练习T3】如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC.怎样利用三角形的中位线定理测出A，B两点间的距离？
如图所示，
取AC的中点E，BC的中点F，连接EF，量得BF的长，则A，B两点间的距离为2EF.
理由如下：
∵E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB，
∴AB＝2EF，∴只要量出EF的长度乘2，就是A，B两点间的距离了．
【变式】在一个三角形地块中分出一块(阴影部分)种植花草，尺寸如图，则PQ的长度是(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 m B．2 m C．3 m D．4 m
12．(推理能力)【三角形中位线定理】
已知：如图①，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图②，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图③，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG.
求证：AC＝BD.
【三角形中位线定理】DE∥BC，DE＝BC
【应用】连接BD，如图1所示．
图1
∵E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠ADB＝∠AFE＝45°.
∵BC＝5，CD＝3，
∴BD2＋CD2＝25，BC2＝25.
∴BD2＋CD2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形且∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝135°；
【拓展】如图2，取DC的中点H，连接MH，NH.
图2
∵M，H分别是AD，DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
∴MH∥AC且MH＝AC(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半)，
同理，可得NH∥BD且NH＝BD.
∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠EGF.
∵MH∥AC，NH∥BD，
∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，
∴∠HMN＝∠HNM，
∴MH＝NH，
∴AC＝BD.21．2.3　三角形的中位线
知识点1?　三角形的中位线定理
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，D，E分别是AC，AB的中点，则DE的长是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A．5 B．6 C．7 D．8
2．(河北石家庄期末)在周长为600 m的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为 m.
3．(湖南长沙期中)如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO，AB的中点为C(1，n)，D(4，m)，则点B的坐标为 .
知识点2?　三角形的中位线与平行四边形
4．(新疆乌鲁木齐米东区期末)如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是( )
A．10 B．12 C．14 D．16
5．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长为( )
A．6 B．9 C．11 D．13
如图，四边形ABCD为平行四边形，线段AC为对角线，点E，F分别为线段BC，AD的中点，连接EF交AC于点O.
(1)求证：四边形AECF为平行四边形；
(2)若OF＝3，求CD的长．
易错易混点　不能正确理解三角形中位线导致出现错误
如图，已知四边形ABCD中，点R，P分别是边DC，BC上的点，点E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，下列结论成立的是( )
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长的变化情况不能确定
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BCD的平分线与边AD相交于点F，E是CF中点，若AB＝6，AD＝8，则OE的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(河北石家庄裕华区校级三模)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，CD平分∠ACB，点E为AB的中点，经过点E作FG⊥CD于点F，交BC于点G，则EG＝ ．
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线DP与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为 ．
11．(河北沧州盐山县期末)如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上一点，且CF＝3BF，连接DB，EF.若∠ACB＝90°，AC＝12，DE＝4.
(1)求证：DE＝BF；
(2)求四边形DEFB的周长．
【母题P65练习T3】如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC.怎样利用三角形的中位线定理测出A，B两点间的距离？
【变式】在一个三角形地块中分出一块(阴影部分)种植花草，尺寸如图，则PQ的长度是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 m B．2 m C．3 m D．4 m
12．(推理能力)【三角形中位线定理】
已知：如图①，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图②，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图③，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG.
求证：AC＝BD.
【三角形中位线定理】DE∥BC，DE＝BC

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