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江苏南通市如东县2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长是( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.函数，的值域为( )
A. B. C. D.
5.在一座高的观测台顶测得对面一座水塔塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则该水塔的高度是( )
A. B. C. D.
6.已知非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.在中，已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.在中，已知，．为的中点，且，则的面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在边长为的等边中，，，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知是复数，则( )
A. B. C. D.
11.在中，已知内角的对边分别为，其面积为，外接圆的半径为，且下列说法正确的是( )
A. 若，则 B.
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数满足，则的取值范围是 ．
13. 为了防止电线杆倾斜，在两侧对称的用钢丝绳把它拉紧已知每条钢丝绳的拉力都是 ，每条钢丝绳与电线杆的夹角都为经工作人员测量得，则两条钢丝绳拉力的合力大小为 ．
14.在中，已知内角的对边分别为，且，则 若为边上的点，且，，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，，求：
的模
．
16.本小题分
如图，在中，，，，，
求的长；
求的面积．
17.本小题分
如图，有两条相交成角的直路，，交点是甲、乙分别在，上，起初甲离点，乙离点，后来甲沿着方向，乙沿着方向，同时以的速度步行．
起初两人间的距离是多少？
经过多长时间，两人间的距离是？
什么时候两人间的距离最短，并求出最短距离．
18.本小题分
在四边形中，，，．
若四边形是圆的内接四边形，求
；
；
求四边形的面积的最大值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，对于非零向量和角，定义变换如下：，且．
若，求的值；
求证：与的面积相等；
设，，是否存在，使得，不等式恒成立．若不存在，说明理由；若存在，求出的取值范围．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
则，
所以．
因为，
，
，
所以．

16.解：过点作，垂足为，
，，，，
在中，，
在中，，
由余弦定理可得，，
；
，
．

17.解：设两人间的距离为，起初位置时，
甲、乙的位置分别为，，
起初位置时，，．
在中，由余弦定理
，
得，所以．
设经过小时后，甲、乙的位置分别为，．
当时，，
当时，，
所以．
若，则，
所以或舍去．
所以经过小时，两人间的距离是．
由得，
所以当时，，
所以经过小时后，距离最短，最短距离是．
答：距离是经过小时经过小时后，最短距离是．

18.解：连接，在圆中，，所以．
在中，由余弦定理，
得．
在中，由余弦定理，
得．
所以，所以．
方法一：
以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设，，，
则，，
解得舍或．
因为，，
所以．
方法二：
在中，由余弦定理，
得
在中，由余弦定理，
得
所以，所以．
所以延长交于点，则．
所以．
所以．
四边形的面积为
．
所以．
由得，
所以．
所以
．
因为，当且仅当时等号成立，
所以，所以
所以四边形的面积的最大值是．

19.解：因为，所以，，
所以，所以．
证明与面积相等首先证明所有为定值：
因此，
，
所以，
故，
三角形面积公式：，
因此：，
，
故面积相等，得证．
，
，
不等式等价于，
代入得：，
整理化简得：，
因为，故，
上式是关于的一次函数，
一次函数在恒非负只需端点满足：恒成立；
，解得，
因此存在满足条件的，取值范围为或．
故．

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