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广东深圳市聚龙科学中学等校2025-2026学年第二学期高一第一阶段质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
2.下列向量关系式中，正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
4.关于平面向量，，，有下列四个命题：
若，则与可能共线； 若，则或；
若，则； 若，则．
其中正确的命题是( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，则( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量，，且，则不正确的是( )
A. B. C. D.
7.记的面积为，的外接圆半径为，且，则( )
A. B. C. D.
8.在中，，若，求周长的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，正确的是( )
A. 已知复数满足，的共轭复数为
B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 圆台有无数条母线，延长后相交于一点，但它们的长度不一定相等
D. 一个棱柱至少有六个顶点
10.已知平面向量，，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则在方向上的投影向量是
C. 与的夹角为钝角，则的取值范围
D. 若，的夹角为，则
11.已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是( )
A. 若是锐角三角形，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 在中，，，则一定是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，若，则 ．
13.如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是
14.在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点除端点外，若实数，满足，则的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
；
；
．
16.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且，．
若，求的值；
若的面积，求，的值．
17.本小题分
如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．
求的值；
求证：．
18.本小题分
的内角的对边分别为，已知，，．
求；
求；
设为边上一点，且，求的面积．
19.本小题分
如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
求的余弦值．
以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，求点坐标；
若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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3.
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5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.；
；
．
16.解：，且， ，
由正弦定理得，

，
，

由余弦定理得，
．

17.解：因为，
所以 ，
，
因为，，，
所以，
则
因为
所以，
所以
，
所以，即，所以．

18.解：，．
，．
由知，
又由余弦定理可得，
即，即，
解得舍去或，故．
，，
，，
，故为的中点，．
又，
．

19.解：如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．
则，，，，
，．
由于就是，的夹角．
，
的余弦值为．
设，，
，，
，，，
，
联立得，，．
由题得，．
当点在上时，设，，
，，，
．
当点在上时，设，，
，，舍去．
综上，存在，．

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