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广东惠州市惠东县2025-2026学年第二学期高一年级期中质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为( )
A. B. C. D.
4.已知，，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，则 D.
5.已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
6.在中，，是上一点，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7.已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是( )
A. B. C. D.
8.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径即杯口直径，高不含杯脚，已知水的高度是，现往杯子中放入一种直径为的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠( )
A. 颗 B. 颗 C. 颗 D. 颗
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
10.设复数满足，则以下结论正确的是( )
A. 在复平面上对应的轨迹是圆 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 复数的虚部取值范围是
11.在中，已知，，，若，则( )
A. B.
C. 是在上的投影向量 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.定义运算若复数，，则 ， ．
13.如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点含端点、若，则的取值范围是
14.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
作图题：如图所示，已知同起点的三个向量，，，求作向量．
设两个非零向量，不共线，，，．
若和共线，求实数的值；
求证：、、三点共线．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，求的最小值及的面积．
17.本小题分
已知函数．
求函数的周期、单调增区间、对称中心；
当时，求函数的值域；
当时，方程有个不同的实数根，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，其中为常数．
当时，恒成立，求实数的取值范围
设函数在上有两个零点，，
求的取值范围
证明：
19.本小题分
已知定义在上的函数满足，且当时，．
求的值，并证明：为奇函数；
求证：在上是增函数；
若，求不等式的解集．
参考答案
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15.解：如图：保持不变，将平移，使其起点落在的终点上，
然后将向量平移，使其起点落在平移后的的终点上，
最后从最开始的起点连接到最终的终点，这个新的向量就是，
和共线，则有，，
因为非零向量，不共线，所以有且，得 即；
，
因为，所以和共线，所以、、三点共线．

16.解：根据正弦定理边角转换可得：可得，
整理得，
则，
又，所以；
由题知化简得，
，
当且仅当时等号成立，的最小值为；
所以的面积为．
17.解：
．
所以函数 的周期 ．
由 ， ，
所以单调增区间为 ， ．
由横坐标为 ， ，纵坐标为 ，
所以对称中心为 ， ．
由 ，得 ， ，所以 ．
即函数的值域为；
，
解得 ，
所以当有个实数根时，依次为 ， ， ；
当有个实数根，此时 为临界点，
由条件可知 临界点为开区间，为满足条件，可知 ．

18.解：由题意
，
令，
因为，
所以，
则，，
即求在上恒成立，
因为为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以在上单调递增，
则的最大值为，
所以，解得，
故实数的取值范围为．
令，
因为，所以，
因为函数在上有两个零点，
所以在上有两个根，
则在上有两个根，
令，为开口向下，
对称轴为的抛物线，
则的最大值为，
作出与的图象，则与的图象有个不同交点，
由图象可得，则的取值范围是
由得，为与的图象的交点，
则，即，
因为，不妨设，
所以，则，
则，
因为，所以，
所以，
则，
所以，
即
19.解：定义在上的函数满足，
取，则，所以，
，取，则，
于是，
即，
所以为奇函数．
，则，由当时，，得，
，
所以在上是增函数．
由，得，
不等式，
则，由知，，即，解得或，
所以原不等式的解集为．

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