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广东惠州市惠东县2025-2026学年第二学期高二年级期中学业质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的展开式中的第项的二项式系数是( )
A. B. C. D.
2.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. B.
C. D.
3.设离散型随机变量的分布列为
若随机变量，则( )
A. B. C. D.
4.设，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则曲线在点处的切线方程为
A. B.
C. D.
6.已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
7.从标有，，，，的五张卡片中随机选取张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这样的四位数中大于的个数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知离散型随机变量的分布列为
则( )
A. B.
C. D.
10.设函数，且记，则( )
A. 数列的首项为 B. 数列的前项和为
C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和为
11.已知函数，则( )
A. 是函数的极小值点
B. 对，方程恒有两个不同的实数解
C.
D. 存在，使得直线与曲线相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有 种
13.二项式的展开式中的常数项为 ．
14.已知函数，函数恰有个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
16.本小题分
某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、。环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求：
这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率
这袋垃圾存在违规混投的概率
若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，为的中点．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆的左、右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为．
求椭圆的方程；
过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点异于、，直线，的交于点，求证：点在直线上．
参考答案
1.
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16.解：设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件，，垃圾违规混投为事件，
由题意可知，

即这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为；

，
即这袋垃圾存在违规混投的概率为；
，
即已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为．
17.解：取的中点为，连接．
因为四边形是菱形，所以，
因为分别是的中点，所以，所以．
由，得，
而平面平面，平面平面平面，
故平面，又平面，所以．
又，平面，所以平面．
而平面，故．
由题知为正三角形，而，故，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，
的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图：
则，
于是．
设平面的法向量为，
则即，可取．
设直线与平面所成的角为，
则．

18.解：由题知： ，
若 ， ， 在 上单调递增
若 ，令 解得：
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
综上，当 ， 的递增区间是 ，没有单调递减区间，
若 ， 的递增区间是 ，递减区间是 ；
依题意， 时， 恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，
则 ，
令 ，由知函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
则有 ，即 ，
即当 时，则 ，当 时，则 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 处取最小值 ，于是得 ，
所以 的取值范围为 ．

19.解：因为，椭圆离心率为，
所以，解得，，
所以椭圆的方程是．
若直线的斜率不存在时，如图，
因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是．
所以点的坐标是，点的坐标是．
所以直线的方程是，直线的方程是，
所以直线，的交点的坐标是，
所以点在直线上
若直线的斜率存在时，如图，设斜率为，
所以直线的方程为，
联立方程组
消去，整理得，
显然不妨设，，
则，，
所以直线的方程是，令，得，
直线的方程是．
令，得，
所以，
其中分子
，
所以点在直线上．

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