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2025-2026学年广东省韶关市仁化县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国“二十四节气“已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春“、“谷雨“、“白露“、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.在下列事件中，不可能事件是（　　）
A. 投掷一枚硬币，正面向上 B. 从只有红球的袋子中摸出黄球
C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 射击运动员射击一次，命中靶心
3.抛物线y=x2+4x-3的对称轴是直线（　　）
A. x=-4 B. x=-2 C. x=4 D. x=2
4.若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
5.如图，A，B，C是小区内的三栋楼，现准备在B，C的中点D处建造一个5G基站，若其覆盖范围是一个半径为200m的圆，则这三栋楼在该5G基站覆盖范围内的是（　　）
A. 只有B B. 只有A、B C. 只有B、C D. A、B、C
6.若一元二次方程x（x+2）-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点（m,n）在平面直角坐标系中位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：
种子个数 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽种子个数 96 282 382 567 945 1912 2850
发芽种子频率 0.960 0.940 0.955 0.945 0.945 0.956 0.950
则种子发芽的概率估计值是（　　）
A. 0.960 B. 0.950 C. 0.945 D. 0.940
8.直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示.若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（　　）
A. 2分米
B. 3分米
C. 4分米
D. 5分米
9.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C对应点分别为D、E.若∠B=55°，当点B、C、D、P在同一条直线上时，则∠PDE的度数为（　　）
A. 55° B. 70° C. 80° D. 110°
10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则（　　）
A. abc＜0
B. 2a+b＜0
C. 2b-c＜0
D. a-b+c＜0
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知关于x的方程x2+mx-3=0的一个根是1，则m的值为 .
12.二次函数y=2x2-4x+3m的图象的顶点在x轴上，则m的值为 .
13.如图，P是等边△ABC内部一点，把△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACQ，则旋转角的度数是 度.
14.如图是周长为15cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC=4cm,则三角形纸片BDE的周长为 cm.
15.如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m,则铅球掷出的水平距离OB为 m.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
解方程：x2-7x+12=0.
17.(本小题7分)
学习电学知识后，小婷同学用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图．
（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于______；
（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．
18.(本小题7分)
已知矩形的周长为18cm,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？最大侧面积是多少？（结果保留π）
19.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（-2，5），B（-5，3），C（-3，1）.
（1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A'B'C'，点A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'；
（2）作△ABC关于原点O的中心对称图形△DEF（A、B、C的对应点分别为D、E、F）；
（3）在（1）的条件下，连接点OC和OC'，求线段OC扫过的图形的面积（结果保留π）.
20.(本小题9分)
2025年第十五届全国运动会于11月9日在广州开幕，全运会的官方吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，以中华白海豚为原型设计，寓意“喜气洋洋、团圆和美”，体现粤港澳大湾区的团结与体育精神.我们在电商平台和实体店了解其销售情况.
（1）统计某电商平台，2025年9月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年11月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
（2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件.通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应为每件多少元？
21.(本小题9分)
如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AB，作直径AC，延长O2B到点D，使DB=O2B，连接DC.
（1）∠ABO2= ______度；
（2）求证：DC为⊙O2的切线；
（3）若DC=3，求⊙O2上的长.
22.(本小题13分)
综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系.
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y=-x2+60x+100（0≤x≤30）.
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为______，排队人数w与安检时间x的函数关系式为______.
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支.
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性.
23.(本小题14分)
【模型提出】如图1，已知线段AB的长度为4，在线段AB所在直线外有一点C，且∠ACB=45°，想确定满足条件的点C的位置，可以以AB为底边构造一个等腰Rt△AOB，再以点O为圆心，OA长为半径画圆，得到△ABC的外接圆，则点C在⊙O的优弧ACB上.即：已知线段AB的长度，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型.
【模型应用】
（1）如图2，当弦AB=6，∠C=60°时，求△ABC外接圆的半径.
（2）如图3，在正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是边BC、CD上的动点，BE=CF，连接AE、BF，AE与BF交于点G.
①在点G的运动过程中∠AGB= ______；
②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和CG的最小值；
③在图3中，若点Ⅰ是△ABG的内心，连接CI，直接写出线段CI的最小值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】2
12.【答案】
13.【答案】60
14.【答案】7
15.【答案】8
16.【答案】解：（x-3）（x-4）=0，
x-3=0或x-4=0，
所以x1=3，x2=4．
17.【答案】0；
．
18.【答案】矩形的长、宽都是cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为cm2．
19.【答案】将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′，如图即为所求； 如图，△DEF即为所求； π
20.【答案】（1）20% （2）每件80元
21.【答案】解：（1）30；
（2）证明：连接O1A，O1B，O1O2，BC，如图所示：
∵⊙O1和⊙O2是等圆，
∴O1B=O2B=O1O2=O1A=O2A=O1O2，
∴△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形，
∴∠AO2O1=∠BO2O1=60°，
∴∠BO2C=60°，
∵O2B=O2C，
∴△O2BC是等边三角形，
∴∠O2CB=∠O2BC=60°，BC=O2B，
∵DB=O2B，
∴DB=BC，
∴∠D=∠BCD，
∵∠O2BC是△BCD的外角，
∴∠D+∠BCD=∠O2BC=60°，
∴∠D=∠BCD=30°，
∴∠O2CD=∠O2CB+∠BCD=90°，
即O2C⊥CD，
∵O2C是⊙O2的半径，
∴DC为⊙O2的切线；
（3）设O2C=O2B=R，
∴DB=O2B=R，
∴O2D=DB+O2B=2R，
∵∠O2CD=90°，
∴△O2CD是直角三角形，
在Rt△O2CD中，由勾股定理得：DC===，
∵DC=，
∴，
解得：R=3，
∴O1A=O2B=R=3，
∵△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形，
∴∠AO1O2=∠BO1O2=60°，
∴∠AO2B=120°，
∴⊙O2上的长为：=2π．
22.【答案】18x，w=-x2+42x+100；
排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人；
最少开7条通道．理由见解析．
23.【答案】2；
①90°；②G经过的路径长为π；CG的最小值为2-2；③2-2．
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