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北京市首都师范大学附属苹果园中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷
一、单项选择题：本大题共12小题，共60分。
1.在数列{}中,=1,=-2(n=1,2,3,),那么=( ).
A. -2 B. - C. 1 D. 2
2.已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
3.已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛, 甲中靶概率为0.8, 乙中靶概率为0.7, 且两人是否中靶相互独立.若甲、乙各射击一次,则两人都中靶的概率为( )
A. 0.56 B. 0.14 C. 0.24 D. 0.94
4.等差数列{an}中，a7=4，a8=1，则a10=（　　）
A. -5 B. -2 C. 7 D. 10
5.在等差数列中，，设数列的前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
6.若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（）
A. 0.6 B. 0.375 C. 0.36 D. 0.216
7.已知数列的前n项和，则是（ ）
A. 公差为4的等差数列 B. 公差为2的等差数列 C. 公比为2的等比数列 D. 公比为3的等比数列
8.设为无穷等比数列的前n项和，则“有最大值”是“有最大值”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
9.此时此刻你正在做这道选择题, 假设你会做的概率是, 当你会做的时候, 又能选对正确答案的概率为100%, 而当你不会做这道题时, 你选对正确答案的概率是0.25,那么这一刻,你答对题目的概率为( )
A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0
10.已知是公比不为1的等比数列，，若成等差数列，则（ ）
A. B. C. 4052 D.
11.湖北新冶钢有限公司（简称为“新冶钢”）是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称．该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，则该台机器购买若干年后的年平均利润最大值是（）万元．
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
12.设数列的前n项和，若，则（ ）
A. 数列满足
B. 数列为递增数列
C. 的最小值为
D. ，，不成等差数列
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.在等差数列中,若,,则数列的公差 .
14.若数列满足，，则 ，前项的和 .
15.一批产品的次品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的次品件数，则E（X）= ．
16.设等比数列的公比，前项和为，则 .
17.能说明“设数列的前项和，对于任意的，若，则”为假命题的一个等比数列是 ．（写出数列的通项公式）
18.设数列{an}前n项和为Sn，满足，n∈N*且a1＞0，an+an-1≠0（n≥2），则下列命题正确的是 .①an=-2n+21；②数列为等差数列；③当n=11时，Sn有最大值；④设bn=anan+1an+2，则当n=8或n=10时，数列{bn}的前n项和取最大值.
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题15分)
已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？
（3）若数列，求数列的前项和.
20.(本小题15分)
近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表：
甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人
测试次数 50 100 100
成功次数 20 60 80
假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率.
（1）估计甲款机器人单次送餐成功的概率；
（2）若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率；
（3）若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为ξ1，ξ2，ξ3，直接写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3的大小关系.
21.(本小题15分)
习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023年中国人工智能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8个行业的渗透度的变化情况：
(1)从上图2021年8个行业中随机抽取3个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率；
(2)从上图2022年和2023年8个行业中各随机抽取1个，设其中人工智能渗透度高于的行业个数为，求的分布列及数学期望；
(3)从上图2023年8个行业中随机抽取1个，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，用“”表示人工智能行业渗透度在区间内，若方差取得最大值，请写出实数的取值范围.（结论不要求证明）
22.(本小题15分)
已知数列是无穷数列，其前n项和为若对任意的正整数，存在正整数，()使得，则称数列是“S数列".
（1）若判断数列是否是“S数列”，并说明理由;
（2）设无穷数列的前n项和且，证明数列不是“S数列";
（3）证明:对任意的无穷等差数列，存在两个“S数列"和，使得成立.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】C
12.【答案】C
13.【答案】
14.【答案】
；
15.【答案】3
16.【答案】
17.【答案】 /答案不唯一
18.【答案】①②④
19.【答案】解：（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，
又因为，即，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）设等比数列的公比为，
因为，，所以，解得，
所以，则，
令，解得，即是数列的第63项相等.
（3）由（1）、（2）可知，，所以，
所以数列的前项和
.

20.【答案】；
；
Dξ3＜Dξ1=Dξ2
21.【答案】（1）从上图2021年8个行业中，有3个行业人工智能渗透度不低于，
则所求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于的概率为：．
（2）从上图2022年8个行业中，有2个行业的人工智能渗透度高于，
2023年8个行业中，有4个行业的人工智能渗透度高于，
则可取，
，
，
，
得的分布列为：
X 0 1 2
P
则的数学期望为：．
（3）设，则，
则，
得，
当且仅当，等号成立时，，
从上图2023年8个行业中人工智能行业渗透度从小到大依次为：
，
则实数的取值范围为：

22.【答案】解：（1）因为显然是以为首项，以为公差的等差数列，
所以其前项和为，
则对任意的正整数，都有
当时，，即存在，使得；
当正整数时，取，，
则，都是正整数，且，
则；
综上对任意的正整数，存在正整数，()使得，
所以数列是“S数列"；
（2）由且可知，当时，有，
当时，；
若数列是“S数列"，则对任意的正整数，存在正整数，()使得，
即对任意的正整数，存在正整数，()使得，
当时，对于任意的正整数，都有为奇数；
而对于任意的正整数，()，都有和为偶数，即为偶数；
因此；
所以数列不是“S数列"；
（3）设无穷等差数列的公差为，则，
令，，
下面证明和都是“S数列"；
设数列的前项和为，则，
对于任意的正整数，都有,
当时，，即存在，，使得；
当正整数时，取，，则，且，都为正整数，此时；
综上对任意的正整数，存在正整数，()使得，所以是“S数列"；
同理可证是“S数列"；
所以对任意的无穷等差数列，存在两个“S数列"和，使得成立.

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